Cho tam giác ABC nhọn có D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với AB, AC và H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và C lên AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHK là trực tâm của tam giác ADE.

Cho tam giác ABC nhọn, không cân,  trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp là O, và đường cao AD. Đường thẳng AO cắt BC tại E. Gọi I, S, F lần lượt là trung điểm AE, AH và BC. Đường thẳng qua D song song với OH lần lượt cắt AB, AC tại M và N. Đường thẳng DI lần lượt cắt AB, AC tại P, Q. Đường thẳng MQ cắt NP tại T. Chứng minh rằng:

a)     SF // AE.

b)    Các điểm D, O, T thẳng hàng.

Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác ABC là tam giác nhọn. D là một điểm thuộc đoạn BC sao cho ADB < 90

Từ điểm C kẻ các tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (M, N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm CM, CN. Giả sử PQ cắt đoạn BC tại E. Lấy F trên đoạn AE sao cho EFC = DAC. Chứng minh BEF = BAC

Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến tại A, B của (O1) cắt nhau ở D. Xét điểm C trên đường tròn (O1). Các đường thẳng AC, BC cắt lại (O2) tại E, F theo thứ tự đó. Chứng minh CD luôn đi qua trung điểm EF

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O.$ Một đường thẳng qua $O$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ tại $M,Q,N,P$ theo thứ tự đó. $X,Y,Z,T$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(CM,AN),(AQ,CP),(DN,BM),(DQ,BP)$ tương ứng. Chứng minh $X,Y,Z,T$ thẳng hàng.

Ta có n⁵ + n⁴ + 1 = (n² + n + 1)(n³ - n + 1) = p^k

Gọi (n² + n + 1, n³ - n + 1) = d

Ta có d/(n² + n + 1) => d/(n³ - 1)

Lại có d/ (n³ - n + 1) => d/(n - 2).   n² + n + 1 = n² - 4+ n - 2 + 7 => d/7. Do đó d = 1 hoặc 7

TH1: d = 7 => n = 7t + 2.  Đặt n² + n + 1 = 7^a

                                                n³ - n + 1 = 7^b

Thay vào ta được 7t² + 5t + 1 = 7^a-1  => 7/(t - 4)

                             49t³ + 42t² + 11t + 1 = 7^b-1 => 7/(t - 5)    (MT)

Do đó a hoặc  b phải bằng 1 

TH2: d = 1 thì đơn giản rồi

Ta có: ab - cd = (a + b - c - d)(a + b + c + d)    (1)

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố

(1) => (a + b + c + d)/(ab - cd) => (a + b + c + d)/a(a + b + c + d) - (ab - cd)

                                                => (a + b + c + d)/(a + c)(a + d)

Do đó a + b + c + d là ước của a + c hoặc b + d  (vô lý)

Ta có ĐPCM

Tìm tất cả các hàm f: N^* - N^*: 2(f(m² + n²))³ = f²(m)f(n) + f²(n)f(m)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x⁴y² + x³y - x²y² - 3xy - y² - 2x - 2y - 2 = 0

Giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 3

Ta có a³ chia 9 dư 1 hoặc -1 

=> a³ + b³ + c³ không chia hết cho 9

f(x + f(y)) = f(x + xy) + yf(1 - x)      (1)

Kí hiệu P(u, v) là cách thay tương ứng giá trị x, y vào (1)

TH1: f(1) = 0

P(0, y): f(f(y)) = f(0)

P(0, 0): f(f(0)) = f(0) => f(a) = a (a = f(0))

P(1, a): f(1 + a) = f(1 + a) + a² => a = 0 => f(0) = 0

Do đó f(f(y)) =0

P(1, y): f(1 + f(y)) = f(1 + y)   (2)

Trong 2 thay y bởi f(y) => 0 = f(1) = f(1 + f(y)) => f(y + 1) = 0  

TH2: f(1) # 0:

P(0, y): f(f(y)) = f(0) + yf(1) => f là đơn ánh

P(x, 0): f(x + f(0)) = f(x) => f(0) = 0

P(1, y): f(1 + f(y)) = f(1 + y) => f(y) = y

Vậy f(x) = 0 hoặc f(x) = x

Chứng minh rằng không tồn tại một song ánh từ N^* - N thỏa mãn điều kiện:

 f(xy) = f(x) + f(y) + 3f(x)f(y).

tìm tất cả các hàm f: N-R sao cho với mọi số tự nhiên x, y, z ta có:    f(xy) + f(xz) - f(x)f(yz) > 1

Tìm tất ca các hàm f: Z - Z thỏa mãn điều kiện:

 i) f(f(x)) = x

 ii) f(f(x) + f(y)) = f(x + y)

 iii) f nhận vô số giá trị

$\sqrt{2()}$

Mô

Kiểm tra lại đi, một số chính phương chỉ chia 4 dư 0 hoặc 1 thôi

nhưng 1²+4²+9² k chia hết cho 4

Kiểm tra lại đi

Vẫn sai bạn ơi như VD trên thì 1 và 3 là số lẻ mà nhưng vẫn chia hết cho 2

1 + 4 + 9 = 14 có chia hết cho 4 đâu.

Bạn làm ơn đọc ky giúp mình

sao lại v bạn ơi sao lại a,b,c chia hết cho 4

VD (1²+3²+2²) chia hết cho 2 nhưng 1 đâu chia hết cho 2 ; 3 đâu chia hết cho 2

Mình viết nhầm, chỗ đó là a, b, c cùng chẵn 

Do 1396 chia hết cho 4. Nên bắt buộc a, b, c cùng chẵn

Ta có: c(ac + 1)² = (2c + b)(3c + b)       (1)

Gọi (b, c) = d. Đặt b = db₁

                              c = dc₁          (b₁, c₁) = 1

(1) <=> c₁(ac + 1)² = d(2c₁ + b₁)(3c₁ + b₁)        (2)

Gọi (ac + 1, d) = k. Ta có c chia hết cho d => c chia hết cho k => 1 chia hết cho k

Do đó (ac + 1, d) = 1 

(2) => c₁ chia hết cho d. Đặt c₁ = c₂d.

(2) <=> c₂(ac + 1)² = (2c₁ + b₁)(3c₁ + b₁)

Gọi (c₂, 2c₁ + b₁) = x. Ta có c₁ chia hết cho c₂ => c₁ chia hết cho x => b₁ chia hết cho x (Loại do (b₁, c₁) = 1)

Tương tự (c₂, 2c₁ + b₁) = 1.

Do đó c₂ = 1=> c₁ = d => c = d²

giải thích kĩ vì sao tại m=8 ra cùng tính chẵn lẻ(loại ) zẻ bạn 

Ta có (a² + b² + c²) - (a + b + c) = a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) => (a² + b² + c²) - (a + b + c) chia hết cho 2

Do đó a² + b² + c², a + b + c phải cùng tính chăn lẻ

Theo nguyên lý Đi-rich-le, trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 có 2 số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a - 1, b - 1

Ta có (a - 1)(b - 1) > 0 <=> ab + 1 > a + b 

                                    <=> ab > a + b - 1

Ta có: 9 = 2(a² + b² + c²) + 3abc > 2(a² + b² + c²​) + 3(a + b - 1)c

                                                     > (a + b)² + 2c²​ + 3ac + 3bc - 3c             (2a² + 2b²> (a + b)²)

Do đó  36 > 4(a + b)² + 8c² + 12ac + 12bc - 12c =  4(a + b)² + 12c(a + b) + 9c² - c² - 12c 

     <=>(c + 6)²> (2a + 2b + 3c)²

     <=> c + 6 > 2a + 2b + 3c

     <=> 3 > a + b + c

TH1: a chẵn, b chẵn

Khi đó a² + b² chia hết cho 4. Đặt a² + b² = 4k (k>0). Chọn c = (k - 1)

TH2: a lẻ, b chẵn. Khi đó a² chia 4 dư 1 => a² + b² chia 4 dư 1. Đặt a² + b² = 4k + 1 (k>0). Chọn c = (2k)

TH3: a chẵn, b lẻ tương tự TH2

Ta có: d² < 2021 => d < 45 => n² < 45 => n < 7

          4d² > 2021 => d > 22 => n² > 22 => n > 4

TH1: n = 5 => d = 25

Khi đó a² + b² + c² = 1396 (1). Do 1396 chia hết cho 4 => a, b,c đều chia hết cho 4.

(1) => 1396 < 3c² => 21 < c. Lại có c < d => c = 24

Do đó a² + b² = 820 => 820 < 2b² => 21 < b

Lại có b² < 820 => b < 29. Do b chia hết cho 4 nên b = 24 hoặc b = 28

  +Nếu b = 24 (loại do a nguyên)

  +Nếu b = 28 => b > c (loại)

TH2: n = 6 => d = 36

Khi đó a² + b² + c² = 725 (2) => 725 < 3c² => 16 < c

Ta có (a + b + c)² < 3(a² + b² + c² ) => (m² - 36)² < 2175 => m² - 36 < 46 => m²< 84

Lại co a + b + c + 36 = m² => c + 36 < m² => 52 < m²

Do đó m = 8 hoặc m = 9

 + Nếu m = 8. Khi đó a + b + c = 28. Lại có a + b + c, a² + b² + c²  cùng tính chẵn lẻ (Loại)

 + Nếu m = 9. Khi đó a + b + c = 45.

Ta có nhận xét từ (2) => có 2 số chẵn và 1 số lẻ (Nếu có 3 số lẻ thì VT chia 4 dư 3, VP chia 4 dư 1)

Từ (2) => c² < 725 => c < 26.

Do đó 16 < c < 26

Xét c = 16 => a + b = 29; a² + b² = 469 => 2b²> 469 => b > 16 => b = 16 (Loại do không tồn tại a)    (a < b < c)

Xét c = 17 => a + b = 28; a² + b² = 436 => 2b²> 436 => b > 15. Do c lẻ nên a, b phải chẵn => b = 16 (Loại do không tồn tại a)

Tương tự ta sẽ tìm được một bộ a = 10, b = 15, c = 20, d = 36

Ta có $f(4)=f(2)+f(2) \Rightarrow 2f(2)=0 \Rightarrow f(2)=0.$

$6$ là số hoàn hảo $\Rightarrow f(6)=0.$

Lại có $f(6)=f(2)+f(3) \Rightarrow f(3)=0;f(74)=f(2)+f(37) \Rightarrow f(37)=0.$ Do đó $f(1998)=0.$