Cho $\left\{\begin{matrix} a+b+c=5\\ ab+bc+ca=8 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $a,b,c\in [1,\frac{7}{3}]$

Spoiler

Nếu dễ thì đừng chửi tui nhaaaaaaa

Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.

p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt

Cho $a,b,c >0$ thỏa $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của: $\sum \frac{\sqrt{a^2+1} \sqrt{b^2+1}}{ \sqrt{c^2+1}} $

Ta có: $\frac{\sqrt{a^2+1}\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=\frac{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\sqrt{b^2+ab+ac+bc}}{\sqrt{c^2+ab+ac+bc}}=\frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}\sqrt{(b+a)(b+c)}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}=a+b$

Tương tự cộng lại ta có: $P=2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi : $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho một hình lập phương. Mỗi điểm trên hình chứa một giá trị như dưới. Nếu ta cộng 1 vào cả 2 điểm trên cùng một cạnh thì sau một số bước như vậy, tất cả các giá trị của từng điểm có thể bằng nhau được không ?

Không biết có đúng không,

Ta có tổng các số trên là lẻ. Sau mỗi bước như vậy thì tổng của tất cả các số đều chia 2 dư 1. Mà có tất cả 8 điểm nên không thể có chuyện tất cả từng điểm bằng nhau.

p/s: Có dễ quá không?

Giải phương trình: $(x+\sqrt{x^2+2010})(y+\sqrt{y^2+2010})=2010$

Ta có: $x+\sqrt{x^2+2010}=\frac{2010}{y+\sqrt{y^2+2010}}=y-\sqrt{y^2+2010}$
Tương tự: $y+\sqrt{y^2+2010}=x-\sqrt{x^2-2010}$
Cộng lại ta có:$x=y$
Thế vào giải tiếp...

P/s: đag on đt nên bất tiện.. 

 

Trong bài toán này ta chỉ xét các biểu thức số học mà các toán hạng đều các số nguyên không dấu, các toán tử là các phép cộng, trừ, nhân, chia (viết là: +, -, *, /) và các dấu mở ngoặc ‘(‘, đóng ngoặc ‘)’. Kết quả phép chia hai số nguyên cũng là nguyên (phép chia lấy thương). Thứ tự ưu tiên các phép toán hiểu như thông thường, nghĩa là biểu thức trong cặp ngoặc ( ) có độ ưu tiên cao nhất, sau đó đến phép nhân và chia, cuối cùng là phép cộng và trừ.

Hãy viết một chương trình tính giá trị của một biểu thức.

 

Cái này thi xong mình viết cho :v khỏi bây giờ đang mắc (đăng kí trước )

p/s: chắc không bị Spam đâu nhể

Mà lần sau bạn không được đang vào đây... Lập trình Pascal vẫn có mục của riêng nó. Ngoài ra bạn còn sai tiêu đề nữa. Lần đầu nên chỉ nhắc nhở thôi. Nhớ đặt tiêu đề lại và gửi bài ở chỗ khác. 

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

Giải phương trình sau:


 

$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$

Áp dụng BĐT bunhia cho 2 dãy: $x,1$ và $\sqrt{x+1}, \sqrt{3-x}$ ta có:
             $[(\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{3-x})^2][x^2+1] \geq (x \sqrt{x+1} + \sqrt{3-x})^2$

             $\Leftrightarrow 2(x^2+1)\geq x\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}$

Sau đó dùng điều kiện xảy ra dấu bằng để tìm nghiệm.
Do mk on bằng điện thoại nên ko trình bày chi tiết đc mọi người thông cảm !

Theo AM-GM

$\frac{x^3}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3x}{2}$

Thiết lập tương tự ta sẽ có: $\sum \frac{x^3}{y(x+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{\sum \sqrt{xy}}{2}=\frac{1}{2}$

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

Nguồn: Nhóm giáo Viên THCS Hà Tĩnh

1. $\left | x-1 \right |+\left | -2x+6 \right |\geq x-5$

2.$\sqrt{-x^2+4x-3}\geq 2x-5$

3. $\left | x^2+x-1 \right |\leq 2x-1$

4.$\sqrt{-x^2+6x-5}\geq 8-2x$

1. $\left | x-1 \right |+\left | -2x+6 \right |\geq \left | x-1-2x+6 \right | = \left | -x+5 \right |\geq x-5$

Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} (x-1)(-2x+6)\geq 0\\ x\geq 5 \end{matrix}\right.$.....

Cho $a,b,c>0, a+b+c=3$ CMR: $(a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ca)^8\leq 3^9$

Có đây bạn ơi: http://www.academia....YÊN_VÀ_ỨNG_DỤNG

Giải phương trình:  $2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$

Áp dung BDT BunhiaCopxki cho hai dãy: $a\sqrt{a},b\sqrt{b},c\sqrt{c} $ và $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$

Ta có:  $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$ $\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{(a+b+c)^2}{3})\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Suy ra : $P\geq a^2+b^2+c^2 +5(ab+bc+ca)$

Đến đây bạn giải tiếp nha...

Đáp án đây. Nhưng bạn nào có cách giải hay và dễ hiểu hơn không?

Bạn tự vẽ hình nha.

Gọi giao của EC với AB là M'. Ta cần c/m $M\equiv M'$

Thật vậy:

$\Delta M'EB \sim \Delta M'BC(g.g)\Rightarrow M'B^2 = M'E.M'C (1)$

$\widehat{M'AE} = \widehat{HDC}=\widehat{ECA} \Rightarrow \Delta M'AE\sim \Delta M'CA(g.g)$ hay $M'A^2=M'E.M'C(2)$

Từ (1)(2) suy ra: AM'=BM' hay M' là trung điểm của AB 

suy ra: $M\equiv M'$ hay M,C,E thẳng hàng (ĐPCM)

Giải phương trình : $\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0$

Giải phương trình: $2(5x+3\sqrt{x^2+x-2})=3\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}+27$

Cho x,y T/m $x^3+y^3=2$

Tìm gtnn của biểu thức P= $x^2+y^2+\frac{9}{x+y}$

$\frac{1}{2016x+1}-\frac{1}{2017x+2}=\frac{1}{2018x+4}-\frac{1}{2019x+5}$

Ta có: $\frac{1}{2016x+1}-\frac{1}{2017x+2}=\frac{1}{2018x+4}-\frac{1}{2019x+5} \Rightarrow \frac{x+1}{(2016x+1)(2017x+2)}=\frac{x+1}{(2016x+1)(2017x+2)} \Rightarrow$ $x=-1$ hoặc $(2016x+1)(2017x+2)=(2018x+4)(2019x+5)$

Trường hợp thứ 2, phân tích ra được phương trình bậc 2. Giải nghiệm là OK!

Cho $\Delta ABC, \widehat{A}\geq 90^{0}$ có $BC=a, AC=b,AB=c$

Tìm min của $P=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$

Đề thi HSG Tỉnh Phú Yên. Mọi người cùng làm nha!

Bạn tự vẽ hình nha.

Trên nửa mp bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho CBx = BAD. Bx cắt AD tại M.

Ta có: $\Delta ADC \sim \Delta BDM (g.g) \Rightarrow AD . DM=BD.DC$

 $\Delta ADC \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AB.AC=AD.DM$

$\Rightarrow AD.AM - AD.DM = AB.AC-BD.DC \Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.DC < AB.AC (đpcm)$