b)

Gọi $K$ là điểm thuộc $(O)$ sao cho $BCKQ$ là hình thang cân

$AK$ cắt $BC$ tại $I$

$BQ =KC$

$\Rightarrow\widehat{BAQ} =\widehat{IAC}$

mà $\widehat{BQA} =\widehat{ICA}$

$\Rightarrow\triangle BAQ\sim\triangle  IAC$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{BA}{BQ} =\frac{IA}{IC} =\frac{AC}{CQ}$

mà $\widehat{IAC} =\widehat{ICQ}$

$\Rightarrow\triangle IAC\sim\triangle ICQ$ (c, g, c)

$\Rightarrow \widehat{AIC} =\widehat{CIQ}$

$\Rightarrow\widehat{BIQ} =\widehat{BIA} =\widehat{CIK}$

$\Rightarrow\triangle BIQ\sim\triangle CIK$ (g, g)

mà $BQ =CK$

$\Rightarrow\triangle BIQ =\triangle CIK$

$\Rightarrow IB =IC$

gọi $G$ là giao điểm $EF, MN$, có $G$ là trung điểm $EF$

$\triangle AEF\sim\triangle ABC$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{AF}{AC} =\frac{FE}{CB} =\frac{2FG}{2CI} =\frac{FG}{CI}$

$\Rightarrow\triangle AFG\sim\triangle ACI$ (c, g, c)

$\Rightarrow\widehat{FAG} =\widehat{CAI} =\widehat{BAQ}$

$\Rightarrow Q, A, G$ thẳng hàng

$\Rightarrow NM, EF, QP$ đồng quy

 

 

Câu b sao lại có ý tưởng lấy K vậy anh

ANH giải hay qua!!!!!

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), dấy BC cố định, 2 đường cao BE,CF cắt nhau ở H. Lấy M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên phân giác trong và ngoài của góc BAC. Các tiếp tuyến  tại B và C cắt nhau ở P, AP cắt (O) ở Q

a, CM: MN là trung trực È. Tia phân giác góc BAC cắt BC ở J. CM QJ là phân giác góc BQC

b,CM: AP,MN,EF đồng quy

c,CM: Khi A di chuyển NM luôn đi qua điểm cố định

Sau đây là một số bài hệ phương trình vô tỷ  :

$\boxed{\text{Bài 74}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \end{matrix}\right.$

 

 

 

$\boxed{\text{Bài 76}}$ $\left\{\begin{matrix} x+\frac{2}{x}=2y+\frac{1}{y}\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 77}}$ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5\\ \sqrt{2x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 74:

ĐK : ....

Lấy PT(1)-PT(2) ta đc 

$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}=0<=> \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\sqrt{2-\frac{1}{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}}<=>\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}$ (trục căn thức)

Bài 76: từ PT(1) => $(x-2y)(1-\frac{1}{xy})$=0 =>...

Bài 77:  

Đặt $(\sqrt{7x+y};\sqrt{2x+y})=(a;b)$ => $x=\frac{a^2-b^2}{5};y=\frac{7}{5}b^2-\frac{2}{5}a^2$

Hệ pt <=> $\left\{\begin{matrix} a+b=5 & \\a+\frac{a^2-b^2}{5}-\frac{7}{5}b^2+\frac{2}{5}a^2=1 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} a+b=5 & \\5b+3a^2-8b^2=5 & \end{matrix}\right.$ (cách này ko hay)

p/s: mấy bài mà lâu quá ko ai làm, mấy bạn ra đề có thể post lời giải luôn cho bài đỡ trôi được ko

$j= \frac{1}{6}\,\left( {\frac{4}{{a + b}} + \frac{4}{{b + c}} + \frac{4}{{c + a}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - \frac{1}{{4\,a + b + c}} - \frac{1}{{a + 4\,b + c}} - \frac{1}{{a + b + 4\,c}} - \frac{2}{{a + 5\,b}} - \frac{2}{{b + 5\,c}} - \frac{2}{{c + 5\,a}}\geqq 0$

 

$\Leftrightarrow {j}'= 0$

Có thể làm rõ hơn được không ạ, chứ thế này thì hơi ...

em có cách khác 

$\sum \frac{1}{4a+b+c} + \sum \frac{2}{a+5b}-\frac{1}{6}(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 0$

Bài 73:

Giải phương trình

 $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1} = 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$

Đặt $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=a (a>0) => a^2=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}$+4

PT tương đương: $a^2-20-a=0$ <=> (a-5)(a+4)=0

đề hình như là $\sqrt{7x+2}-\sqrt{5-x}=\frac{8x-3}{5}$

Em chưa hiểu đoạn này ạ. Có phải là do quy đồng phân thức đầu tiên với $\sqrt{7x+2}-\sqrt{5-x}$ không ạ ?

cài này là trục căn thức lớp 9 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Cho a,b,c$\geq$0
Chứng minh rằng: $\sum \sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq 2(a+b+c)$

Ta đi CM: $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}\geq a+b<=> 4(a^3+b^3)\geq a^3+b^3+3ab(a+b)<=> a^3+b^3\geq ab(a+b)$ (luôn đúng) 

Tương tự:....

=> đpcm

Bài 66: $\sqrt{7x-2}-\sqrt{5-x}=\frac{8x-3}{5}$
 

đề hình như là $\sqrt{7x+2}-\sqrt{5-x}=\frac{8x-3}{5}$

Trục căn thức ta đc

$\frac{8x-3}{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5-x}}-\frac{8x-3}{5}=0<=> (8x-3)(\frac{1}{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5-x}}-\frac{1}{5})=0$

=> 8x-3=0

hoặc $\sqrt{7x+2}+\sqrt{5-x}=5=> 6x+7+2\sqrt{(7x+2)(5-x)}=25<=>\sqrt{33x+10-7x^2}=9-3x(\frac{-2}{7}\leq x\leq 3) => 33x+10-7x^2=81-54x+9x^2<=>16x^2-87x+71=0=> x=1$(TM) hoặc $x=\frac{71}{16}$ (L)

Góp vài bài:

Bài 70:$x(2+\sqrt{x^4+x^2+3})\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x^4+x^2+3}$

Bài 71: $(\frac{x^3-x}{2})^3=2x+\sqrt[3]{\frac{x^3+3x}{2}}$

Bài 72: $x^2+\sqrt{x^4+x}=24x^4-\frac{1}{2}$

 

Bài 53: giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+3}+2\sqrt{x}=3+\sqrt{y} & & \\ \sqrt{y^2+3}+2\sqrt{y}=3+\sqrt{x} & & \end{matrix}\right.$

 

 

Lấy PT(1)-PT(2) ta được:

$\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}+3\sqrt{x}-3\sqrt{y}=0<=> \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3}}+3(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0 => x=y$

Bài 57: Giải pt:

$\sqrt[3]{x+6}+x^2=7-\sqrt{x-1}$

ĐK: x$\geq 1$

Trục căn thức?

$(\sqrt[3]{x+6}-2)+(x^2-4)+(\sqrt{x-1}-1)=0$=> (x-2).X=0 => x=2 (X>0)

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2018$

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$

C2: Ta có $\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$

tương tự:...

=> $P\geq \sum \frac{x^2}{\sqrt{2(y^2+z^2)}}$

Đặt $(\sqrt{x^2+y^2};\sqrt{y^2+z^2};\sqrt{x^2+z^2})=(a;b;c)$

=> $x^2=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};y^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

=> $P\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a})=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sum (\frac{a^2+c^2}{b}-b) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum (\frac{(a+c)^2}{2b}-b))=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum ((\frac{(a+c)^2}{2b}+2b)-3b))\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum 2(a+c)-3b)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2018}}{2}$

Haizzz, Các bạn giải quyết thật là mau!

 

 

Bài toán số 38: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1}+1=(x+y)^2+\sqrt{2x+2y}\\ x^2-xy=3 \end{matrix}\right.$

 

Đk: x+y$\geq 0$

$(x+y)^2-1+\sqrt{2x+2y}-\sqrt{x+y+1}=0<=>(x+y-1)(x+y+1)+\frac{x+y-1}{\sqrt{2x+2y}+\sqrt{x+y+1}}=0=>x+y-1=0$...

Cho các số $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=a^3+b^3+c^3-(a^2+b^2+c^2)$

Sưu tầm 

Có $a^3+a^3+27\geq 9a^2$

Tương tự: ...

=> $2(a^3+b^3+c^3)\geq 9(a^2+b^2+c^2)$-81

Lại có $7(a^2+b^2+c^2)\geq 7(ab+ac+bc)$

Cộng vế vs vế của 2 BĐT => $2(a^3+b^3+c^3)\geq 2(a^2+b^2+c^2)+7(ab+ac+bc)-81=>2A\geq 7(ab+ac+bc)-81=108 => A\geq 54$

 

47) Giải pt: $\sqrt{-x^2+4x-3}+\sqrt{-2x^2+8x+1}=x^3-4x^2+4x+4$

 

ĐK:....

$x(x^2-4x+4)+1-\sqrt{-x^2+4x-3}+3-\sqrt{-2x^2+8x+1}<=>x(x^2-4x+4)+\frac{1+x^2-4x+3}{1+\sqrt{-x^2+4x-3}}+\frac{9+2x^2-8x-1}{3+\sqrt{-2x^2+8x-8}}=0<=>(x^2-4x+4)(x+\frac{1}{1+\sqrt{-x^2+4x-3}}+\frac{2}{3+\sqrt{-2x^2+8x+1}})....$ (đk x>1)

P/s: đáng lẽ nên gộp chung vào cho tiết kiệm, quên

46) Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^2+y=4x\\ x^4+y^2=2x^2y+y-4 \end{matrix}\right.$

 

 

p/s Vậy là TOPIC đã đạt ngưỡng 50 bài rồi!

Cộng vế vs vế của hệ ta được:

$x^4+y^2-2x^2y + x^2 -4x+4=0<=> (x^2-y)^2+(x-2)^2=0$....

 

Bài toán số 13: $\sqrt{2(x^4+4)}=3x^2-10x+6$

PT => $\sqrt{2(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}=3(x^2-2x+2)-4x$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a;\sqrt{x^2+2x+2}=b(a,b>0)$

PT <=> $ab\sqrt{2}=3a^2+a^2-b^2<=> 4a^2-ab\sqrt{2}-b^2=0$....

P/s: rảnh quá làm luôn, tiện thể đóng góp mấy bài.

Bài 24: $(x+1)\sqrt{2x^2-2x}=2x^2-3x-2$

Bài 25: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{6z} =\frac{1}{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}}& \\x+y^2+z^3=14 & \end{matrix}\right.$ (x,y,z>0)

Bài 26: $(2x-5)\sqrt{2x+3}=(\frac{2}{3}x+1)\sqrt{\frac{2}{3}x-1}$

bạn xem lại đoạn này vì chia 2 thì còn là $3\sqrt{x^2+x-2}$

Cảm ơn bạn đã để ý nhưng lần sau gửi qua nick mình là đc, tránh nhiễu topic.

Bài 23: $8x^2 +3x + (4x^2+x-2)\sqrt{x+4}=4$

 

Bài 22: Giải pt: $\sqrt{3x}+\sqrt{\frac{x^2-1}{3x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$

ĐK: ....

Đặt $a=\sqrt{3x}; b=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$(a;b>0)

Ta có $b^2=2x+2\sqrt{x^2-1}=2.\frac{a^2}{3} + 2\sqrt{x^2-1}=> \sqrt{x^2-1}=\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{3}$

Từ PT=> $3x + \sqrt{x^2-1}=\sqrt{3x}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})<=> a^2+\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{3}=ab<=> \frac{2a^2}{3}+\frac{b^2}{2}=ab<=> 4a^2+3b^2-6ab=0$

=> a=b=0 (VL) 

Vậy vô nghiệm à?

 

Bài 19: Giải pt: $2(5x+3\sqrt{x^2+x-2})=27+3\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}$

 

ĐK:...

Đặt $3\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=a$(a>0) => $a^2=9x-9 +x+2 + 6\sqrt{x^2+x-2}=> 5x + 3\sqrt{x^2+x-2}=\frac{a^2+7}{2}$

PT <=> $a^2+7=27+a<=> a^2-a-20=0 <=> (a-5)(a+4)=0$...

Cho x,  y là các số thực dương. tìm MIN của

$\fn_phv \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}).\sqrt{2.(x^{2}+y^{2})}$

$\frac{xy}{x^2+y^2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq \frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x+y}{xy}(x+y)=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2=(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy})+2\geq 2+2=4$

Sao thành lập nhanh thế, ít nhất cũng thông báo để có sự thống nhất chứ , không hề hay biết hay thông báo gì để mọi người thống nhất hết trơn , đang định nhờ người khác làm phần này thì có bạn làm thay, thật tốt quá!

 

 $\boxed{\text{Bài 16}}$ Giải phương trình $\sqrt{55-6x-x^2}=\frac{29-x}{x+2}$

Từ PT =>  $58-2x = 2(x+2)\sqrt{55-6x-x^2}<=> x^2+4x+4-2(x+2)\sqrt{55-6x-x^2}+55-6x-x^2<=> (x+2-\sqrt{55-6x-x^2})^2=0...$

P/s: What about hình anh ơi.

 

Bài 8: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x-2y=\sqrt{3y}-\sqrt{x+y}\\ 4x^2y^2-10x^2y+8x^2-10x+4=0 \end{matrix}\right.$

 

 

Từ PT (1), chuyển sang trục căn thức dễ thấy x=2y.

Từ x=2y ta có PT(2) <=> $x^4 -5x^3 +8x^2 -10x+4=0<=> (x^2-2x+2)(x^2-3x+2)=0$.....

Bài toán số 13: $\sqrt{2(x^4+4)}=3x^2-10x+6$

Cho hàm số y=$\frac{1}{2}x^2$ đồ thị là P. Trên (P) lấy 2 điểm M,N lần lượt hoành độ là -1 và -2. Tìm trên Oy điểm P sao cho MP+NP nhỏ nhất

Cho a, b, c, d>0 thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=2$.

Chứng minh rằng: 

$\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{d^2+1}{2}}+8\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})$

nguồn facebook: The art of Mathematics( đừng like tui làm j, tìm link bài nay mà like)

Giải PT sau:

$\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

bài mình từ post bựa trước này

 

Bài 27: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

           $54x^3-1=y^3$

+ Xét x=0 => y=-1

+ Xét x khác 0

Nhân cả 2 vế của PT cho $4.54x^{3}$ ta được:

$4.54x^3(54x^3)-4.54x^3=(6xy)^3$

<=> $(2.54.x^3)^2-2.2.54x^3+1=(6xy)^3+1<=> (2.54.x^3-1)^2=(6xy)^3+1$

Đặt $2.54.x^3=a ; 6xy=b$ (a,b nguyên)

PT <=> $a^3=b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)$

$(b+1;b^2-b+1)=d$

Có $(b+1)^2-(b^2-b+1)$ chia hết d

<=> 3b chia hết d

=> 3 chia hết d hoặc b chia hết 3

Mà b+1=6xy+1 không chia hết 3

=> 3 không chia hết d => b chia hết d => d=1

Đặt $(b+1;b^2-b+1)=(m^2;n^2)$(m khác 1)

Ta đi CM: $(m^2-1)^2>n^2>(m^2-2)^2$( các bạn cố gắng CM nhé, mình quên rùi)

=> pt vô nghiệm

P/s: Đây là đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2015-2016