Mình xin đưa ra ý tưởng!

Không mất tính tổng quát ta giả sử: $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$. Khi đó ta được: $$\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}} } \right) \geqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)$$Đến đây đặt $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ và khảo sát hàm 1 biến là xong!

Cảm ơn bạn nhưng mình đã ghi nguồn nếu có thể mong bạn cùng chung vui đăng bài cho topic !

Ơ thế những bài trong đây đều phải giải theo pqr hả bn?

Có một topic lâu rồi cx nói về cái này nha: https://diendantoanh...p-đổi-biến-pqr/

Nhưng bạn mở topic này cx rất tốt mọi người một lần nữa đc thảo luận lại về vấn đề này    

Đây là 1 bài trong cuốn Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học :3 

*$81abc(\sum a)(\sum a^2)\leqslant 27(\sum ab)^2(\sum a^2)\leqslant [2(\sum ab )+\sum a^2]^3=(\sum a)^6$

$\Rightarrow (\sum a)^5\geqslant 81abc(\sum a^2)$

$\frac{(\sum a)^3}{abc}+\frac{27\sum a}{\sqrt{3\sum a^2}}+\frac{27\sum a}{\sqrt{3\sum a^2}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{27^2(\sum a)^5}{3abc\sum a^2}}\geqslant 81$ (AM-GM )

suy ra đpcm

haha bài 6 trang 53 nhé

full luôn nhé: https://sites.google...hoc-va-tuoi-tre

Ta có: $$VT - VP = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{2}{{ab}} - \frac{{35}}{2}} \right) + \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{abc}} - 16} \right)$$$$Do{\text{ c}} \geqslant b \geqslant a \Rightarrow a + b \leqslant \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{{ab}} - \frac{{35}}{2} \geqslant \frac{2}{{{{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)}^2}}} - \frac{{35}}{2} \geqslant \frac{1}{2}$$$$a + b - 16abc = \left( {a + b} \right){\left( {a + b + c} \right)^2} - 16abc = {c^2}\left( {a + b} \right) + \left( {2{b^2} - 12ab + 2{a^2}} \right)c + {\left( {a + b} \right)^3} = f\left( {a,b,c} \right)$$Có: $\Delta  =  - 64ab{\left( {a - b} \right)^2} \leqslant 0 \Rightarrow f\left( {a,b,c} \right) \geqslant 0$

Suy ra đpcm!

Xét khai triển của $(1-x^2)^n$.

Hệ số của $x^{2k}$ là $(-1)^kC_n^k$

Mặt khác $(1-x^2)^n=(1+x)^n(1-x)^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^ix^i.\sum_{j=0}^{n}(-1)^jC_n^jx^j=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}(-1)^jC_n^iC_n^jx^{i+j}$

Hệ số của $x^{2k}$ ứng với $i+j=2k$ và bằng $\sum_{j=0}^{2k}(-1)^jC_n^jC_n^{2k-j}$

Vậy ta có $\sum_{j=0}^{2k}(-1)^jC_n^jC_n^{2k-j}=(-1)^kC_n^k$ (1)

Với $n=2k=2012$, thì (1) trở thành $\sum_{j=0}^{2012}(-1)^j\left ( C_{2012}^j \right )^2=C_{2012}^{1006}$ (đpcm)

Cảm ơn anh nhiều ạ!

bạn học lớp mấy?

năm nay 11 nhé!

em

lớp 9 chưa học bất đẳng thức Holder có cách nào giải khác phù hợp ko

 vào chủ đề mà anh Drago đã trích dẫn liên kết ở trên mà xem

do dãy số là số tự nhiên liên tiếp nên ta có:

từ 1 đến 9 (các số có một chữ số) có:  9x1=9 (chữ số);

từ 10 đến 99 (các số có hai chữ số) có : 

       99-10+1=90 số hạng nên có 90x2=180 (chữ số);

  suy ra các chữ số còn lại là:

      2017-180-9=1828(chữ số)[nằm trong số có ba chữ số ] nên

    số đó là số 1828/3=609(dư 1);

 suy ra đó là chữ số đầu số 610 là số 6;

suy ra điều phải chứng minh nhé bạn.

Cảm ơn bạn nhiều!  

cảm ơn bạn nhiều, tuy vẫn chưa hiểu lắm  

Từ 1 đến 9 có 9 chữ số

Từ 10 đên 99 có 180 chữ số 

Còn lại 2017-9-180=1828 chữ số 

Ta có 1828:4=457

Nên chữ số thứ 2017 của dãy là số 6 của số 1456

Chữ số thứ 2017 là số 6

Chi tiết đi bạn

Tìm chữ số thứ 2017 của số: $1234567891011121314.....$

t

Câu 1:

Chứng minh bổ đề sau:$C_{n}^0+\frac{1}{2}C_{n}^1+\frac{1}{3}C_{n}^2+...+\frac{1}{n+1}C_{n}^n=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

Thật vậy,xét hàm số: $f(x)=(1+x)^n$.Ta có,

$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(1+x)^ndx=\int_{0}^{1}(1+x)^nd(1+x)=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.$(1)$

Áp dụng công thức nhị thức $Newton$,ta có:

$\int_{0}^{1}f(x)dx=C^0_{n}\int_{0}^{1}dx+C^1_{n}\int_{0}^{1}xdx+C^2_{n}\int_{0}^{1}x^2dx+...+C_{n}^n\int_{0}^{1}x^ndx=C^0_{n}+\frac{1}{2}C^1_{n}+...+\frac{1}{n+1}C^n_{n}$.$(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ có $đpcm$.

Từ đó tìm được $n=10$

tich phan là gì vạy ạ

Không mất tính tổng quát ta giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$ khi đó ta được: $$\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}} } \right) \geqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{{\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a}}} + {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2}$$Đến đây đặt ẩn khảo sát hàm 1 biến là xong

Đề bài hình như có vấn đề rồi bạn.Xét bài toán sau:

Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$.Chứng minh rằng:

$\sum _{k=0}^{n}(C_{n}^k)^2=C_{2n}^{n}$.

Xét khai triển của $(x+1)^{2n}$,ta có: $(x+1)^{2n}=((x+1)^n)^2=(\sum_{k=0}^{n}C_{n}^kx^k)^2$.

Có hệ số bậc $n$ trong khai triển trên là $\sum_{k=0}^{n}C_{n}^kC_{n}^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}(C_{n}^k)^2$

Mà hệ số bậc $n$ trong khai triển $(x+1)^{2n}$ là $C_{2n}^n$.

Từ hai điều trên có ngay:$C_{2n}^n=\sum_{k=0}^{n}(C_{n}^k)^2$.

Thay $n=1006$ thì có được bài toán của bạn (nếu sửa những chỗ dấu trừ thành dấu 

Nếu cho n=1006 thì vẫn chưa thành bài toán này đc vì ở đề bài hai vế đều là $C_{2012}^k$

có mail không để mình đưa cho

em xin với ạ: [email protected], cảm ơn nhiều!

$${\left( {C_{2012}^0} \right)^2} - {\left( {C_{2012}^1} \right)^2} + {\left( {C_{2012}^2} \right)^2} - {\left( {C_{2012}^3} \right)^2} + ... - {\left( {C_{2012}^{2011}} \right)^2} + {\left( {C_{2012}^{2012}} \right)^2} = C_{2012}^{1006}$$

Xin lỗi đã đăng nhầm đề đề đúng là: 

 

 

Tuy nhiên với đề sửa như bạn HoangDinhNhat thì cách giải có lẽ chưa đúng ở chỗ in đậm vì  $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-8< 0$ vẫn có thể xảy ra, như vậy bất đẳng thức phải đổi dấu ắt sai.

P/s: Chứng minh $(b+c)(a+b+c)^{2} \geq 16abc$

Ơ nhưng mình đã chứng minh đc ${S_c} > 0$ đâu mà suy ra được ${S_b} > 0$

Xem lại đề nhé!

Ta có: $$3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) - 11\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 33 \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} - 11\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 33 > 0$$

I don't know your solution of problem 3

Case1: -) If $\sqrt{ab+c^{2}} \not{\in} \mathbb{Q}$ then $a+b + 2\sqrt{ab+c^{2}}$ $\in\mathbb{I}$ (><).

Case2: -) If $\sqrt{ab+c^{2}} \in  \mathbb{Q}$ but $ab+c^{2} \in \mathbb{N}$ so  $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{N}$

Put: $a+b+2{\sqrt{c^2+ab}}=x$ ($x \in\mathbb{N*}$)

Then $(a+b-x)^2=4(c^2+ab)$ $\Leftrightarrow (a-b-2c)(a-b+2c)=x(2a+2b-x)$ But $x\ge a+b+2c$ ( Arcording to the way of putting x)

Hence $x\ge(a-b+2c)\ge(a-b-2c)$ . But on the otherhand $x\mid(a-b-2c)(a-b+2c)$ So x is not a prime number . (Q.E.D)

bạn nên trình bày lời giải bằng TV,chứ tiếng anh ko hiểu đâu!

Bài 1: $${x^2} - 3x - 4 = \left( {{x^2} - 4x - 2} \right)\sqrt {x - 1} $$$$ \Leftrightarrow  - \left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x - 1}  + 2x + 1} \right) = 0$$$$ \Leftrightarrow x = 5 \vee x = 2$$Bài 2: $$\sqrt {5x - 1}  + \root 3 \of {9 - x}  = 2{x^2} + 3x - 1$$$$ \Leftrightarrow \sqrt {5x - 1}  - 2 + \root 3 \of {9 - x}  - 2 - 2{x^2} - 3x + 5 = 0$$$$ \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5x - 1}  + 2}} + \frac{{1 - x}}{{{{\left( {\root 3 \of {9 - x} } \right)}^2} + 2\root 3 \of {9 - x}  + 4}} - \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$$$$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{5}{{\sqrt {5x - 1}  + 2}} - \frac{1}{{{{\left( {\root 3 \of {9 - x} } \right)}^2} + 2\root 3 \of {9 - x}  + 4}} - \left( {2x + 5} \right)} \right) = 0$$Ta có: $\frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{4} \leqslant \frac{5}{{\sqrt {5x - 1}  + 2}} \leqslant \frac{5}{2}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$

Bài 3: Xem lại đề nhé, mk thấy hơi lẻ. Hướng làm:

Đặt $f\left( x \right) = \root 3 \of {{x^2} - 1}  + \sqrt {x - 7}  - 4\left( {x \geqslant 7} \right)$. 

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{3{{\left( {\root 3 \of {{x^2} - 1} } \right)}^2}}} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 7} }} > 0$$ \Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {7; + \infty } \right)$. 

Bài 4: $${x^2} - x - 3 + \sqrt {2x + 5}  = 0 \Rightarrow {x^4} - 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 4 = 0$$$$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x - 2} \right)\left( {{x^2} - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x - 2} \right) = 0$$

Chém bất.

Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ ta có: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}}  \leqslant \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {2a + 2\sqrt {bc} } \right)}^2}}}}  = \frac{1}{4}\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a + \sqrt {bc} } \right)}^2}}} \leqslant \frac{1}{{16}}\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{a\sqrt {bc} }}} } $$$$ \leqslant \frac{1}{{32}}\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{a}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)}  \leqslant \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) = \frac{3}{{16}}$$

Chém bất. 

Ta có: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{x}{{3 - yz}}}  \leqslant \sum\limits_{cyc} {\frac{x}{{3 - \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2}}}}  = \sum\limits_{cyc} {\frac{{2x}}{{{x^2} + 3}}} $$Xét đánh giá đại diện: $$\frac{{2x}}{{{x^2} + 3}} \leqslant \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{8} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( { - {{\left( {x + 1} \right)}^2} - 8} \right) \leqslant 0$$Áp dụng ta được: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{{2x}}{{{x^2} + 3}}}  \leqslant \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{8}} \right)}  = \frac{3}{2}$$