Cho $n,m,k,t$ là các số nguyên dương thảo mãn $ n\geq m \geq k$ và $ n +{} m -{} k +{} 1={} 2^t$. Chứng minh rằng.
$ {m \choose k} +{} {n \choose k}$ là số chẵn
Có 23 mục bởi anh qua (Tìm giới hạn từ 25-05-2020)
Đã gửi bởi anh qua on 09-08-2013 - 22:29 trong Dãy số - Giới hạn
Đã gửi bởi anh qua on 23-05-2013 - 16:02 trong Hình học
Cho $\vartriangle ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(X_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(AEF)$ tại $A_1$ và tiếp xúc $AE,AF$. Xác định tương tự, ta có $(X_b),B_1,(X_c),C_1$.
Chứng minh rằng: $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.
Gọi $(Y_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) tại $A_2$ và tiếp xúc trong với AB,AC.
Chú ý, $A$ là tâm vị tự biến $(I)$ - nội tiếp $ABC$ thành $(Y_a)$, $A_2$ là tâm vị tự biến $(Y_a)$ thành $(ABC)$.
Do đó $AA_2$ đi qua tâm vị tự biến $(I)$ thành $(ABC)$, tương tự có $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy.
Chú ý; $AA_1$ và $AA_2$ là hai đường đẳng giác
Do đó $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.
Đoạn lí luận $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy có thể dùng tâm tỉ cự sẽ tường minh hơn
Đã gửi bởi anh qua on 06-01-2013 - 12:21 trong Dãy số - Giới hạn
Kiên thử giải theo cách này đối với bài của Tú xem có đk không??Bài này giống với bài thi HSG QG 2011
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1,a_1=-1$
$a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$ với mọi $n\ge 2$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho 2011
Cách giải là tìm CTTQ sau đó dùng định lý Fermat
Đã gửi bởi anh qua on 05-01-2013 - 15:38 trong Dãy số - Giới hạn
Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$
Đã gửi bởi anh qua on 03-01-2017 - 23:14 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Có lẽ đề bài là
Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6}.$
Giải:
Vì $a^2+\frac{1}{3} \left(a+b+c-b-c\right)^2\le a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8$ nên $|a|\le \sqrt{6}.$
Cảm ơn bạn, đúng là mình nhấm, phải thay $\sqrt{2} = \sqrt{6}$
Ta có thể tổng quát với $n$ biến $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 + (a_1+a_2+...a_n)^2 = n^2 - 1$ thì $|a_i| \leq \sqrt{n^2-n}$
Lời giải cho trường hợp tổng quát của mình dùng Cauchy Schwarz tương tự như của bạn vanchanh123 ở trên,
Đã gửi bởi anh qua on 03-01-2017 - 00:04 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán. Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6} $
Nguồn: tự chế
Đã gửi bởi anh qua on 02-01-2017 - 17:50 trong Số học
Bài toán. (Baltic Way Contest) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$. Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài 3 cạnh là $a, b, c$
Tam giác suy biến là tam giác có độ dài 1 cạnh bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Đã gửi bởi anh qua on 25-08-2014 - 09:17 trong Số học
Chứng minh bổ đề sau :
Cho $a,b,c\in\mathbb{Z^+}$ , khi đó ta có :$$a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)}$$với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của $a,b$ và $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$
Đã gửi bởi anh qua on 22-08-2013 - 19:24 trong Số học
Bài này đúng là không biết bổ đề thì chỉ có ăn hành Chú học gì mấy thứ này, biết thôi chứ thi cử ngoài IMO chắc chả dùng :-j Bổ đề này anh thấy giống giống cái phân bố tập hợp trong sách của anh Tân (nhớ mài mại là thế chứ thực cũng chả nhớ nó là cái gì), thử cm bổ đề này thì anh lại nghĩ đến hàm liên tục
Với một số $k$ bất kì thì dĩ nhiên là $\frac{1}{a_1} \le k$, vì $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{n}{a_n})=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ mà $\frac{n_0}{a_{n_0}} \le k < \frac{n_0+1}{a_{n_0+1}}$ từ đây suy ra đc là $\frac{n_0}{a_{n_0}} = k $
Sử dụng vào bài toán thì có thể thấy là tồn tại $n$ thỏa mãn. Nhưng thử cho $p=2,m=1$ hoặc $p=m=1$ thì thấy vế vô hạn có vẻ không đúng lắm thì phải :-?
Thực ra em làm một bài thấy cái bổ đề này hay hay nên chế lung tung thôi chứ cái này thì ở VN làm gì thi đến :v
Đã gửi bởi anh qua on 25-03-2014 - 22:34 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Đã gửi bởi anh qua on 25-03-2014 - 13:39 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài toán. Giải phương trình.
$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$
Đã gửi bởi anh qua on 12-06-2013 - 17:30 trong Hình học
Pro44. Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC, P$ là điểm di động trên $AD, E,F$ là giao điểm của $AB,PB$ và đường tròn đường kính $BD; Z$ là giao của $PC$ và đường tròn đường kính $CD$. Chứng minh rằng $(EFZ)$ đi qua một điểm cố định
Đã gửi bởi anh qua on 12-01-2013 - 21:30 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học