Và tại sao không hạ bậc ba mà lại hạ từ bậc hai vậy nhỉ?

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn$x+y=2$. Tìm giá trị lớn nhất của 

P = $x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

Có min thôi ,k có max ak pạn

ukm, đúng rồi

Cho $x,y,z>0$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(y+z)}+\frac{1}{z(z+x)}\geq \frac{27}{2(x+y+z)^{2}}$

ta có

$\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+\frac{a+b+2}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b)$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}$

Cho mình hỏi, tại sao lại dùng các đại lượng như $\frac{b+1}{8}$ để cân bằng ạ??

Cho $a,b,c >0$, thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của :

P = $\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c}{(2b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a}{(2c+a)^{2}}$

Cho $a,b,c>0$, $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min của:

P= $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} +\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}} +\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Giả sử $a,b$ là các số thực dương thỏa điều kiện $a+b\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b^{3}}{(a+1)^{2}}$

Cho x, y là các số thực dương thỏa $x.y\leq 1$

Chứng mình rằng :   $\frac{1}{1+x^{2}} +\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+x.y}$

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{c^{2}a}{b^{3}(c+a)}+\frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & \\ \frac{1}{b}=y & \\ \frac{1}{c}=z & \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{3}}{y(x+z)}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)$

Ta có

$\frac{x^{3}}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3}{2}x$

Tương tự cộng vế suy ra đpcm

Bạn có thể không đặt ẩn phụ mà làm theo ý tưởng trên đó được không? Giải thích giúp mình nhé?

Cho $x,y,z,t>0$ Chứng minh:

$\frac{x+y+z+t}{\sqrt[4]{xyzt}}+\frac{16xyzt}{(x+y)(y+z)(z+t)(t+x)}\geq 5$

Cho $x,y,z >0$ Chứng minh rằng

$\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{x^{2}(y+z-x)}{y+z}+\frac{y^{2}(z+x-y)}{z+x}+\frac{z^{2}(x+y-z)}{x+y}$

Chứng minh rằng nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp n thì: 

$\left [ f(ax+b) \right ]^{(n)}=a^{n}f^{(n)}(ax+b)$

Cho $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} u_{1}=a>1\\ u_{n+1}=u_{n}^{2}, n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính 

$\lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}$

Chứng minh:

$(1-sinA)(1-sinB)(1-sinC)\leq (1-\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}$

Mọi người giúp em giải chi tiết bài này với ạ. Em cảm ơn

Giải phương trình:

$4cos^{2}x+3tan^{2}x-4\sqrt{3}cosx+2\sqrt{3}tanx+4=0$

Bài 1:

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của 

$a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}+b\sqrt[3]{c^{2}+a^{2}}+c\sqrt[3]{a^{2}+b^{2}}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Mọi người giúp em giải chi tiết bài này. Em cảm ơn.

Giải phương trình:

$cos2x + 5= 2(2-cosx)(sinx-cosx)$

Với các số $a,b,c$ thực thỏa $a+b+c=3$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$. Tính giá trị biểu thức:

$P= (a-3)^{2017}.(b-3)^{2018}.(c-3)^{2019}$

Theo hằng đẳng thức Vandermonde, với $m, n, r$ là các số nguyên không âm sao cho $r$ không vượt quá $m$ hoặc $n$ thì:
$C_{m+n}^{r}=\sum_{k=0}^{r}C_{n}^{r-k}C_{n}^{k}$ $(1)$
Khi $r=m=n$ ta có:
$C_{2nn}^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{$k} \right )^{ của $($\sum_{k=1}^{n}i:
$(2) \Leftrightarrow C_{2n}^{n} \sum_{k=0}^{n}$\sum_{k=0}^{n}k\left ( C_{n}^{10} \right )

anh giúp em viết lại công thức bài này với ạ. Em nhìn không hiểu.

Em cảm ơn

Tính tổng :

$S=(C_{n}^{1})^{2}+2.(C_{n}^{2})^{2}+3.(C_{n}^{3})^{2}+...+n.(C_{n}^{n})^{2}$

Mọi người giúp em làm bài này ạ (Xin đừng dùng đạo hàm, tích phân). Em cảm ơn

Giải phương trình lượng giác:

$\frac{sin^{6}x+cos^{6}x+sin^{2}xcos^{2}x-sinxcosx}{2cosx-\sqrt{2}}=0$

Chứng minh rằng:  hàm số $y=e^{-x^{2}}$ thỏa mãn hệ thức : $y^{(n)}+2xy^{(n-1)}+2(n-1)y^{(n-2)}=0$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M=(\frac{5}{2};\frac{1}{2})$ là trung điểm $AB$. $N$ là điểm thuộc $AD$ sao cho $AN=2ND$. $(CN):x+2y-11=0$. Tìm $C$