Cho x y z >0 và x+y+z=1 Tìm max P=$\sum \sqrt{x+yz}$

$\sum \sqrt{x+yz}=\sum \sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \sum \frac{x+y+x+z}{2}=2(x+y+z)=2$

Lời giải:

Ta có: $\Delta BFC\sim \Delta GED(g.g)\Rightarrow GE.CF=BF.DE$; $\Delta AFB\sim \Delta DEH(g.g)\Rightarrow AF.AH=DE.FB$

Suy ra $GE.CF=AF.AH\Leftrightarrow \frac{AF}{FC}=\frac{GE}{EH}$

- IMO 1990 - 

 

Cho các số nguyên a, b, c sao cho$$a^{3}+b^{3}+c^{3}$$chia hết cho 9. CMR abc chia hết cho 3

 

Ta có:

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
Ta có:
a^3-a=(a-1)(a+1)a chia hết cho 3

b^3-b chia hết cho 3 

c^3-c chia hết cho 3 

suy ra a+b+c chia hết cho 3

Ta có:

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=(a+b+c)((a+b+c)^2-6ab-6ca-6bc)+3abc chia hết cho 9 
suy ra 3abc chia hết cho 9 (dpcm)

Bài này không có Min cũng không có Max

Với b,c càng tăng ví dụ b=c=8, a=$\frac{1}{64}$ thì $P<1$

Với $b=c=0.9$ thì $P>1$

p/s: Diễn đàn toán học là nơi trao đổi những bài toán hay, khó. Không phải nơi làm hộ bài tập về nhà. 

Cho x y z >0 và x+y+z=xyz. Tìm max P=$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sum \sqrt{\frac{yz}{x^2yz+yz}}=\sum \sqrt{\frac{yz}{x(x+y+z)+yz}}=\sum \sqrt{\frac{yz}{(x+z)(x+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z} \right )=\frac{3}{2}$

Cho đường thẳng a nằm ngoài (O). Vẽ OA vuông góc với a(A thuộc a). Kẻ cát tuyến ABC và cát tuyến ADE. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE và DC với a. Chứng minh rằng tam giác OMN cân

Bài toán này gọi là bài toán con bướm ngoài 
cách chứng minh vẫn thế thôi 

Cho a,b,c dương. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{a^{3}}{c^{3}}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Đặt $\frac{a}{b}=z;\frac{b}{c}=x;\frac{c}{a}=y\Rightarrow xyz=1$

Ta đi chứ minh :$x^3+y^3+z^3\geq x^2+y^2+z^2$

Ta có:

$x^3+x^3+1\geq 3x^2$

$y^3+y^3+1\geq 3y^2$

$z^3+z^3+1\geq 3z^2$

$\Rightarrow 2(x^3+y^3+z^3)\geq 3(x^2+y^2+z^2)-3\geq 2(x^2+y^2+z^2)$ (do xyz=1)

Suy ra đpcm

https://diendantoanh...-tiếp-tam-giác/

bạn xem ở đây nhé 

Cho hai số a, b thoả mãn ab+ a+b = 8

Tìm min a²+b² ?

Ta có:

$a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab$

$a^2+4\geq 4a$

$b^2+4\geq 4b$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2)+8\geq 4(ab+a+b)=32\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 8$

Vậy min a^2+b^2=8 khi và chỉ khi a=b=2

Cho $\Delta ABC$ vuông cân ở $A$. Phía ngoài tam giác lấy D sao cho $BD=\sqrt{2}AD$. CMR

$\widehat{ADC}+\widehat{BDC}=45^{o}$

Dựng $\Delta ADE$ vuông cân tại A. Khi đó ta có: $DE=DB=\sqrt{2}AD$(1)

Suy ra $\Delta ACD=\Delta ABE(c.g.c)\Rightarrow \widehat{BEA}=\widehat{CDA}$.

Mặt khác AD vuông góc với AE nên CD vuông góc BE.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{ADC}+\widehat{BDC}=\widehat{ADC}+\widehat{EDC}=\widehat{ADE}=45^0$

p/s: Lâu lắm mới làm bài hình dạo này toàn làm BĐT 

Cho x y z >0 và xyz=1. Tìm min P=$\sum \frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}$

$P=\sum \frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}=\sum \sqrt{1+x^2+y^2}.z\geq \sum \frac{1+x+y}{\sqrt{3}}.z=\frac{x+y+z+2(xy+yz+zx)}{\sqrt{3}}\geq 3\sqrt{3}$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:$ \left | a \right |\leq1, \left | b \right |\leq1,\left | c \right |\leq1$. a+b+c=0. chứng minh $a^4+b^6+c^8\leq2$

Ta có:

$(a+1)(b+1)(c+1)+(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)+2\geq 0\Leftrightarrow (a+b+c)^2+2\geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2$

Suy ra $a^4+b^6+c^8\leq a^2+b^2+c^2\leq 2$

$C/m: \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức trên đúng vì theo AM-GM 3 số

Giải hệ phương trình 

$x^3-16x+4y-y^3=0$

$x^3-\frac{6}{y}=2$

Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh là $a,b,c$. Chứng minh rằng: 

$\frac{cosA+cosB+cosC+3}{cosA+cosB+cosC-1}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3abc}$

(sưu tầm)

Cho các số dương x;y;z thỏa mãn $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} = 1$

$Tìm Max Q = \frac{x}{\sqrt{yz(1+x^{2})}}+\frac{y}{\sqrt{xz(1+y^{2})}}+\frac{z}{\sqrt{yx(1+y^{2})}}$

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\Leftrightarrow x+y+z=xyz$

Ta có:

$\sum \frac{x}{\sqrt{yz(1+x^2)}}=\sum \frac{x}{\sqrt{yz+x.xyz}}=\sum \sqrt{\frac{x^2}{yz+x(x+y+z)}}=\sum \sqrt{\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}.\sum \left ( \frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z} \right )=3/2$

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $BB',CC'$ cắt nhau tại $H. M$ là trung điểm của BC, tia $HM$ cắt đường $(O)$ tại $Q$, tia $MH$ cắt đường $(O)$ tại $P$. Đường phân giác các góc $BPC'$ và $CPB'$ cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $\Delta AEF$ cân và $H,E,F$ thẳng hàng.Capture.PNG

Kẻ đường kính $AQ'$ khi đó $BHCQ'$ là hình bình hành suy ra $P,H,M,Q'$ thẳng hàng

Suy ra: $\widehat{APH}=90^{\circ}$ nên 5 điểm $A,P,C',H,B'$ thuộc một đường tròn 

$\Rightarrow \widehat{PC'A}=\widehat{PB'A}\Rightarrow \triangle PC'B \sim \triangle PB'C(g.g)$

Mà hai tam giác có hai đường phân giác tương ứng nên: $\triangle PC'E \sim \triangle PB'F\Rightarrow \widehat{PEC'}=\widehat{PFB'}\Rightarrow PEFA$ nội tiếp

Ta có:

$\widehat{AEF}=\widehat{APF}=\widehat{APB'}+\widehat{B'PF}=\widehat{AC'B'}+\widehat{BPE}=\widehat{ACB}+\widehat{EPB}=180^{\circ}-\widehat{APE}=\widehat{AFE}$

Suy ra đpcm.

cho 3 số thực a,b,c sao cho a+b+c=3. Tính a² +b² +c² - 6(ab+bc+ac) + 2017  

Bài này không tính được.

Phải là tìm min của BT:

$\large a^2+b^2+c^2-6(ab+bc+ca)+2017 =(a+b+c)^2+2017-9(ab+bc+ca)\geq 9+2017-3(a+b+c)^2=1999$

giải phương trình

 

          $\sqrt{x^3+x^2+4} + \sqrt{x^3+x^2-3}=7$

Đặt $\sqrt{x^3+x^2+4}=a$; căn (x^3+x^2-3)=b

=> a^2-b^2=7; a=7-b

Thay vào tìm a => x

$\frac{a^{2}}{x}$ +$\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ $\geq$ $\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$

Áp dụng Bunhia ta có:

(a^2/x+b^2/y+c^2/z)(x+y+z)>=(a+b+c)^2 

=> đpcm 

Cho (O,R). Lấy P cố định ngoài (O). Từ P vẽ cát tuyến PAB với(O)(A nằm giữa P và B, A,B di động).I là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của (O).Chứng minh I nằm trên đường thẳng cố định khi cát tuyến PAB thay đổi.

Bài này khá đơn giản 

Cho x, y ,z > 0 và $\sqrt{xy}+\sqrt{zy}+\sqrt{xz} = 3$. Tìm MIn :

$\frac{x^{2}}{x+y}+ \frac{y^{2}}{z+y}+ \frac{z^{2}}{x+z}$

Cauchy - Schwarz ta có:

$\sum \frac{x^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}$

Mà $x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=3$

Suy ra min=3/2

Vì tam giác ABC cân tại A có ME song song AC, MD song song AB nên $EN=EM=EB; DM=DC=DN$

Áp dụng tính chất góc nội tiếp ta có:

$\widehat{BNC}=\widehat{BNM}+\widehat{MNC}=\frac{\widehat{BEM}+\widehat{MDC}}{2}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ABC}}{2}=\widehat{ABC}$

Suy ra N thuộc (ABC) 

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ là các số nguyên.

Chứng minh:

 $\left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |$

Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp , đường tròn nội tiếp tam giác ABC vuông tại A . CMR : $\frac{r}{R}\geqslant 2r$

bạn xem lại đề nhé vì điều cần CM tương đương với 2R<=1