Cho $x,y,z$ là các số không âm. CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

 

3+2(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq 6$

 

Anh ơi đoạn này em chứng minh dùng bđt Cauchy-Swcharz thì nó không ra ạ:

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{1}{(x+y+z)^2}=1$

 

À thôi em ra rồi.

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+xz)}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c \geq 10$, Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c} \geq \frac{13}{2}$

Anh ơi đoạn này em chứng minh dùng bđt Cauchy-Swcharz thì nó không ra ạ:

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{1}{(x+y+z)^2}=1$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c \geq 10$, Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c} \geq \frac{13}{2}$

Với ba số $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$, chứng minh rằng:

$\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+zx}+\frac{1-z^2}{z+xy}\geq 6$

Tô màu mỗi điểm trong mặt phẳng bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Mỗi điểm chỉ được tô một màu. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh được tô cùng màu.

Biết rằng khi chia đa thức $P(x)$ cho các đa thức $x+1,x^2+1$ ta được các đa thức dư tương ứng là $-3$ và $x+1$. Tìm đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$.

Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} + 1$ là ước của $n+1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}+1\right)(p-1) < n + 1 < \left(\frac{n}{p}+1\right)p,$$ mâu thuẫn. Vậy tất cả các số thoả mãn tính chất đã nêu là các số nguyên tố.

Dạ cho em hỏi chút là tại sao $\frac{n}{p}+1$ lại là ước của $n+1$ ạ. Nếu $n=10$ thì $p=2$ và $\frac{n}{p}+1=6$ không là ước của $n=11$ ạ   

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d$ là ước dương của $n$ thì $d+1$ là ước của $n+1$

Tìm các cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a^2+ab+1 | b^2+ab+a+b-1$.

Gợi ý: $b^2+ab+a+b-1+a^2+ab+1 \vdots a^2+ab+1$ 

Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp năm lần tổng của chúng.

Theo đề ta có: $abc=5(a+b+c)$

Vì $abc$ là tích 3 số nguyên tố, $abc$ chia hết cho 5 nên 1 trong 3 số chia hết cho 5 nên 1 trong 3 số là 5. Giả sử $a=5$

Với $a=5$, ta có: $bc=b+c+5$

                           $(b-1)(c-1)=6$

Sau đó giải phương trình với $b-1$ và $c-1$ là các số nguyên. Thu được kết quả :

$(a;b;c)=(2;5;7)$ 

Vậy 3 số cần tìm là 2, 5, 7

Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$

Số tự nhiên $n$ được gọi là số hoàn chỉnh (perfect number) nếu như tổng tất cả các ước dương của nó bằng $2n$. (VD: 6)

Tìm số hoàn chỉnh $n$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện $n-1$ và $n+1$ đều là các số nguyên tố.

Rút gọn biểu thức: 

$A=\sqrt{(1+tan\alpha).cos^{2}\alpha+(1+cot\alpha).sin^{2}\alpha }$ Với $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$

$B=\frac{1}{sin\alpha-\sqrt{cot^{2}\alpha-cos^{2}\alpha}}$ Với $\alpha \in (0,2\pi )$

Giải phương trình: 

$(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

$x^3-y^3=xy+3$

$\Leftrightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)=xy+3$

Đặt $x-y=a$, $xy=b$ ( $a,b\in \mathbb{Z}$ )

Ta có: $a^3+3ab=b+3$

$\Leftrightarrow a^3-3=b(1-3a)$

$\Rightarrow a^3-3 \vdots 3a+1$

$\Rightarrow 27a^3-1-80\vdots 3a-1$

Mà ta có $27a^3-1\vdots 3a-1$

Nên $3a-1\in U(80)$

Đến đoạn này bạn giải nốt nhé   

Giải phương trình $(2x-1)^2-9=4\sqrt{x^2-x}$.

CMR: Với mọi số nguyên dương $n$ thì $3^{5^n}+5^{3^n}$ luôn hia hết cho 8

Em cũng không chắc nữa, chắc biểu thức cần chứng minh là $3^{5^n}+5^{3^n}$

Đánh kiểu gì vậy tui đánh toàn lỗi ko à 

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geqslant \frac{10}{3}$

Bài này mình nghĩ là như này sẽ đơn giản hơn:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

$\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq \frac{9\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{abc}}= 3$

=> Đpcm

Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ ,  $1-b=a+c$ ,  $1-c=b+a$

Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$

Đặt $b+c=x$ , $c+a=y$ , $a+b=z$

Suy ra $a+b+c=\frac{x+y+z}{2}$

Khi đó $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z})-\frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ 

Suy ra $\Delta ABC$ đều 

Em nghĩ rằng bài này còn có một phương pháp chứng minh khác theo em thấy thì cũng khá hay và khá là đẹp (tuy rằng hơi dài) khi áp dụng vào đẳng thức bài cho.

Đó là bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel, em áp dụng như sau:

Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ ,  $1-b=a+c$ ,  $1-c=b+a$

Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$

Em đặt đẳng thức bài cho là $A$

Ta có $A=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (Do cauchy-schwarz engel)

Sau đó em áp dụng bđt: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$

$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" khi $a=b=c$

Suy ra điều phải chứng minh.

Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 1. Cạnh $a,b,c$ thỏa mãn:

$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $ab+c(a+b)=3c^2$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.