Dùng định thức cấp hai giải ra. nếu không dùng cộng đại số tính x và y theo m.

Bài 1: tìm m N sao cho (m-1)! m.
(Vô địch Hungary 1951)
Bài 2: Tìm n nhỏ nhất sao cho A= 5^n +n^5 13.
(Vô địch THCS Xuân Diệu -Tiền Giang- mới đây!)

Xét vậy có dài quá không?

Bắt đầu thế này được không?
Vì http://dientuvietnam...^2 a^3 a^4=k^2.
Giải tiếp nhé!

zaizai: Chào mừng bạn đến với DDTH, bạn nên học cách gõ Latex ở mục Gõ Công Thức. Cảm ơn!

Hình như đề sai rồi bạn ạ. Phải như thế này mới đúng:
Cho a;m;n Z và a 1, CM rằng:
a^m-1 a^n -1 m n.
Nếu đúng như thế thì bạn phải cm đầy đủ điều kiện cần và đủ. Điều kiện đủ dễ rồi, còn điều kiện cần muốn chứng minh thì đặt m=np+r. Sau đó chứng minh r=0.
Chúc bạn thành công! Bài này không khó đâu.

Đọc bài viết của TOILACHINHTOI, em rất tâm đắc. Anh viết rất mạnh, chỉ ra rất rõ và khai thác sâu.
Có những ý kiến nói rằng đất nước ta còn nghèo <=> khó mà phát triển giàu mạnh. Em không nghĩ vậy! Em lại nghĩ chúng ta ngày nay có lỗi với những người đi trước, những người đã cho chúng ta cơ hội để sống, đã cho chúng ta một đất nước Việt Nam ngày nay. Chúng ta cứ tự hào, thông minh; cần cù; sáng tạo??? Nếu thế thì tại sao chỉ có rất ít (hay thậm chí chưa có) một nhà Toán học Việt Nam nào, một nhà Vật Lý Việt Nam nào vang danh thế giới ngoài những Lê Bá KHánh Trình, Trần Đại Nghĩa,... kia? Có phải vì chúng ta nghèo? Vậy sao thời ấy, Lê Bá Khánh Trình, Trần đại Nghĩa chỉ ăn hạt bo bo mà lừng lẫy thế giới?
Đi cụ thể hơn, giáo dục VIệt Nam, đúng như các anh nói là còn nhiểu điểm đáng trách. Nếu TOILACHINHTOI đã đề cập đến THPT và Đại Học thì bây giờ em đề cập đến Tiểu học và Trung HỌc cơ sở. Bây giờ em đã lớp chín, nghĩ lại những năm học Tiểu học, em thấy những năm tháng ấy thật uổng! Thật sự mà nói, học sinh Tiểu học học nhiều môn: Khoa học, xã hội, tự nhiên, Toán , Văn nhưng thầy cô, học sinh chỉ làm việc thật sự với Toán và Văn. Những môn khác thầy cô chỉ cho chép bài rồi "nói sơ" cho chúng em về nhà học bài. Mất thời giờ! Tiểu học, theo em nghĩ, phải là nơi định hướng con đường đạo đức, phát trển tư duy chúng em, là nền tảng cho một môn Khoa học nào đó mà chúng em thích. Thế mà ngoài giờ học, học sinh Tiểu học, em dám nói là đa số, toàn truyện tranh và điện tử. tại sao không dành thời giờ đó mà tìm hiểu tri thức thế giới? Lỗi ở đâu!? Đó là bố mẹ, là thầy cô, và đáng trách hơn nữa là giáo trình Tiểu học của Việt Nam! Trẻ em nước ngoài, phải thừa nhận, chơi rất dữ, nhưng học cũng chẳng kém! Tụi nó không siêng như trẻ em Việt chúng ta đâu! Ngoài giờ học, tụi nó học thể thao, học nghệ thuật, thực hành thí nghiệm,...; phải nói rằng, giáo án Tiểu học của họ hoàn hảo thật! Có thế, ngay từ nhỏ, trẻ em Mỹ đã hơn trẻ em Việt NAM trên mọi lĩnh vực! Và vì thế, đất nước người ta cứ giành giải Nobel !!!
Hàn Quốc đã tuyên bố mười mấy năm sau, họ sẽ có giải Nobel ! Vậy của chúng ta đâu? Chúng ta có quyền hy vọng mà! Nhưng...

Vậy nha!
Gọi (a;b)=d. Ta có a=dx và b=dy.
A= =(a+b+1)=(a+b+1) Z
Mà (a+b+1;d)=1 nên (x+y) d
=> d x+y <=> a+b.
Tới đây là OK rồi!

Cái này cũng đúng cho một số giá trị n để biểu thức là SNT nè:
A= .
Ta cũng chứng minh được với n=23k+1 thì A là hợp số.
Còn bao nhiêu công thức pót lên hết nhé!

làm rõ ra đi, anh nguoichuyentoan.

Đúng là cách giải của PNT còn một số điểm thiếu sót dẫn đến một số bạn thắc mắc.
Khi đặt với m;n là số nguyên thì bạn quên đặt (m;n)=1. Với (m;n)=1 thì từ , ta có thể chứng minh (m;n) khi (p;q;r)=1.

Hai bài của toandang thì Hoang Tuan ANh giải đúng rồi (có lẽ là lời giải tốt nhất). Thế mà toandang nói là sai <=> không hiểu (????).
Bài của Tom Riddle thuộc một dạng rất quen thuộc khi giải pt vô tỉ: tạo hệ phương trình.
Giải
Đặt . Phương trình quy về .
Mời bạn hoàn thành.

Bạn có thể giải thích rõ hơn không? Thật sự, tôi chưa thể hiểu tư tưởng của bạn.
Theo tôi thì bao giở đặt một căn thức dưới dạng phân số hửu tỉ cũng nên cho tử và mẫu nguyên tố cùng nhau.

Giải pt nghiệm nguyên:

Xin lỗi, tôi nhầm !!!
Thường mấy bài căn đơn giản bình phương là xong nhưng với căn phức tạp và khác bậc thì dùng hệ pt hay hơn. Ví du6 sau đây "lột tả" được điều đó:
Giải pt:
Bài này dùng bình phương cũng được nhưng cực lắm. Nên dùng hệ. Đặt . Ta suy ra và
Đến đó là OK rồi !!!

Lời giải chính xác!
Nhưng với lời giải bài toán như trên, ta đã sử dụng một mệnh đề rất dễ hiểu và ai cũng nghĩ ra nhưng chứng minh thì thật khó chịu.
Mệnh đề: Với a;b;n;m là các số tự nhiên và (a;b) = 1 thỏa thì a và b là các lũy thừa bậc n của hai số tự nhiên có tích bằng m.
Gợi ý chứng minh (chắc có lẽ các bạn đều biết mệnh đề này rồi): gọi d=(a;m) rồi thế và đẳng thức.

Cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n>b thì c không là số nguyên.
Chứng minh:
Giả sử a > b. Từ phương trình, ta có a <c. Ta sẽ chứng minh c < a+1, từ đó suy ra c không thuộc N.
=> đpcm.
Bài toán trên em đọc được từ "200 bài toán nâng cao Đại Số" của Hoàng Chúng (và một số tác giả khác).
Hy vọng các anh chứng minh được với b>n !
@nguoichuyentoan : giờ em mới biết sao! đây là bài thi ở ANh

Cho (O) và A ngoài (O) với hai tiếp tuyến AB và AC và cát tuyến AMN (AM < AN). E là trung điểm của MN. CE cắt (O) tại I. Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN max.

Nếu thế này thì sao?

Tìm p và q sao cho là SNT.
Bài này Tuấn Anh của pót lên rồi (hình như bài này Tuấn ANh chế tác). Mong bạn giải.

Em học lớp 9, có xem bài Số sau:
CM rằng với STN a;b thỏa http://dientuvietnam...imetex.cgi?ac 1 và http://dientuvietnam...imetex.cgi?bc 1 là SCP.
Sách giải thế này:
Chọn . Thay vào thì có đpcm.
Điều đáng nói ở đây là cơ chế nào để chọn số c như vậy ! XIn các tiền bối giảng cho hậu bối " hểu ".

Từ giả thiết http://dientuvietnam...etex.cgi?p=q r. Từ đó tính http://dientuvietnam...imetex.cgi?a b.
Ta có thể chứng minh cả là số chính phương.
Lúc đầu khi giải bài này, tôi đã rất sai lầm khi hiểu rằng (a;b;c) = 1 và (a;b) =1; (b;c)=1; (c;a) =1 là như nhau. Nếu nghĩ vậy thì ta có thể tính ra giá trị thực bằng số của a+b. Nhưng nghĩ như thế thì quá hỏng kiến thức!

Ủa, kì vậy? Bài này đơn giản mà sao thám tử Hiền lại giải thế kia?
Dùng Cauchy cho hai nhân tử là xong hà! Chú ý rằng y dương và xét trường hợp x=y=0.

Chà, bài này là một dạng ở lớp 7.
Thế này, . OK?

Bài này là Schur với mũ k=1. Theo hieuchoiu@ thì giải cực hạn, chặn biến. Nhưng mình thích đi từ Schur k=1.
Bạn Hiếu pót lời giải chặn biến lên nhé!

Phương trình 1 cũng vô nghiệm thì phải.
Xét dư x theo mod 5.