Cách khác 

$M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Áp dụng BĐT $Am-GM$ ta có

$a^{2}+1= a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}=\frac{6a+8}{9}$

$\rightarrow \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9a}{6a+8}$

TT $\rightarrow \frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{9b}{6b+8};\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9c}{6c+8}$

$\rightarrow M\leq \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3a+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3b+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3c+4}=\frac{9}{2}-6(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})$

Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có

$\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}$

 

Cách làm của bạn khả dụng khi tìm GTNN của M.

nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì  M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

CM tương đương.

chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi x=y=3.

x=y=1/3 chứ

a=b=c=3 mới đúng thay vào thử ik bn.

đây là 1 bài khó và mình đã cố gắng suy nghĩ hết sức, mong ai biết câu này giải giùm mình.

            Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:

$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}+  \frac{a+b}{c} \geq 4(\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b})$

Giup mình với nhé. Cảm ơn các bạn nhiều.

10x²+3x+1=(6x+1) $\sqrt{x^{2}+3}$

ĐK:$x\geq \frac{-1}{6}.$

$PT<=>100x^4+9x^2+1+60x^3+6x+20x^2=(36x^2+12x+1)(x^2+3)<=>100x^4+60x^3+29x^2+6x+1=36x^4+12x^3+x^2+108x^2+36x+3<=>64x^4+48x^3-80x^2-30x-2=0$$<=>(x-1)(4x+1)(4x+3-\sqrt{7})(4x+3+\sqrt{7})=0.$

=> hoặc x=1 hoặc x=$\frac{-1}{4}$ hoặc x=$\frac{-3-\sqrt{7}}{4}$.

$x1+x2+x3=\frac{-3}{2}$; $x1x2+x2x3+x3x1=\frac{9}{16}$; $x1x2x3=\frac{-1}{64}$. 

Từ đây, dễ dàng tìm nghiệm.

Giải phương trình:
 a) $9x^{2}+3\sqrt{9-x}(2x-1)-10x+11=0$

 b) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})(1+\sqrt{x^{2}+2x-15})=8$

b)ĐK: $x\geq 3.$

Đặt:$\sqrt{x+5}$=u; $\sqrt{x-3}$=v

Phương trình <=>$(u-v)(1+uv)=8$

<=> $u-v+u^2v-uv^2=u^2-v^2$

<=> $(u-v)+uv(u-v)-(u-v)(u+v)=0$

<=> $(u-v)(1+uv-u-v)=0$

<=> $(u-v)[(1-v)+u(v-1)]=0$

<=> $(u-v)(1-v)(1-u)=0$

=> $u=v$ hoặc $u=v=1$

$\sqrt{x+5}=\sqrt{x-3}<=>x+5=x-3<=>0x=-8$(loại)

$u=1<=>\sqrt{x+5}=1<=>x=-4$ (loại)

$v=1<=>\sqrt{x-3}=1<=>x=4$ (nhận)

Vậy S={4}.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

$a)\sqrt{26}+\sqrt{8}>\sqrt{48}$ 

$b)\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}-\sqrt{10}<0$

$c)(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}})(\sqrt{3}-4\sqrt{\frac{1}{3}}+2)\sqrt{0.2}-\sqrt{1.01}>0$ 

$d)\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}(\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}})-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}>0$ $e)\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}>1,9$ 

$g)\sqrt{\sqrt{17+12\sqrt{2}}-\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1$ 

$h)(\sqrt{\sqrt{3}}+\sqrt{\sqrt{5}}+\sqrt{\sqrt{7}})-(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})<3$ $i)\frac{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4}<0,8$

câu g)

$\sqrt{\sqrt{17+12\sqrt{2}}-\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1<=>\sqrt{3+2\sqrt{2}-\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1<=>\sqrt{3+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1$

Bình phương hai vế :$<=>3+\sqrt{2}>4-2\sqrt{3}<=>\sqrt{2}+2\sqrt{3}-1>0.$(luôn đúng)=> BĐT cần chứng minh đúng.

câu h)

Dễ thấy: $\sqrt{\sqrt{3}}<\sqrt{3}$; $\sqrt{\sqrt{5}}<\sqrt{5}$; $\sqrt{\sqrt{7}}<\sqrt{7}$=> VT<0<3.

câu i)

Dễ chứng minh: $\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{2}}<1.7$; $\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}<1.5$ =>$\frac{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4}<0.8$.

Câu i) bạn bấm máy à sao biết bé hơn 1,5

nhân căn 3 vào, bình phuong lien tuc là dc.

Ta có đẳng thức $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ theo phương pháp biến đổi tương đương 

Do $-\frac{32}{\sqrt{2a^2+2b^2+2a+2b+8}}\geq -\frac{32}{\sqrt{4ab+4\sqrt{ab}+8}}=-8$

Nên $T\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}-8=-7\Leftrightarrow a=b=1$

sao bạn cho T$\geq$-7 hay vậy. nó chỉ cho ab$\geq$1 thôi mà.

Cảm ơn bạn ,,mình nhầm tưởng ab=1 ,,,đã sửa ^-^

bạn còn đang nhầm ở khúc đầu. hãy xem lại thật kĩ nhé.

Chứng minh các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương: 

a, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz$

b, $\frac{x^{2}+y^{2}+6}{xy}=8$

c, $\frac{x^{2}+y^{2}}{xy-1}=5$

d, $x^{2}+y^{2}+10=3\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )$

e, $\frac{x^{2}+y^{2}}{xy+1}=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}, a> 1$

a)VT$\geq 0$=> xyz$\geq0$ $PT<=> x^2-3xyz+y^2+z^2=0.$ Với x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình: $x1+x2=3yz; x1x2=y^2+z^2$>0 => phương trình có vô số nghiệm dương.

Đặt $x=u+v-1$, với $u\geqslant v$. Khi đó, ta thu được phương trình $\left(u^3+v^3-4\right)+3\left(uv-1\right)\left(u+v\right)=0$.

 

Chọn $u$, $v$ để tích $uv=1$. Khi đó ta có hệ phương trình

\[\left\{\begin{array}{l} u^3+v^3=4 \\ u^3v^3=1 \end{array} \right.\]

 

Áp dụng định lý $Viete$ đảo ta có ngay $u^3$ và $v^3$ là nghiệm của phương trình

\[X^2-4X+1=0 \iff \left[ \begin{array}{l} X=2+\sqrt{3} \\ X=2-\sqrt{3} \end{array} \right.\]

 

Vậy ta có $u^3=2+\sqrt{3}$ và $v^3=2-\sqrt{3}$. Từ đó ta suy ra

\[x=u+v-1=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}-1\]

cho hỏi là nếu chọn uv là một số trị khác thì sao.

Giải phương trình sau :

$x^{3}+x^{2}-x=\frac{-1}{3}$

Mình nghĩ ra cách

pt $\Leftrightarrow$ 4x^{3}=(x-1)^{3} rồi

Có ai nghĩ ra cách khác cho mình xin

quy đồng rồi nham nghiem, hoặc quy về phương trình bậc hai.

Em đã hiểu ý. Bài này chỉ có nghiệm phức nên không thể giải trên phương diện toán cấp 2

cho hỏi mấy người lớp mấy v.

Nhưng trên trường mk làm tự luận mà... Làm vậy sao đc ....

dc chứ. nó cho rõ ràng thế rồi thì thay vào.

Đồ thị hàm số $y=\frac{-x^2+3x+m}{x+2}$ nhận điểm $A(0;3)$ làm cực trị thì phương trình của hàm số có dạng là:

A. $y=\frac{-x^2+3x-6}{x+2}$

B. $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$

C. $y=\frac{-x^2+3x+6}{x+2}$

D. $y=\frac{-x^2+3x}{x+2}$

Thế điểm vào là dc .=>m=6.

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{a}{1-a^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.a^{2}$

$\Leftrightarrow 2a\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.a^{2}(1-a^{2})$

$\Leftrightarrow a(\sqrt{3}x+2)(3.\sqrt{x}-1)^{2}\geq 0$

Tương tư ta cũng có: $\frac{b}{1-b^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.b^{2}$

                                  $\frac{c}{1-c^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.c^{2}$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có đpcm

mình thấy nhiều bài giải bđt của bạn dùng phương pháp đánh giá đại diện (của thpt) . cho hoi cach tim bđt dai dien nay nhu the nao.

doi voi bai tren thi minh co the doan duoc.

 

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 6 và 0 ≤ a, b, c ≤ 4. Giá trị lớn nhất của

P = a² + b² + c² + ab + bc + ac

 

Ta có $2A=(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2=36+a^2+b^2+c^2\leq 36+a^2+(b+c)^2=36+a^2+(6-a)^2=2a^2-12a+72$

Không làm đi tính tổng quát của bài toán :giả sử $a=max(a,b,c)\Rightarrow 2\leq a\leq 4\Leftrightarrow (a-2)(a-4)\leq 0 \Rightarrow 2A\leq 2a^2-12a+72=2(a-2)(a-4)+56\leq 56 \Rightarrow$ max A =28 .

cho hỏi hướng nghĩ thôi ạ: vì sao lúc đầu bác lại ko nghĩ đến việc x=y=z . bình thường thì sẽ nghĩ như thế nhưng bạn lại nghĩ hướng này để cho ra kết quả đúng. cho hỏi kinh nghiệm ạ?

có thể thaays rang thuong thi ta se nghi la x=y=z. nhung tai sao no lai kep dieu kien a,b,c nua hoac la phai chang doan x=y=z chi cho GTNN. minh giai dc bai nay con vi minh tung gap.

Gọi đa thức sau khai triển có dạng a1x+ a2x+...+anx. 

Tổng các hệ số :a1+a2+...+an=f(1)= -31.

Nếu ta tìm được $f_{(1)}$=-31 thì sẽ biết được đẳng thức rút gọn thì có giá trị là -31 hả bạn?

Mục tiêu của bài này là tìm ra tổng rất cả các hệ số của f(x) nên mình chọn f(1) thì sẽ qui về tổng các hệ số a1+a2+a3+...+an. và thay x=1 vào đa thức ban đầu.

bài 2a) VT=$\left | 3x-1 \right |$. Chuyển vế, lập phương dễ tìm ra x,y.

 b) Thực hiện phép chia đa thức thông thường dễ dàng tìm ra thương và dư.

Câu 1a)  $x^2=1$ => x=1 (x>0). => S=2017.

b) Thay $y^2=7-\frac{3}{x}$ vào phương trình dưới. Dễ dàng tìm ra x,y.

Đề thi chiều hôm qua. Chuẩn bị giỗ tổ Vua Hùng nên cập nhật hơi trễ     . Hơi mờ bạn nào gõ TeX hộ 

Bạn cũng thi hôm qua hả. Thi tốt không.