Chủ đề này có 9 trả lời

[Drago]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$3\sum a^{4}+33\geq 14\sum a^{2}$

P/s: Đã fix đề 11->14

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 11-06-2017 - 18:55

[tuaneee111]

Xem lại đề nhé!

Ta có: $$3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) - 11\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 33 \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} - 11\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 33 > 0$$

[Hoang Dinh Nhat]

Ta có BĐT phụ: $3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$(Dùng $Holder$ dễ dàng cm được)

Ta có: $3(a^4+b^4+c^4)-14(a^2+b^2+c^2)+33\geq (a^2+b^2+c^2)^2-14(a^2+b^2+c^2)+33=(a^2+b^2+c^2-3)(a^2+b^2+c^2-11)\geq (\frac{(a+b+c)^2}{3}-3)(a^2+b^2+c^2-11)=0$ $QED$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 11-06-2017 - 18:59

[Drago]

Đề phải là: $3(a^4+b^4+c^4)+24\geq 11(a^2+b^2+c^2)$ chứ

Ta có BĐT phụ: $3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$(Dùng $Holder$ dễ dàng cm được)

Ta có: $3(a^4+b^4+c^4)-11(a^2+b^2+c^2)+24\geq (a^2+b^2+c^2)^2-11(a^2+b^2+c^2)+24=(a^2+b^2+c^2-3)(a^2+b^2+c^2-8)\geq (\frac{(a+b+c)^2}{3}-3)(a^2+b^2+c^2-8)=0$ $QED$

Xin lỗi đã đăng nhầm đề đề đúng là: 

 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$3\sum a^{4}+33\geq 14\sum a^{2}$

P/s: Đã fix đề 11->14

 

Đề phải là: $3(a^4+b^4+c^4)+24\geq 11(a^2+b^2+c^2)$ chứ

Ta có BĐT phụ: $3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$(Dùng $Holder$ dễ dàng cm được)

Ta có: $3(a^4+b^4+c^4)-11(a^2+b^2+c^2)+24\geq (a^2+b^2+c^2)^2-11(a^2+b^2+c^2)+24=(a^2+b^2+c^2-3)(a^2+b^2+c^2-8)\geq (\frac{(a+b+c)^2}{3}-3)(a^2+b^2+c^2-8)=0$ $QED$

Tuy nhiên với đề sửa như bạn HoangDinhNhat thì cách giải có lẽ chưa đúng ở chỗ in đậm vì  $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-8< 0$ vẫn có thể xảy ra, như vậy bất đẳng thức phải đổi dấu ắt sai.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 11-06-2017 - 18:59

[Hoang Dinh Nhat]

Xin lỗi đã đăng nhầm đề đề đúng là: 

 

 

Tuy nhiên với đề sửa như bạn HoangDinhNhat thì cách giải có lẽ chưa đúng ở chỗ in đậm vì  $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-8< 0$ vẫn có thể xảy ra, như vậy bất đẳng thức phải đổi dấu ắt sai.

 

^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 11-06-2017 - 19:04

[Drago]

Tham khảo: https://diendantoanh...g-thức-bậc-bốn/  ở bài 2.4

https://www.facebook...hc_location=ufi

[Drago]

^^

Ngày xưa làm xong hí hửng lắm cuối cùng bị bắt lỗi này nên nhớ mãi haha

[tuaneee111]

Xin lỗi đã đăng nhầm đề đề đúng là: 

 

 

Tuy nhiên với đề sửa như bạn HoangDinhNhat thì cách giải có lẽ chưa đúng ở chỗ in đậm vì  $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-8< 0$ vẫn có thể xảy ra, như vậy bất đẳng thức phải đổi dấu ắt sai.

     

[Duy Thai2002]

Cách giải của mình:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

$\Rightarrow 3\sum a^{4}+33\geq \left (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+33$

Ta cần chứng minh:$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+33\geq 14\sum a^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-14\sum a^{2}+33\geq 0$

Đặt $a^{2}+b^{2}+c^{2}=x,bpt trở thành:$

$x^{2}-14x+33\geq 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3 & \\ x\geq 11 & \end{matrix}\right.$

Mặt khác, nếu x<3 thì:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}< a+b+c(do a+b+c=3)$ (vô lý vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}> a+b+c)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 11(n) & \\x=3(n) & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow bđt được chứng minh.$

ĐTXR $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 & & ,a^{2}+b^{2}+c^{2}=11 \end{matrix}\right.a+b+c=3$

$\Leftrightarrow a=b=c=1$(Q.E.D)

P/S:Mình mới đăng kí nick nên không biết dùng dấu, thông cảm nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 11-06-2017 - 19:48

[Drago]

Cách giải của mình:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

$\Rightarrow 3\sum a^{4}+33\geq \left (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+33$

Ta cần chứng minh:$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+33\geq 14\sum a^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-14\sum a^{2}+33\geq 0$

Đặt $a^{2}+b^{2}+c^{2}=x,bpt trở thành:$

$x^{2}-14x+33\geq 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3 & \\ x\geq 11 & \end{matrix}\right.$

Mặt khác, nếu x<3 thì:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}< a+b+c(do a+b+c=3)$ (vô lý vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}> a+b+c)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 11(n) & \\x=3(n) & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow bđt được chứng minh.$

ĐTXR $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 & & ,a^{2}+b^{2}+c^{2}=11 \end{matrix}\right.a+b+c=3$

$\Leftrightarrow a=b=c=1$(Q.E.D)

P/S:Mình mới đăng kí nick nên không biết dùng dấu, thông cảm nhé!

Cảm ơn đóng góp của bạn nhưng ta thấy cần chứng minh $x\geq 11$ hoặc $x\leq 3$, mà $\sum a^{2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}=3$ nên nếu $3\leq x\leq 11$ thì bpt sai. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 11-06-2017 - 23:40