cho 4 số a, b, c, d>0 thỏa mãn a>c+d và b>c+d. chứng minh rằng ab>ad+bc

cho 0<a, b, c, d<1. chứng minh rằng (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d

chứng minh rằng $n^{3}-6n^{2}-13n+18$ chia hết cho 6

cho a+b+c=1. chứng minh rằng $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}$

cho các số a,b,c thỏa mãn $0\leq a, b, c\leq 2$ và a+b+c=3. chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

với a, b, c, là các số dương thỏa mãn $\sqrt{a+2901}+\sqrt{b+2901}=2\sqrt{c+2901}$ . chứng minh rằng $a+b\geq 2c$

cho $x^{2}+y^{2}=x\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1+x^{2}}$ . chứng minh rằng $3x+4y\leq 5$

Do  $00\Leftrightarrow 1+a^{2}b>a^{2}+b>a^{3}+b^{3}\Rightarrow 1+a^{2}b>a^{3}+b^{3}$,b,c<1\rightarrow>

Chứng minh tương tự $1+b^{2}c>b^{3}+c^{3};1+c^{2}a>c^{3}+a^{3}$

Cộng vế suy ra ĐPCM

cảm ơn bạn, cách làm rất hay

cho 0<a, b, c<1. chứng minh rằng $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}<3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

chứng minh rằng $(1+\frac{1}{n})^{n}<3$ với n là số tự nhiên lớn hơn 0

chứng minh rằng $\sqrt{(2+\sqrt{3})\sqrt{13+2\sqrt{2}-2\sqrt{14+4\sqrt{6}}}}$ là số vô tỉ

cho (O;R) và dây BC cố định. trên đường tròn lấy điểm A khác B và C, G là trọng tâm tam giác ABC . chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì G di động trên 1 đường tròn cố định

Gọi I là trung điểm BC. Lấy điểm H trên OI sao cho $\frac{OH}{OI}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow$ H cố định

Ta có: $\frac{IG}{GA}=\frac{IH}{HO}=\frac{1}{2}\Rightarrow GH\parallel OA\Rightarrow GH=\frac{1}{3}OA$$=\frac{1}{3}R$: không đổi

Vậy G di động trên $(H;\frac{1}{3}R)$

cảm ơn bạn rất nhiều, mình đang cần bài này gấp!

Cho 2 dãy số cùng chiều $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}$ và $b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}$

Chứng minh rằng $(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{1}+b_{2}+b_{3})\leq 3(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})$

Giúp mình với nhé, đang cần gấp lắm!!!!!!!!

cho (O) và (O') ngoài nhau, AB và CD là 2 tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn, đường thẳng AD cắt (O) ở M, (O') tại N. chứng minh AM=BN

chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ thì $A=3.17^{n}+2^{2n}.3^{n+1}\vdots 29$

Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!

1. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

2. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh 

$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

3. Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

4. Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc=1. chứng minh:

$P=\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

5. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc. chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb}+\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}\geq \sqrt{3}$

6. Cho a, b, c >0 , abc=1. chứng minh:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$

7. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}$

8. Cho a, b >0 và a+b=2.  tìm GTNN của 

$T=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{2ab}$

9. Cho a, b, c >0 vaf a+b+c=1. chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 30$

10. Cho a, b, c>0. chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

11. Cho a, b, c >0 và abc=1. chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

Mình giải bài 2 nhé :

$VT = \frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{2a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{2b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{2c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đề sai nhé bạn

Bài 5 mình xài Minkowski

có vẻ sai thật nhưng không giống như đề bài của bạn, mình sẽ sửa lại.

Đề bài bài 2 có chút thay đổi nhé mn.!

bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được

đúng rồi, bài đó có a+b=2 , mình quên mất

Cảm Ơn tất cả các bạn nhé!

Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh là 1, 2 đường chéo cắt nhau ở O. Gọi $R_{1}, R_{2}$ lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ADB.

chứng minh $\frac{1}{R_{1}^{2}}+\frac{1}{R_{2}^{2}}=4$

Vẽ đường trung trực AB cắt BD tại M, cắt AC tại K, cắt BD tại I

$\Delta MBI \sim \Delta OAB(g.g)$ 

$\Rightarrow \frac{IB}{AB}=\frac{MB}{OB}\Rightarrow \frac{R_{1}}{1}=\frac{1}{2.OB}\Rightarrow \frac{1}{R_{1}^{2}}=4.OB^{2}$

Tương tự: 

$\frac{1}{R_{2}^{2}}=4.OA^{2}$

Cộng vế theo vế suy ra điều phải chứng minh

cách giải rất hay, cảm ơn bạn

giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\\ (1+x)(1+y)(1+z)=(1+\sqrt[3]{xyz})^{3} \end{matrix}\right.$