Với $G$ là một nhóm, nhắc lại rằng giao hoán tử của hai phần tử $x,y \in G$ được định nghĩa bởi $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$. Nhóm con dẫn xuất của $G$, ký hiệu bởi $[G,G]$, được định nghĩa là nhóm con sinh bởi tất cả các giao hoán tử $[x,y]$, với $x,y \in G$; đây là một nhóm con chuẩn tắc của $G$. Abel hóa của $G$ là nhóm thương $G^{\text{ab}}:=G/[G,G]$; đây là một nhóm abel.
Nếu $G$ tác động trên một nhóm abel $A$ (bởi các tự đẳng cấu nhóm, tất nhiên), với tác động ký hiệu bởi $G \times A \owns (g,a) \mapsto g \cdot a \in A$, ta gọi đối bất biến $A_G$ của $A$ là nhóm thương của $A$ bởi nhóm con sinh bởi các phần tử $g \cdot a - a$, với $g \in G$ và $a \in A$.
Nếu $G$ tác động lên một nhóm $H$ (bởi các tự đẳng cấu nhóm), tích nửa trực tiếp $H \rtimes G$ là tích Descartes $H \times G$ với phép nhân cho bởi công thức $(h_1,g_1)(h_2,g_2) := (h_1(g_1 \cdot h_2), g_1g_2)$.
Chứng minh rằng khi đó, tác động của $G$ trên $H$ cảm sinh một tác động trên $H^{\text{ab}}$, và abel hóa của $H \rtimes G$ được cho bởi công thức $$(H \rtimes G)^{\text{ab}} = H^{\text{ab}}_G \times G^{\text{ab}}.$$