BÀI KIỂM TRA SỐ 1 TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN NAM

                                                                                         Ngày thi thứ nhất: 15 - 11 - 2017

                                                                                         Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ BÀI:

Câu 1: Với mỗi số nguyên dương $n,$ gọi $M(n)$ là số nguyên dương $m$ lớn nhất sao cho $\binom{m}{n-1}> \binom{m-1}{n}.$ Hãy tính giới hạn: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{M(n)}{n}.$

Câu 2: Cho số nguyên dương $n\geq 2.$ Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ có hệ số cao nhất bằng $1$ và có $n$ nghiệm thực $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ phân biệt và khác $0.$ Chứng minh rằng:

1. $\frac{1}{P^{'}(x_{1})}+\frac{1}{P^{'}(x_{2})}+...+\frac{1}{P^{'}(x_{n})}=0.$

2. $\frac{1}{x_{1}P^{'}(x_{1})}+\frac{1}{x_{2}P^{'}(x_{2})}+...+\frac{1}{x_{n}P^{'}(x_{n})}=\frac{(-1)^{n+1}}{x_{1}x_{2}...x_{n}}.$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Tiếp tuyến tại $B, C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $T.$ Gọi $M, N$ lần lượt là các điểm thuộc tia $BT, CT$ sao cho $BM=BC=CN.$ Đường thẳng $MN$ cắt $CA, AB$ theo thứ tự tại $E, F.$ $BE$ giao $CT$ tại $P,$ $CF$ giao $BT$ tại $Q.$ Chứng minh rằng: $AP=AQ.$

Câu 4: Trong mỗi ô của bảng vuông $16\times 16$ ta viết một số nguyên. Biết rằng trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng chỉ có nhiều nhất $4$ giá trị khác nhau. Hỏi bảng đó chứa nhiều nhất bao nhiêu giá trị khác nhau?

Với mọi số nguyên tố $p\geq 5.$ Chứng minh rằng: $(-1)^{\frac{p-1}{2}}\binom{p-1}{\frac{p-1}{2}}\equiv 4^{p-1}($ $mod$ $p^{3}$ $).$

Nguồn: tạp chí Pi số 10.

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $x> 1, y> 1, z> 1$ thỏa mãn phương trình sau: $(x+1)^{y}-x^{z}=1.$

*Đây là một trường hợp riêng của giả thuyết $Catalan$ nổi tiếng, được đề cập trong một bài viết của GS Hà Huy Khoái trong tạp chí Pi số 10. Mong các bạn và các anh chị cùng thảo luận...

Cho số nguyên tố $p> 3$ và hai số nguyên dương $n, k.$ Chứng minh rằng: $\binom{pn}{pk}\equiv \binom{n}{k}$ $(mod$ $Q ),$ với $Q=p^{m}$ và trong đó: $m=3+v_{p}\left ( nk(n-k)\binom{n}{k} \right ).$

Trên bàn cờ vua kích thước $8\times 8$ được chia thành $64$ ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ $m$ và cột thứ $n (1\leq m\leq 8; 1\leq n\leq 8).$ Gọi $S(m, n)$ là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $S(m, n).$

Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx.cosx^{3}}{cosx^{2}+1}dx$

Định dạng tam giác $ABC$ khi nó thỏa mãn các đẳng thức sau:

a. $2\left ( \frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}-\sqrt{3} \right )=cotB+cotC$

b. $sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC$

Cho $W$ là ma trận có được từ ma trận $V= V_{n}\left ( a_{1}, a_{2}\ldots a_{n} \right ),$ bằng cách thay hàng $\left ( a_{1}^{n- 1}, a_{2}^{n- 1}\ldots a_{n}^{n- 1} \right )$ bởi hàng $\left ( a_{1}^{n}, a_{2}^{n}\ldots a_{n}^{n} \right ).$ Chứng minh rằng $\det\left ( W \right )= \left ( a_{1}+ a_{2}+ \ldots+ a_{n} \right )\det\left ( V \right ),$ trong đó $V$ là ma trận Vandermonde.

Cho $2017$ điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn nối hai điểm ta viết một số nguyên dương bất kì không vượt quá $k$ sao cho ba điểm bất kì tạo thành tam giác mà các số trên cạnh tam giác có dạng $x,x,y$ với $x< y.$ Tìm $k$ nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn: $a^{2}f(a)+b^{3}$ $\vdots$ $a+f(b),\forall a, b\in \mathbb{N}.$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p> 3,$ tồn tại các số nguyên $x, y, k$ thỏa mãn điều kiện: $0< 2k< p$ và $kp+3=x^{2}+y^{2}.$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f^{2}(x+y)-x^{2}-y^{2})=2f(xy), \forall x, y\in \mathbb{R}.$

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $Q=\sum \sqrt{\frac{abc}{a+b-c}}\geq \sum ab.$

Xác định tất cả các số tự nhiên $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn phương trình $p(p-1)=2(n^{3}+1).$

Cho $a, b, c> 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3.$ Chứng minh rằng: $Q=8(2-a)(2-b)(2-c)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab).$

Cho $a, b, c$ là các số tự nhiên sao cho $28a+30b+31c=365$. Chứng minh rằng: $a+b+c=12$.

Cho $m$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng khi đó  $a^{m}\equiv a^{m-\varphi (m)}( mod $m$ )$.

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $3(x^{4}+y^{4}+z^{4})-7(x^{2}+y^{2}+z^{2})+12=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    $P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}$

Cho $k> 0 \in \mathbb{Z}$ sao cho số $p=3k+1$ là số nguyên tố và $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(2k-1).2k}=\frac{m}{n}$ với $2$ số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $m$ và $n.$ Chứng minh rằng $m\vdots p.$

Chứng minh rằng, không tồn tại các số nguyên dương $m, n$ thỏa $\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4.$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x^{2}+x)\sqrt{x-y+8}=3x^{2}+2x+y+1 & & \\ (x-2)\sqrt{x^{2}+x+1}+(y+2)\sqrt{y^{2}+y+2}=x+y & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $x^{3}+y^{3}=z^{3},$ với $x, y, z \in \mathbb{Z}.$

Chứng minh rằng $(a^{m}-1, a^{n}-1)=a^{(m,n)}-1, \forall a, m, n \in \mathbb{Z}^{+}.$

Cho số nguyên tố $p$ và $a, b, c\in \mathbb{Z}$ thỏa $\left\{\begin{matrix} p+1 \vdots 6 & & & \\ a+b+c \vdots p & & & \\ a^{4}+b^{4}+c^{4} \vdots p & & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng: $a, b, c \vdots p.$

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là $a,b,c$. Với các số thực $p,q,r$ thỏa mãn $p+q+r=0$

Chứng minh rằng: $a^{2}pq+b^{2}qr+c^{2}rp\leq 0$