Chứng minh của em bị lỗi nặng ạ cách giải của anh đã khắc phục được
Nhân tiện, anh có thể đăng bài toán gốc cho mọi người tham khảo được không ạ ?

Bài toán gốc là trường hợp riêng của bài toán 2 khi $E$ trùng $F$. Lúc đó, kết luận trở thành trung tuyến đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ đi qua trực tâm tam giác $DMN$.

Sau đây tôi xin đưa ra một lời giải cho bài toán 2. Về xuất xứ lời giải được đính kèm dưới đây có vài điểm cần nói rõ:

1. Nguồn gốc bài toán 2. Bài toán 2 được tác giả Trần Minh Ngọc mở rộng từ một bài toán của thầy Trần Quang Hùng trong quá trình tập huấn đội tuyển Đồng Tháp - ta gọi là bài toán gốc. 

2. Tôi đã được thầy Hùng chia sẻ và giải xong bài toán gốc.

3. Khi truy cập vào topic này, tôi đã chỉ kịp đọc phát hiện thú vị về hai sự thẳng hàng O, U, E và O, V, F trong post của bạn  Zeref mà chưa kịp xem tiếp các phần còn lại khi bạn ấy xóa lời giải của mình.

Khá tâm đắc với sự phát hiện này, vì cảm thấy có thể dùng ý tưởng của tôi khi giải quyết bài toán gốc để giải bài toán 2, tôi đã hoàn thành lời giải dưới đây.

lời giải bài 2 của em 

Bổ đề 1 : Cho tam giác $ABC$,trung điểm cung $AC$ không chứa $B$ là $X$ trung điểm $BC$ là $M$. Đường đối trung $AK$. Chứng minh rằng nếu $X$ là tâm của $\odot (ACM)$ thì $AX \perp AK$

Chưng minh. Ta có $BX$ là phân giác $\angle{ABC}$. Mà $\angle{BMA}=\frac{\angle{AXC}}{2}=90-\frac{\angle{ABC}}{2}=90-\angle{XBM}$ vậy $BX \perp AM$ 

Vậy $90-\angle{CAX}=\frac{\angle{AXC}}{2}=\angle{BMA}=\angle{MAB}=\angle{KAC}$ Suy ra $AK \perp AX$

Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot(O)$. Đường kính $AX$, tiếp tuyến tại $X$ cắt $BC$ tại $K$. Giao của $KO$ và $AB,AC$ là $D,E$. Chứng minh rằng $O$ là trung điểm $DE$.

Chứng minh. (Bổ đề này quen thuộc)

Quay lại bài toán:

Ta gọi đường kính của $\odot(O)$ là $AX$. Tiếp tuyến tại $X$ cắt $BC$ tại $K$. Vậy theo bổ đề 2 thì $E,D,O,K$ thẳng.

Gọi giao của $DE$ và $\odot(O)$ là $Y,Z$ sao cho $Y$ nằm trên cung $AC$ từ gia thiết $DE=OA$ suy ra $OD=DY$. Giao của $YC$ và đường thẳng qua $O$ song song $AC$ thì $M'$ thì ta có $CM'=CY$ tương tự ta có điềm $N'$ và $BN'=BZ$. Vậy theo E.R.I.Q thì $K$ là trung điểm $M'N'$. Gỉa sử tồn tại $U,V$ khác $M',N'$ và nhận $K$ là trung điểm suy ra hình bình hành vố lí vậy $M'$ trùng $M$ và $N'$ trùng $N$.

Vậy ta có $\angle{OMC}=\angle{ACY}=\angle{AXY}$. Vậy $O,X,M,Y$ thuộc 1 đường tròn tương tự $O,X,N,Z$ thuộc 1 đường tròn.

Vậy theo Miquel thì $P,M,N,X$ thuộc 1 đường tròn.

Áp dụng Pascal cho 5 điểm $X,B,C,Y,Z$. Gọi giao của $BY$ và $XC$ là $G$. Giao của $CZ$ và $XB$ là $H$ thì $G,K,H$ thẳng. Gọi giao của $BY$ và $CZ$ $T$ vậy áp dụng Desargues suy ra $TX$,$YC$,$BZ$ đồng qui.tại $P$. Vậy $PX \perp DE$ suy ra $\angle{CPX}=90-\angle{OYC}=\angle{CXY}$

Áp dụng bổ đề 1 cho $\triangle YXM$ thì ta suy ra $XK$ là đường đối trung của vậy $\angle{MXK}=\angle{CXY}=\angle{CPX}$  vậy ta suy ra $KX$ là tiếp tuyến của $\odot(PMN)$ mà $KX$ là tiếp tuyến của $\odot(O)$ vậy ta suy ra $\odot (O)$ tiếp xúc $\odot (PMN)$

Cảm ơn bạn Nam đã đóng góp một lời giải với ý tưởng khá thú vi khác đáp án. Trong lời giải của bạn Nam, có hai điểm $K$: một của đề bài, một là giao của tiếp tuyến tại $X$ của $(O)$ với $BC$. Bạn hãy chỉnh sửa lại cho mọi người tiện theo dõi nhé.

Một lời giải cho bài toán 1 - Một bài toán hay cho học sinh THCS.

Lời giải của bài toán 1.

Dựa theo ý tưởng của hai bạn NHN và bạn manhtuan00, chúng ta có thể đưa ra một lời giải phù hợp với học sinh THCS như đính kèm dưới đây. Theo ý kiến chủ quan của tác giả bài toán 2, với lời giải khá tự nhiên này, bài toán 2 là một bài toán đủ tốt đối với học sinh giỏi THCS cho dù chưa hoặc ít quen thuộc với bổ đề E.R.I.Q. Tất nhiên, với những ai đã quen đến bổ đề, thì có thể ta lại có một góc nhìn khác.

Nhận xét. Bài toán vẫn đúng với điểm D bất kỳ trên tiếp tuyến song song và khác BC của (I).

Một lời giải cho bài 2.

Một lời giải khác cho bài 1 mở rông IMO 2017.

Một lời giải thuần túy cho bài toán của tuần 5 tháng 6 năm 2016.

Ta có thể phát biểu lại bài toán như sau

Một bài toán liên quan đến cấu hình này

Mở rộng của thầy thật bất ngờ vì nó khá đơn giản.   Sau đây là lời giải bài tổng quát em đã nêu ở trên có sử dụng kỹ thuật biến đổi góc trong bài tổng quát của thầy.

Một hướng tổng quát cho bài 6.

Tất nhiên ta có thể phát biểu lại tương tự bài 6 như sau:

Một lời giải khác cho bài hình số 6.

Bài toán không khó nhưng khá thú vị  . Một tính chất xung quanh cấu hình này.

Ý tưởng giải của hai bạn baopbc và viet nam in my heart đều có sự thú vị riêng. Các bạn quan tâm có thể đưa ra lời giải cho bổ đề đẳng giác được sử dụng trong hai lời giải trên được không? 

Tặng bạn baopbc hình vẽ cho ý tưởng giải hay.

Ý 6a dự theo ý tưởng thầy Trần Quang Hùng. Ý 6b là lời giải của tôi.

6a

6b

Một lời giải khác cho bài toán tuần 4 tháng 12 năm 2015.

Ý tưởng giải của bạn Belphegor Varia hay. Tuy nhiên lời giải trên có thể trau chuốt lại cho đẹp hơn như ở dưới đây.

Một lời giải khác cho bài toán tuần 1 tháng 11 năm 2015.

Bài toán tuần 2 tháng 10 năm 2015.

Lời giải sau đây được chỉnh sửa lại từ lời giải của tôi và của bạn huypham2811.