Chủ đề này có 1 trả lời

[conankun]

Cho $\Delta ABC, \widehat{A}\geq 90^{0}$ có $BC=a, AC=b,AB=c$

Tìm min của $P=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$

[hoangkimca2k2]

Cho $\Delta ABC, \widehat{A}\geq 90^{0}$ có $BC=a, AC=b,AB=c$

Tìm min của $P=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$

Ta có:$\widehat{A}\geq 90^{0}\Rightarrow cosA\leq 0$ nên $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA\geq b^{2}+c^{2}$ 

Lại có: $P=2+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$

$\geq 4+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{2b}+\frac{a}{2b}+\frac{a}{2c}+\frac{a}{2c}$ ( Theo BĐT $Cauchy$)

$\geq 4+6\sqrt[6]{\frac{a^{2}}{16bc}}$ (Theo BĐT $Cauchy$)

$\geq 4+6\sqrt[6]{\frac{b^{2}+c^{2}}{16bc}}$

$\geq 4+3\sqrt{2}$ Xảy ra khi $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 11-04-2018 - 15:12