Bài 6: Trong một buổi tọa đàm về "Tình yêu tuổi học đường" tại lớp $12A$, có tất cả $21$ bạn tham gia và có $4$ cặp có tình cảm với nhau( không có học sinh nào thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra $5$ bạn để tham gia một trò chơi tập thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất $1$ cặp tình cảm với nhau
Gọi $A$ là nhóm gồm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm có $8$ học sinh) và $B$ là nhóm các học sinh còn lại (có $13$ học sinh).
$\bullet $ Trường hợp $1$: Có đúng $1$ cặp có tình cảm với nhau.
Đầu tiên chọn $1$ cặp có tình cảm với nhau thì có $4$ cách chọn.
Tiếp theo chọn $3$ học sinh trong đó không có $2$ em nào có tình cảm với nhau thì có những trường hợp sau:
- $3$ học sinh này thuộc nhóm $A$ thì có $2^{3}$ cách chọn.
- $2$ học sinh thuộc nhóm $A$, $1$ học sinh thuộc nhóm $B$ thì có $C_{3}^{2}.2^{2}.C_{13}^{1}$ cách chọn.
- $1$ học sinh thuộc nhóm $A$, $2$ học sinh thuộc nhóm $B$ thì có $C_{3}^{1}.2.C_{13}^{2}$ cách chọn.
- $3$ học sinh thuộc nhóm $B$ thì có $C_{13}^{3}$ cách chọn.
$\bullet $ Trường hợp $1$: Có đúng $2$ cặp có tình cảm với nhau.