Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}.$Tìm GTNN của biểu thức:

$F= a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+ac+bd+ad+cd+a+b+c+d$

bài này dễ mà bạn, chỉ cần sử dụng bđt $a^2+b^2\geq 2ab$ là được

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix} a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{98} & \\ a_{0}=a_{1}=5 & \end{matrix}\right.$

CMR: $\frac{a_{n}+1}{6}$ là số chính phương

Làm theo cách đặt của bạn, gọi số đó là P=a1a2a3a4a5a6a7a8
P=(a1a2a3a4).10000+(a5a6a7a8) = 9999.(a1a2a3a4)+ (a1a2a3a4) + (a5a6a7a8)
Để P chia hết cho 1111 thì (a1a2a3a4) + (a5a6a7a8) chia hết cho 1111.
Hay 1000.(a1+a5)+ 100.(a2+a6)+ 10.(a3+a7) + (a4+a8) chia hết cho 1111.
-----
Đặt x=a1+a5; y=a2+a6; z=a3+a7; t=a4+a8;
Có 3<= x <= 15
x+y+z+t=36
1000.x+100.y+10.z+t chia hết cho 1111
Thay t= 36-x-y-z. Suy ra 999x+99y+9z+36 chia hết cho 1111.
Mà (9,1111)=1. Suy ra A=111x+11y+z+4 chia hết cho 1111.
A<111.15+11.15+15+4=1849 nên A=1111
+ Nếu x>9 thì A>111.9+11.15+15+4=1183 (vô lý)
+ Nếu x<9, hay x<=8 thì 0< A<111.8+11.15+15+4=1072 <1111 (vô lý)
Vậy x=9.
Suy ra 11.y+z+4=112. Đến đây dễ dàng suy ra x=y=z=t=9.
------
Tìm số bộ thỏa mãn a1+a5=a2+a6=a3+a7=a4+a8=9
Ta phải chọn (a1,a5) (a2,a6) (a3,a7) (a4,a8) vào các bộ (1,8) (2,7) (3,6) (4,5)
Có 4.3.2.1 cách chọn như vậy
Ứng với mỗi cách chọn lại có thể hoán vị như sau: (1,8) thành (8,1);(2,7) thành (7,2);(3,6) thành (6,3); (4,5) thành (5,4). => Có 2^4 cách
Tóm lại số số thỏa mãn là 4.3.2.1.2^4=384
Ví dụ 1 số là 12348765=1111.11115

Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp hình vuông $ABCD$. Lấy các điểm $E,F$ thứ tự trên các cạnh $BC,CD$ sao cho $EF$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$. Gọi $H,K$ thứ tự là giao điểm của $EF$ với các đường thẳng $AB,AD$. Gọi $I$ là giao điểm của $HD$ và $BC$. Chứng minh rằng $AI//OE$

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1+b}{1+4a^2}+\frac{1+c}{1+4b^2}+\frac{1+a}{1+4c^2}$

Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp hình vuông $ABCD$. Lấy các điểm $E,F$ thứ tự trên các cạnh $BC,CD$ sao cho $EF$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$. Gọi $H,K$ thứ tự là giao điểm của $EF$ với các đường thẳng $AB,AD$. Gọi $I$ là giao điểm của $HD$ và $BC$. Chứng minh rằng $AI//OE$

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1+b}{1+4a^2}+\frac{1+c}{1+4b^2}+\frac{1+a}{1+4c^2}$

Giải phương trình sau bằng 2 cách: $x^2.\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3$

Giải phương trình sau bằng 2 cách: $x^2.\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3$

Giải phương trình:

$7x^2+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm min của biểu thức:

$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

hình như sai đề bạn ạ

nghiệm là 2,912111203.......

Giải phương trình: 

$\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( 7x^2-x+4 \right )$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$ trong đó $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=6$

Bài 10:

$(x+y)(x+z)=xy+yz+zx+y^2=y(x+y+z)+zx$

$=y.\frac{1}{xyz}+zx=\frac{1}{zx}+zx\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn $y=z=1,x=\sqrt{2}-1$

Cho các số thực không âm phân biệt $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$P=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+ \frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2}\right )$

bạn làm cụ thể ra giúp mình với

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng

$\frac{\left ( 3a-1 \right )^2}{2a^2+1}+\frac{\left ( 3b-1 \right )^2}{2b^2+1}+\frac{\left ( 3c-1 \right )^2}{2c^2+1}\geq 4$

Cho các số $a,b,c$ dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh

$\frac{1}{3+2\left ( a^2-bc \right )}+\frac{1}{3+2\left ( b^2-ca \right )}+\frac{1}{3+2\left ( c^2-ab \right )}\geq 1$

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng

$\frac{\left ( 3a-1 \right )^2}{2a^2+1}+\frac{\left ( 3b-1 \right )^2}{2b^2+1}+\frac{\left ( 3c-1 \right )^2}{2c^2+1}\geq 4$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \frac{a+b+c}{4}$

Hình bạn tự vẽ

a/ Cm $ADME$ là hcn suy ra $AM=DE$

Gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $DE$ suy ra $O$ là trung điểm của $AM$ và $DE$

tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có $O$ là trung điểm của $AM$ suy ra $OH=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}DE$

do đó tam giác $DEH$ vuông tại $H$ suy ra $\widehat{DHE}=90^{\circ}$

b/ $DHME$ là hình thang cân khi $DE//HM \Rightarrow DE//BC$

Mà $D,O,E$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm của AM nên để $DE//BC$ thì $D,E$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ 

suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy

Bài này bạn phải xét 2 trường hợp là góc A tù và góc A nhọn để giải