Cho d,e,f nguyên thỏa mãn: $d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4}=0$
CMR: d=e=f=0

Chỉ cần d,e,f hữu tỉ là OK!
Làm thế này:
$d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4}=0 \Rightarrow (d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4})(f\sqrt[3]{2}-e)=0$
$\Rightarrow (df-e^2)\sqrt[3]{2}=de-2f^2$
$\Rightarrow df-e^2=de-2f^2=0$
....

Mấy bạn spam vừa thôi
Gọi số học sinh là $m$,số phòng là $n$
Theo bài ra:
$m=22n+1$

$m \vdots (n-1)$

nên $22n+1 \vdots n-1$

$\Rightarrow 23 \vdots n-1$

$n =2;24$
Từ giả thiết suy ra $n=24$
có $529$ học sinh ..

Ai giúp mình thêm mấy bài này đi khó quá mai cần r�#8220;i, please
1)CMR: $k = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{|7 - 5\sqrt 2 |}}$
2)Tìm min $y=\dfrac{(x+2009)^{2}}{x}$ ( x>0)
Tìm max z=$y=\dfrac{x}{(x+2009)^{2}}$
cảm ơn nhiều giúp mình ngay lúc này đi!!!!

$(x+2009)^2 \geq 4.2009.x$.Dấu = x=2009
đến đấy ra rồi chứ bạn
Còn bài 1 bạn xem lại yêu cầu đề nhé.

1/Chứng minh rằng nếu :abc chia hết cho 37 thì bca và cab cũng chia hết cho 37 .
2/Cho hai dãy số và $ =2^{2n+1}+2^{n}+6$ và $b_{n}=2^{2n+1}-2^{n}+6 $
chứng minh rằng hai với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai và có chữ sô tận cùng bằng 0.

Câu 2 sai đề,tuy nhiên ý tưởng chung cho bài này là bạn xét tích để có ít nhất 1 số chia hết cho số nào đó , xét tổng để có 1 và chỉ 1 trong 2 số chia hết cho "số nào đó"
Câu 1: (ai biết viết cái gạch ngang trên đầu thì edit giùm)
$abc+bca+cab=111(a+b+c) \vdots 37$
$\Rightarrow bca+cab \vdots 37$
$\Rightarrow 10(bca+cab) \vdots 37$
Mặt khác $10(bca+cab)+bca \vdots 37$ (phân tích tung ra là thấy)
nên $bca \vdots 37 \Rightarrow cab \vdots 37$

Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật đôi một không có điểm trong chung và có chu vi bằng nhau.Ký hiệu P là chu vi mỗi hình chữ nhật này.
1.Chỉ ra 1 cách chia để $P=2,02$
2.Tìm max P

Tự sướng .Sau đây là lời giải
1.Chia 1 cạnh hình vuông thành 100 phần bằng nhau.Kẻ các đường song song với cạnh kề.
2.Gọi độ dài các cạnh hình chữ nhật nhỏ là $a_i,b_i(i=1,2,..,100)$
Vì $0<a_i,b_i \leq 1$ nên $(a_i-1)(b_i-1) \geq 0$
$\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{100} a_ib_i+100 \geq 50P$
$\Rightarrow P \leq \dfrac{101}{50} =2,02$
Có thế thôi mà mình cũng làm sai

vì nếu k lẻ thì 3k lẻ, cộng với số lẻ nữa thì chẵn nên chia hết cho 2.............vậy ko thoả

Câu này thì mình cũng làm như hổ_mèo thôi . Cái cách của bạn thì mấy đứa bạn mình cũng làm thế,thực ra cũng chưa hiểu nó mô tê thế nào cả

ơ mà ở đây có ai làm được câu cuối không?Nghĩ nát óc không ra

hic.....đề như thế này hay như trên ạ?????
[/b]
nếu cái đề như trên thì.........mất cả buổi chiều loay hoay mãi mà ko giải dc.....:cry
tiện thể cho e hỏi bài 1

khi phân tích ra nhân tử thì gặp một cái pt bậc ba nghiệm xấu.....vậy mình phải làm sao ạ??????bỏ luôn hay ngồi tính tay?????

Không cần phân tích nhân tử bạn ạ
Chỉ cần chú ý cái sau là được
$A=|a+10| \geq 0 \forall a$
$B=(a^2+2)(a+10)^2 \geq 0 \forall a$
Dấu = ở 2 cái xảy ra đồng thời khi $a=-10$
Cái bài bạn pokerface nói đến là bài nào nhỉ?

bài này ko làm dc phần b) hihi giúp mình với nhé, dốt toán mà
Cho parabol (P) $y=x^2$và đường thẳng (d) y=mx+1
a) CMR (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m
b)Cho $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ là các giao điểm của (d) và (P). Tìm max M=$(y_1-1)(y_2-1)$

Hic!Đây là cái đề vòng 1 sư phạm đây mà
a)Xét pt $x^2-mx-1=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt
Và $x_1,x_2$ chính là nghiệm của pt trên
b)$M=(y_1-1)(y_2-1)=(x_1^2-1)(x_2^2-1)=x_1^2x_2^2-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2+1=-m^2 \leq 0$

Theo những đứa bạn mình thì 2 câu khó nhất là câu 2 bài II và câu IV
Câu 2 bài II thì xét tính chia hết cho 7 của hiệu 2 số trong 1 cặp là OK
Còn cái bài cuối thì mình nghĩ nát óc không ra.Vốn là đứa ngu BĐT,thế mà trường này lại cho toàn BĐT mới đau

Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật đôi một không có điểm trong chung và có chu vi bằng nhau.Ký hiệu P là chu vi mỗi hình chữ nhật này.
1.Chỉ ra 1 cách chia để $P=2,02$
2.Tìm max P

tìm $n$ nguyên dương sao cho $n^3-5n^2+9n-6$ là SCP

$n^3-5n^2+9n-6=(n-2)(n^2-3n+3)$
Dễ dàng c/m $(n-2;n^2-3n+3)=1$
suy ra cả 2 số đều chính phương OK
----------------------------------------------
Đến đó là ngon roài còn tiếp gì nữa
$4n^2-12n+12=k^2$
$(k-2n+3)(k+2n-3)=3$
-->xét ước
Hình như có mỗi 1 nghiệm là 2 thì phải^^

Cho $a;b; p; q;r;s$ là số nguyên dương thỏa mản: $qr-ps=1$ và $ \dfrac{p}{q}< \dfrac{a}{b} < \dfrac{r}{s}$ . CMR $b \geq q+s$

Từ $\dfrac{a}{b} < \dfrac{r}{s} \Rightarrow as<br \Rightarrow as+1 \leq br$
Từ $\dfrac{p}{q}< \dfrac{a}{b} \Rightarrow bp<aq \Rightarrow bp \leq aq-1$
$b=b(qr-ps)=bqr-bps \geq q(as+1)-s(aq-1)=q+s$
OK...

Giải PT: $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

Bài này thì cơ bản roài :
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+12}-4=(3x-6)+(\sqrt{x^{2}+5}-3)$
$\Leftrightarrow \dfrac{x^2-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3} +3(x-2)=\dfrac{x^2-4}{\sqrt{{x^{2}+12}}+4}$
$\Leftrightarrow x=2$ (dễ thấy $x>0$)

1, Giải PT: $\sqrt[5]{x-1} + \sqrt[3]{x+8}=x^{3}+1 $

Không có ai giải thì đề nghị chú tự sướng bài 1 cái

Cho $x,y$ thỏa mãn $\dfrac{x^{2}-x+y^{2}-y}{x^{2}+y^{2}-1}\leq 0$. Tìm GTLN: $P=x+2y$

Ông anh mới lớp 8,5 đã học mấy bài này rồi cơ à,bái phục thật
$x=P-2y$
+Với $x^2+y^2-1>0$ thì $x^2-x+y^2-y \leq 0$
$\Leftrightarrow (P-2y)^2-P+2y+y^2-y \leq 0$
$\Leftrightarrow 5y^2-(4P-1)y+P^2-P \leq 0$
y có hệ số dương nên để bpt có nghiệm thì $\delta \leq 0$
$\Rightarrow P \leq ...$
+Nếu $x^2+y^2-1<0$ thì $x+y \leq x^2+y^2 \Rightarrow x+2y<1+y<2$
Chắc max rơi vào cái t/h trên

giải PT nghiệm nguyên dương: $2(y+z)=xyz-x$

Với $x=1$ thì $2(y+z)=yz-1$ giải bình thường
Với $x \geq 2$ thì $2(y+z) \geq 2yz-2 \Rightarrow (y-1)(z-1) \leq 2$
mà nó lại nguyên dương...

Cho a,b là 2 số nguyên dương thoả mãn:
$a^{1954}+b^{1954}, a^{1945}+b^{1945}$ chia hết cho 2001.Hỏi $a^{2002}+b^{2002}$ có chia hết cho 2001 không?
(sài Ferma)

$(a^{977})^2+(b^{977})^2 \vdots 3 \Rightarrow \left\{ a^{977} \vdots 3 \\ b^{977} \vdots 3 \\ $
$\Rightarrow \left\{a \vdots 3 \\ b \vdots 3 \\ $
$(a^{977})^2+(b^{977})^2 \vdots 667 \Rightarrow \left\{ a^{977} \vdots 667 \\ b^{977} \vdots 667 \\ $
$\Rightarrow \left\{a \vdots 667 \\ b \vdots 667 \\ $
Suy ra $a^{2002}+b^{2002} \vdots 2001$

Vậy là cái 1945 kia là thừa à Không lẽ mình làm sai?

Làm bài này nhiều cách : cho tam giác ABC nhọn và M nằm trong tam giác .Tìm GTNN của: $Q=MA.BC+MB.AC+MC.AB$

Hạ $AH,MK \perp BC$
Ta có $AM+MK \geq AH \Rightarrow (AM+MK).BC \geq AH.BC$ hay $AM.BC \geq 2(S_{ABC}-S_{BMC})$
Làm 2 cái tương tự và cộng lại : $Q \geq 4S$ dấu = khi M là trực tâm.
Tạm thế đã,chưa nghĩ ra cách khác .Ngu lâu khó đào tạo

cho điểm O bên trong ta ggiác ABC sao cho tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB tại D,E,F . Tìm GTNN của:$M=\dfrac{OA}{OD}.\dfrac{OB}{OE}.\dfrac{OC}{OF}$

Đặt $S_{AOB}=S_1,S_{AOC}=S_2,S_{BOC}=S_3$
$M= \dfrac{S_1+S_2}{S_3}.\dfrac{S_2+S_3}{S_2}.\dfrac{S_3+S_1}{S_2} \geq 8$

cho n là số tự nhiên .Tìm n sao cho :$n^{2}+n+2 \vdots 2005$

$n^{2}+n+2 \not \vdots 5 \forall n \in N$ nên $\not \exists n$
Còn bài bên trên là đề thi KHTN năm nào đấy ,xét số dư của 1 số CP cho 17 là OK!

Cho ké phát
Cho $a,b,c>0$ tìm min:
$P= \dfrac{b(a-c)}{c(a+b)} + \dfrac{c(3b+a)}{a(b+c)} + \dfrac{3c(a-b)}{b(a+c)} $
[trích đề thi thử KHTN]
Đi thi kiểu này chắc rớt quá T_T

giải PT nghiệm nguyên : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$

Ông anh này tự sướng à
Bài trên thì cóa thể làm như vầy:
+Nếu $x^2y^2$ lẻ thì $z^2$ lẻ
=> VT chia 4 dư 3,Vp chia 4 dư 1=>vô no
+Nếu $x^2y^2$ chẵn ,giả sử x chẵn thì $y^2+z^2 \vdots 4 \Rightarrow y \vdots 2,z \vdots 2$
Tới đây xuống thang,pt có nghiệm duy nhất $(0;0;0)$

Bài 1, Cho 2 sô không âm x,y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} =2 $
CMR : $x^2 + y^2 \leq 2 $

Bài 2, Cho a,b thỏa mãn $a+b \geq 0 $
CMR: với $n \in N$ thì $(\dfrac{a+b}{2})^{n} \leq \dfrac{a^{n}+b^{n}}{2} $

Bài 1:
Cô-si:
$x^3+x^3+1 \geq 3x^2$
$y^3+y^3+1 \geq 3y^2$
suy ra $2(x^3+y^3)+2 \geq 3(x^2+y^2) \Rightarrow x^2+y^2 \leq 2$
Bài 2
Bạn dùng quy nạp và áp dụng $(a+b)(a^n+b^n) \geq 2(a^{n+1}+b^{n+1})$

bài 2:
cho ABCD là hình bình hành,E,F thuộc AB sao cho E gần A hơn.CE cắt DF tại P. Q là giao điểm thứ 2 của 2 đường tròn nội tiếp PAE vàPBF.CM PQ //AD

$PQ \cap AB=I$
$PQ \cap CD=K$
Theo phương tích:$IE.IA=IF.IB(=IP.IQ) \Rightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{IF}{IA}$
Mặt khác $\dfrac{IF}{IE}=\dfrac{KD}{KC}$(dễ thấy)
Do đó $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{KD}{KC} \Rightarrow IK//AD$ hay $PQ//AD $

ta sẽ chọn a;b sao cho thỏa mãn hai phương trình 1 và 2 của hệ có hệ số giống nhau,tức là:
$\dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{{ - 12}}{{2ab}} = \dfrac{{ - a}}{{ - 2}} = \dfrac{{5 - b}}{{{b^2} - 1}}$

Chỗ này nhầm chút xíu mà .Vẫn ra được $a=2,b=-3$ đấy thui:D
Rất cám ơn các bác .Đúng là cái em đang cần ạ.