Viện Toán học Hà Nội kết hợp với Trung tâm vật lý lý thuyết Quốc tế sẽ tổ chức một trường toán về các tự đẳng cấu đa thức và các vấn đề liên quan, từ ngày 9/10 cho đến 20/10/2006.

Như thường lệ, hội nghị phí là 100 USD tuy nhiên đối với các sinh viên trong nước thì khoản này chắc chắn sẽ được miễn. Những bạn nào yêu thích hình học affine và muốn tìm hiểu về giả thuyết Jacobi rất nên tham dự trường toán.

Dưới đây là thông báo chính thức của trường toán
-----------------------------------------------------------

The Institute of Mathematics, Hanoi, Vietnam, and the Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics (ICTP), Trieste, Italy, are organizing a School and Workshop on Polynomial Automorphisms and Related Topics from October 9 to October 20, 2006, in Hanoi, Vietnam. The aim of the conference is to introduce mathematicians from the developing countries in Asian to recent developments in the field of Polynomial Automorphisms and its related topics in Commutative Algebra and Affine geometry and to promote collaboration between mathematicians from different developing and developed countries in this field.

Main Topics

Polynomial Automorphisms;
Jacobian Conjecture and Related topics: Group actions, locally nilpotent derivations, the Cancellation Problem, Linearization Conjectures, Embedding problem;
Topology of polynomials;
Global diffeomorphisms.

Organizers

Arno Van den Essen, Radboud University of Nijmegen, Netherlands.
David Wright, Washington University in St. Louis, USA.
Le Tuan Hoa, Institute of Mathematics, Vietnam.
Nguyen Van Chau, Institute of Mathematics, Vietnam.

Scientific committee

Hymann Bass, Michigan University,USA.
Sheeram Abhyankar, Purdue University, USA.
Arno Van den Essen, Radboud University of Nijmegen, Netherlands.
Le Dung Trang, ICTP, Italy.
Cesar Camacho, IMPA, Brazil.
David Wright, Washington University in St. Louis, USA.
Ha Huy Vui, Institute of Mathematics,Vietnam.
Ngo Viet Trung, Institute of Mathematics, Vietnam.
Ha Huy Khoai, Institute of Mathematics, Vietnam.
Nguyen Van Chau, Institute of Mathematics, Vietnam.

Scientific programs

1- Advanced School, October 9-13, 2006: There will be 5 instructional courses for graduate students and young mathematicians from the developing countries in Asian on the following topics:

Polynomial Automorphisms-David Wright, Washington University in St. Louis, USA.
The Jacobian conjecture-Arno Vanden Essen, Radboud University of Nijmegen, Netherlands.
Group Actions- Hanspeter Kraft, University of Basel, Switzerland.
Embedding Problems-Peter Rusell, McGill University, Canada.
Topology of Polynomials-Ha Huy Vui, Institute of Mathematics, Vietnam.

2- Workshop, October 16-20, 2006: This is devoted to an International Conference on recent developments in the field of Polynomial Automorphisms and its related topics in Commutative Algebra and Affine Geometry. Beside invited lectures and talks there will be opportunities for mathematicians to present their research works .

Participation

The school and the workshop are open to all mathematicians. Attending the Advanced School being would be optional. Registration form is obtainable from the website of the Institute of Mathematics, Hanoi, Vietnam.
Conference free: 100 USD.

Support

As a rule, travel and subsistence expenses of the participants should be borned by the home institutions. However, limited funds are available for some participants from and working in the developing countries in Asian . The application form is obtainable from http://agenda.ictp.t...it/smr.php?1788 .

Dealines:

Request for participation should be sent by E-mail or by ordinary post before June 9, 2006.

Application for support should be sent by E-mail or by ordinary post before May 9, 2006.

Contact Address

International School and Workshop
on Polynomial Automorphisms and Related topics
Dr. Nguyen van Chau
Institute of Mathematics
18 Hoang Quoc Viet
10307 Hanoi, Vietnam.
E-mail: [email protected] or [email protected]
Fax: 0084-4-7564303.

International School and Workshop
on Polynomial Automorphisms and Related topics
Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics
Strada Costiera 11
34014 Trieste, Italy.
E-mail : [email protected]

Nghe được bài này trong phim "Witness" (1985, Harrison Ford). Thấy cũng vui vui.


Lyrics

Don't know much about history
Don't know much biology
Don't know much about a science book
Don't know much about the French I took

But I do know that I love you
And I know that if you love me too
What a wonderful world this would be

Don't know much about geography
Don't know much trigonometry
Don't know much about algebra
Don't know what a slide rule is for.

But I do know that one and one is two,
And if this one could be with you,
What a wonderful world this would be.

Now i don't claim to be an "A" student,
But I'm trying to be.
So maybe by being an "A" student baby
I can win your love for me.

Don't know much about history
Don't know much biology
Don't know much about a science book
Don't know much about the French I took.

But I do know that I love you,
And I know that if you love me too,
What a wonderful world this would be.

Latatatatatatahuwaah (history)
Oehwoewoe (biology)
Latatatatatatahuwaah (science book)
Oehwoewoe (French I took)

But I do know that I love you,
And I know that if you love me too,
What a wonderful world this would be.

1. This is the solid obtained by rotating the region bounded by the curves http://dientuvietnam...metex.cgi?x=R-H (or http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x=H since I'm not sure what the "height" means), about the http://dientuvietnam...tex.cgi?x-axis.

2. Evaluate the function http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f at these vertices then pick up the smallest and the biggest ones.

3. The upper curve is http://dientuvietnam...mimetex.cgi?y=x, the lower one is http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=-4 and http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=0. Then apply the formula.

Anh CXR và phu nhân vẫn mạnh khỏe. Bác ấy đang tạm thời tránh bão ở Missouri. Khi nào nước đi, cây xanh trở lại, bác sẽ quay về

trên vành Noether tổng trực tiếp nội xạ khi mỗi thành phần của nó nội xạ

Điều ngược lại cũng đúng. Tức là:

Một vành http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là Noether khi và chỉ khi tổng trực tiếp các http://dientuvietnam...tex.cgi?R-môđun nội xạ là nội xạ.

Đây chính là nội dung của đặc trưng Bass cho vành Noether. Có thể dùng khẳng định này để chứng minh bài toán mà mathun đã nêu ra.

Về chứng minh (không phức tạp lắm) của đặc trưng Bass ở trên có thể được xem tại

Chase, Stephen U. Direct products of modules. Trans. Amer. Math. Soc. 97 1960 457--473.

Bài báo này có phiên bản online trên MathSciNet.

The question is more than a month old but let's just post the answer here with a hope that the owner of the question will visit us back one day

If http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?F is a finite extension of http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?K then every http://dientuvietnam...imetex.cgi?(f(x))^m+c_1(x)(f(x))^{m-1}+\cdots+c_{m-1}(x)f(x)+c_m(x)=0
which obviously implies that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b_1,b_2,\ldots,b_m be a set of generators for http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?F over http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?K. We may assume that http://dientuvietnam...etex.cgi?b_1=1. It is clear that these elements also generate F[x] as a module over K[x].

For each http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[f(x)I-(a_{ij}(x))][b]=0
as metrices.

Multiply both sides by the adjoint matrix we get
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\det[f(x)I-(a_{ij}(x))][b]=0.
Since http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K not neccesarily finite, because we may replace http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F with the subfield generated over http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K by coeffcients of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x).

Có cái này không biết post vào đâu đành để vào box này, tuỳ các Mods xử lý.

Trên 2 ấn phẩm Notices of AMS liên tiếp (Oct, Nov. 2004) có đăng một bài báo, gồm 2 phần, về cuộc đời của A. Grothendieck. Dưới đây mình có ghi ra links đến bài báo đó, mọi người ai thích thì đọc cho vui. Hơi dài, nhưng khá hay. Bằng tiếng Anh, lác đác vài câu tiếng Pháp http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/image004.gif

http://www.ams.org/n...dieck-part1.pdf

http://www.ams.org/n...dieck-part2.pdf

Nhân tiện đây mình xin góp một ý kiến: Phải chăng ngoài trang chủ, phần liên kết, ta nên đặt link đến website của AMS, vì trang web này có rất nhiều thông tin bổ ích (notices, conferrences, mathscinet,...).

Mình không thạo với các mấy cái phần mềm chuyên dụng cho Đại số giao hoán lắm, mặc dù cũng có đôi lúc phải dùng đến . Mình đã thử chạy bằng Macaulay2. Nếu không có gì nhầm lẫn thì Macaulay2 làm việc được với ideal mà bạn đưa ra. Thứ tự đơn thức mà mình đã dùng là graded reverse lexicographic order (thứ tự mặc định của Macaulay2).

Hình như chỉ có 8 phần tử trong cái reduced groebner basis, nhưng rất phức tạp.

Trang web của Macaulay2

http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/

Đây là một bài viết tương đối chi tiết về một đối tượng thú vị trong Toán học được biết đến như tỉ số vàng hay còn gọi là số vàng. Có thế thấy ngay được là tác giả có một kiến thức Toán phổ thông rất vững vàng cùng với cách trình bày rất mạch lạc.

Tác giả mở đầu bài viết bằng nhận định về cách cảm nhận Toán học của mình. Tác giả đưa ra ba ví dụ cụ thể (tỉ số vàng trong hình ngũ giác, tỉ số vàng với dãy số Fibonacci và tỉ số vàng trong lượng giác) để trợ giúp cho lập luận của mình rằng cần phải tư duy và có một trình độ nhất định mới thấy được vẻ đẹp bên trong của Toán học. Các ví dụ được đưa ra theo trình tự tăng dần về các chi tiết kỹ thuật, và, theo tôi, giảm dần về tính trực quan.

Tôi rất thích ví dụ đầu tiên về tỉ số vàng trong hình ngũ giác và nửa đầu của ví dụ thứ hai về việc quan sát các tỉ số của các cặp số Fibonacci liên tiếp. Các phát hiện thú vị về tỉ số vàng và các liên hệ định lượng trong hình học và số học/đại số quả thực đã gây cho tôi một sự tò mò nhất định. Giá như tác giả tiếp tục đưa ra các ví dụ như vậy, đặc biệt là các ví dụ được nhắc đến trong đoạn cuối của bài viết như hình chữ nhật vàng, ellipse vàng…, thì bài viết sẽ gần gũi hơn với nhiều bạn đọc phổ thông. Thiết nghĩ vẻ đẹp của Toán học, cụ thể trong bài viết này là sự bí ẩn của tỉ số vàng, vẫn có thể truyền đạt được đến các bạn học sinh lớp dưới thông qua các hình vẽ, quan sát và ước lượng…Các chi tiết kỹ thuật lúc này sẽ trở thành động lực cho các bước khám phá tiếp theo.

Mỗi người có cách cảm nhận khác nhau về vẻ đẹp của Toán học, như tác giả đã viết trong phần mở đầu. Do vậy mặc dù có hơi nhiều các chỉ tiết kỹ thuật trong bài viết nhưng tôi cho rằng đây là bài viết tốt với các ý tưởng được trình bày rõ ràng

Giả thiết rằng mathun đang làm việc trên vành giao hoán.

i) Câu trả lời là có. Đó là hệ quả của bài toán bạn nêu ra trong topic Homological Dimension.

ii) Câu trả lời cũng là có. Nó được suy ra từ hai bài toán sau:

1) Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là flat thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i>0, với mọi môđun http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?N. (Suy ra từ định nghĩa của flatness).
2) Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành địa phương với trường residue http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là hữu hạn sinh thì chiều xạ ảnh của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R http://dientuvietnam...i?Tor_{d 1}(M,k)=0. (Dùng kỹ thuật tương tự như anh CXR đã đưa ra cho bài toán về http://dientuvietnam...imetex.cgi?Ext.)

Nếu mathun muốn có một lời giải không dùng nhiều đến các kỹ thuật của Đại số giao hoán như ở trên thì đọc trong sách của Weibel . Trong đó có chứng minh sử dụng đối ngẫu Pontrjagin, và chỉ cần giả thiết môđun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là finitely presented flat, vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R không nhất thiết là giao hoán.

Cái quán phim này để chú Mọt điều hành thôi chứ, sao lại lôi cả CTV3 vào làm gì.

"lũy linh" ="nilpotent".

Vành http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_m có phần tử lũy linh tức là tồn tại http://dientuvietnam...metex.cgi?x^n=0, (hiển nhiên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n>1). Tương đưong với tồn tại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m thành tích các lũy thừa của số nguyên tố http://dientuvietnam..._1}...p_k^{r_k} rồi lập luận rằng nếu một trong các http://dientuvietnam...mimetex.cgi?r_i lớn hơn 1 thì http://dientuvietnam...cgi?x=p_1...p_k là phần tử lũy linh, còn nếu tất cả các http://dientuvietnam...mimetex.cgi?r_i đều bằng 1 thì không có phần tử lũy linh nào.

Vo+'i thu+' tu+. "coordinatewise" thi` $c\not\in N^n$ ddau co' a?nh hu+o+?ng dde^'n vie^.c $Opt_{A,c}$ la` order ideal nhi?.

Theo ddinh nghi~a, $u\in Opt_{A,c}$ tu+o+ng ddu+o+ng vo+'i $c.u<c.u*$ vo+'i mo.i $u*\in N^n$ tho?a ma~n $Au=Au*$ va` $u\neq u*.$

Ba^y gio+` gia? su? $u'< u$ va` $u' \not\in Opt_{A,c}. $ Nghi~a la` to^`n ta.i $u"\in N^n$ sao cho $Au'=Au"$ va` $c.u'< c.u"$. DDie^`u na`y da^~n dde^'n

$c.u< c.(u-u'+u")$

ma^u thua^~n vo+'i ti'nh optimal cu?a $u$ do $u-u'+u"\in N^n$ va` $Au=A(u-u'+u").$

Nếu http://dientuvietnam...cgi?m=p_1...p_k thì từ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x để http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x là bội của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m, do vậy là phần tử 0 trong vành http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_m nên không thể là phần tử lũy linh.

Nói $u < v$ coordinatewise có nghĩa là các tọa độ của $u$ nhỏ hơn các tọa độ tu+o+ng u+ng cu?a $v$. Vo+'i thu'+ tu.+ na`y thi` $N^n$ la` mo^.t poset.

What is your definition of http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?MN when both http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M and http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?N are not normal subgroups of http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G?

Tớ không biết kết quả tốt nhất hiện nay là bao nhiêu, thiết nghĩ prime nên đưa chứng minh của bạn lên đây, tất sẽ có người cho ý kiến. Đồng thời giúp cho những ai chưa biết tham khảo luôn.

Tiện thể prime dùng Tex gõ lại công thức mà bạn đưa ra được không?. Cái "ln" thứ hai trong ngoặc vuông là gì vậy?

Năm 2002, nhân 200 năm ngày sinh của Abel, theo đề nghị của khoa Toán trường ĐH Tổng hợp Oslo, nhà nước Na Uy đã cho thành lập Giải thưởng Abel. Giải thưởng trao hàng năm cho các nhà Toán học trên thế giới, mức thưởng vào khoảng 22 triệu USD.

Không nhiều đến thế đâu bác ngocson52 . Chỉ khoảng 750.000 Euro thôi mà.

http://www.abelprisen.no/en/

Nhưng thế cũng là nhiều rồi. Chỉ có điều người được giải đều thuộc hàng "thập cổ lai hi", chẳng biết dùng tiền ấy vào việc gì nữa .

Các giải Abel
2003: Jean-Pierre Serre
2004: Sir Michael Francis Atiyah + Isadore M. Singer
2005: Pending

Định lý Wilson trong số học phát biểu rằng nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p là số nguyên tố thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p). Có thể suy ra được định lý này từ việc đếm số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm đối xứng http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_p. Bạn hãy thử giải thích xem tại sao?

Chẳng nói đâu xa, các bác cứ thử log-in rồi click vào "thư kí riêng", góc trên bên phải, sẽ thấy hiện ra một cửa sổ, trên đó có ghi thế này

Đã có (...) bài viết mới.
None những bài đăng này là trả lời cho chủ đề do bạn bắt đầu.

(tất nhiên là chỉ trong trường hợp lúc đó chưa có ai trả lời bài viết của các bác)

Pó tay

Lời giải của noproof hơi bị súc tích nhỉ .

Có thể giải bài này bằng cách khác, dài hơn và mang dáng dấp của đại số nhiều hơn là tổ hợp. Ý tưởng giống như cách tính số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của một nhóm G bằng cấp của nhóm thương http://dientuvietnam...metex.cgi?G/N(H), trong đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow bất kỳ và http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H.

Lấy http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow (cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p) của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_p sinh bởi xích (cycle) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H, tức là số các hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?&#091;0,p-1].

Viết cụ thể với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) bằng số các hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k nào đó thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=0 không cho một hoán vị nào như vậy.

Với mỗi giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k từ 1 tới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-1, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, tương ứng cho ta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p(p-1). Do đó số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_p bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|G/N(H)|=p!/p(p-1)=(p-2)!.

Ai rỗi rãi thử tính số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{2p} xem sao. Biết đâu lại suy ra được Định lý lớn Fermat

I believe that madness's examples are correct. (My example was ) The two propositions look very cute . Since I have been working mainly with commutative rings, non-commuatative rings always scare me.

P/s. This topic should not be moved to anywhere else. We are trying to develop a box, at this time just for college students only, for those who prefer to post their questions, comments...in English.

Loay hoay mãi mới phát hiện ra câu hỏi của cậu không đúng. Chắc cậu ghi thiếu cái gì đó.

Tôi lục lọi được một bài báo viết về các module có tính chất giao của 2 hạng tử trực tiếp bất kỳ cũng là một hạng tử trực tiếp (chúng có tên gọi hẳn hoi: SIP-Summand Intersection Property)

http://yunus.hacette...MP-Hamdouni.pdf

Đọc qua thì thấy có nhắc đến một kết quả của Kaplansky khẳng định rằng mọi module tự do trên một vành nhân tử chính (PID) có SIP.

Trong bài báo trên có một định lý như sau: http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là một http://dientuvietnam...ex.cgi?R-module có SIP khi và chỉ khi trong mọi phân tích http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?M.

Dựa trên định lý này có thể xây dựng được phản ví dụ cho trường hợp tổng quát của các module xạ ảnh (thậm chí tự do). Lấy http://dientuvietnam...k&#091;x,y]/(xy) và http://dientuvietnam...metex.cgi?ker(f)=yk&#091;x,y]/(xy) không thể là một hạng tử trực tiếp của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M vì nó không phải là một module xạ ảnh trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?R. (Mudule này thậm chí có chiều xạ ảnh là vô cùng vì nó có một giải tự do cực tiểu dài vô hạn (infinite minimal (graded) free resolution

Hãy thử tìm cách xây dựng một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} xem sao đã. Lấy ý tưởng từ cách xây dựng 2-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_4 của bác bupbebe trong đây http://diendantoanho...?showtopic=2335

Trước hết ta dùng ký hiệuhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}, trong đó mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i là một khối gồm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p phần tử. Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là tập con của http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} bao gồm:

1) Các hoán vị http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i là một hoán vị vòng quanh của http://dientuvietnam...imetex.cgi?A_i.

Có thể chứng minh được:

i) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H là một nhóm con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}.

ii) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H gồm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{p+1} phần tử.

Vậyhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}.

Ghi chú: Gọi một hoán vị vòng quanh của một tập có thứ tự, chẳng hạn, {1,2,3} là một trong các tập {1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2}.

Nemo’s example is based on the following observation: If http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G with a ring structure by defining http://dientuvietnam...metex.cgi?a*b=0 for all http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G are then precisely subgroups of http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G. Thus if we can find an abelian group G whose subgroups form an infinite increasing chain then http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G considered as a ring has no maximal ideal. The group http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z(p^{\infty}) is such a candidate.

First let us try to understand what http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z(p^{\infty}) is the subgroup of the quotient group http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q/Z consisting of elements of order a power of http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p. Let http://dientuvietnam...x.cgi?&#091;a/b] be an element of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q/Z). Saying that this element has order a power of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p is equivalent to saying that there is http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^n&#091;a/b]=0 in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q/Z, or that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b divides http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^n. Hence we can easily see that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z(p^{\infty}) consists of elements of the form http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W be a proper subgroup of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a with http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p that appear in the denominators of reduced fractions representing elements of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W is bounded. This is just an easy consequence of the above fact.

Therefore for each nonzero proper subgroup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n such that It is now clear that the proper subgroups of form an infinite increasing chain.