Cho $x^2+xy+ y^2 \le 3$.CMR:
$-4 \sqrt 3 -3 \le x^2-xy-y^2 \le 4 \sqrt3-3$

Bài nè:
Xét x=0 hiển nhiên đúng!
Xét x#0 như sau:
Đặt $A = \dfrac{{x^2 - xy - y^2 }}{{x^2 + xy + y^2 }} = \dfrac{{1 - a - a^2 }}{{1 + a + a^2 }}$
trong đó a=y/x
Tìm min max của phân thức nè.(miền giá trị hàm số là xong)
Sau đó để ý rằng $0 \le x^2 + xy + y^2 \le 3$
Từ đó suy ra đpcm thui!

Tìm đa thức bậc bốn $P(x)=x^4 + ax^3 + bx^2 + cx +d$. Cho biết đa thức có bốn nghiệm nguyên, trong đó có ba nghiệm bằng nhau và P(0)=2008

Giả sử P(x) có 3 nghiệm bằng x1 1 nghiẹm bằng x2.
Ta có $\begin{array}{l}
P_{(x)} = (x - x_1 )^3 (x - x_2 ) \\
\Rightarrow P_{(0)} = x_1^3 x_2 = 2008 \\
\end{array}$
Do 2008=2^3.251=1.2008=(-2)^3.(-251)=(-1).(-2008)
Vậy $x_1 = \pm 1; \pm 2 \Leftrightarrow x_2 = \pm 2008; \pm 251$
Thay từng cặp giá trị nghiệm x1;x2 ta được bốn đa thức thỏa mãn!

Problem6: Cho x,y,z, a,b,c là các số thực dương bất kì với x+y+z=1.Chứng minh rằng:
$ax + by + cz + 2\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \le a + b + c$

Dấu "=" xảy ra khi nào hả ?

Uh wen mất bài nè làm gì có dấu bằng

Cho tam giác ABC. Trên AB lấy D sao cho $AD=\dfrac{1}{k}.AB$; trên AC lấy E sao cho $AE=\dfrac{1}{k}.AC$ (k>2). Lấy F là trung điểm BC. CMR: AF; BE; CD đồng quy.

Bài này Xeva là xong
CM tỉ số AD/BD.BF/CF.CE/AE=1

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. CMR:
$a^4+b^4+c^4 \leq 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

Chuyển vế phân tích thành nhân tử đc cái cần cm tương đương:
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)≤0
Cái nè đúng vì a;b;c là 3 cạnh tam giác mà!

chỉ cần làm như vậy thôi àk hả anh cách này có đúng ko đấy nghi ngờ quá. CÔ em bảo là dài lắm nhưng ko chữa kòn cách của anh thì ngắn wa

ừ mình nhầm mất.sơ suất wa,thông cảm nha!

Uh! mình ngộ nhận ! Cám ơn bạn nha ! Bạn post bài giải ở đâu nhỉ ?! Chỉ mình với !!

Thui để mình post lại cho bạn nè:
dễ thấy (26;37)=1
Xét 26bca-abc=2590b+259c-74a cái nè chia hết cho 37
mà abc chia hết cho 37 nên 26bca chia hết cho 37.do đó bca chia hết cho 37.
Típ theo abc+bca+cab=111(a+b+c) chia hết cho 37 nên cab chia hết cho 37.
Đó là đpcm mà!

Tiện đây bạn post cho mình cách gõ mấy cái hình mình bít mỗi hình nè thui

cho abc=1. a,b,c> 0.CMR:
$ \dfrac{1}{a+b+1} +\dfrac{1}{b+c+1} + \dfrac{1}{c+a+1} \leq 1$
thanks các bác trước nha!

ừ bài nè dễ thui!
Vì abc=1.Đặt a=x^3;b=y^3;c=z^3=>xyz=1 (x,y,z>0)
Ta có
$\dfrac{1}{{a + b + 1}} = \dfrac{1}{{x^3 + y^3 + 1}} = \dfrac{1}{{x^3 + y^3 + xyz}} \le \dfrac{1}{{xy(x + y + z)}} = \dfrac{z}{{x + y + z}}$ (Sử dung bđt wen thuộc $x^3 + y^3 \ge xy\left( {x + y} \right)$ mà)

Tương tự cộng lại có đpcm!

cho tam giác ABC. trong đó AD,BE,CF là 3 đường trung tuyến sao cho AD vuông góc BE. c/m tồn tại 1 tam giác nhận FC là cạnh huyền và AD,BE là 2 cạnh góc vuông

Bài nè làm theo cách hình học thì mình chưa nghĩ đành làm cách nè vậy:
Đặt $AB=c;CA=b;BC=a$
ta có: $4AD^2=2b^2+2c^2-a^2$
$4BE^2=2c^2+2a^2-b^2$
$4CF^2=2a^2+2b^2-c^2$
(Công thức đường trung tuyến mà)
Từ AD vuông góc với BE sẽ có $\dfrac{4}{9}AD^2+\dfrac{4}{9}BE^2=AB^2=c^2.$
thay công thức đường trung tuyến như trên vào thì ta đc:$a^2+b^2=5c^2$
Típ nha: yêu cầu bài toán tương đương $AD^2+BE^2=CF^2$
Thay công thức đường trung tuyến vào $=> a^2+b^2=5c^2$
Chính là đẳng thức suy ra từ giả thiết.
Vậy bạn có đpcm thui

Em có thể xem tại đây
http://diendantoanho...showtopic=42891
http://www.mathlinks...1491803#1491803

thank anh nha,em mới chỉ biết cách dồn biến,giờ mới biết cách khác.Nhưng chả lẽ bài này ko có lời giải sơ cấp nào hả anh?

cách nào đâu bạn ?????/

cách của pác toanlc ý giải đc bài tổng quát mà

ko ai làm bài này ạ?? bài này cũng hay mà....

Problem 6:Tìm $p;q \in Z^ + ;p \in P$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
p \le q \le p^2 \\
C_{p^2 }^q - C_q^p = 1 \\
\end{array} \right.$


Giúp nha bài nè em chưa nhai đc!

Problem5: Cho a;b;c≥1 thỏa mãn a+b+c=9.Chứng minh rằng:
$\sqrt {ab + bc + ca} \le \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $





p/s: thêm một bài toán đẹp nữa nhưng giúp em tìm một lời giải đẹp cho nó.thanks trước

Giải bài 1 :
Do :
$abc=(100a+10b+c) \vdots 37 \Leftrightarrow 100a\vdots 37 , 10b \vdots 37, c\vdots 37\Leftrightarrow 100a=37 k_{1} ,10b= 37k_{2},c=37k_{3} \Leftrightarrow a= \dfrac{37 k_{1} }{100} ,b=\dfrac{37 k_{2} }{10},c={37 k_{3} $
Ta có :
$bca=(100b+10c+a)=100. \dfrac{37 k_{2} }{10}+10.{37 k_{3} +\dfrac{37 k_{1} }{100}=37.(10 k_{2} +10k_{3}+ \dfrac{ k_{1} }{100}) \vdots 37 $
Chứng minh tương tự ta cũng có : $cab \vdots 37$

Thứ 1: Lời giải cho bài nè mình giải cho bsanj ý rùi post lên làm gì nữa
Thứ 2:Lời giải của bạn khai tam đã sai hoàn toàn
để ý rằng theo cách li luận của bạn: 100a chia hết cho 37 thì a chia hết cho 37 =>a=0?
tương tự b và c cũng chia hết cho 37 chăng? b=c=0
tóm lại ko thể giải như trên đc mình lấy 1 ví dụ nhé
abc=185
bca=851
cab=518
....

solution thế này nha
từ điều kiện suy ra
tồn tại bộ x,y,z>0 thỏa mãn
$\dfrac{x+y}{z}=c,.......$
suy ra ta phải cm
$\sum \sqrt{\dfrac{x+y}{z}}\ge \sum \sqrt{\dfrac{z}{x+y}}$
tương đương với
$\sum \dfrac{(a-c)+(b-c)}{\sqrt{c(a+b)}}\ge 0$
tương đương với
$\sum \dfrac{c(a-b)^2}{\sqrt{ab(b+c)(c+a)}(\sqrt{(a+c)b}+\sqrt{(b+c)a})}\ge 0$(đúng)
p/s:bdt đẹp thật

Hì thanks pac tuy lời giải bác ghi nhầm tí nhưng ko sao.lg cũng đúng rùi.em dùng AM-GM thui lơp 8 mà.

Bài 2 đề là j vậy?mong bạn viết rõ hơn nhé vì hình như đề nè chưa có yêu cầu j cả???

Bài 1:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b)sao cho a^2b+a+b (ab^2+b+7)
Bài 2Cho số nguyên dương n 3 và t1,t2,...,tn là những số thực dương sao cho:
n^2+1 lớn hơn (t1+t2+...+tn)(1/t1 +1/t2 +...+1/tn)

nản bạn chơi khó nhau bài 1 là bài IMO năm nào ý.(nhớ ko nhầm là vậy)
Theo tớ: Xét a<b cm đc a^2b+a+b<ab^2+b+7
Xét a≥b như sau:
$\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {ab^2 + b + 7} \right) > a^2 b + a + b$
• Xét b≥3 ta có:$\left( {\dfrac{a}{b} - \dfrac{1}{b}} \right)\left( {ab^2 + b + 7} \right) < a^2 b + a + b$
Kết hợp 2 cái trên ta đc:
$\dfrac{{a^2 b + a + b}}{{ab^2 + b + 7}} = \dfrac{a}{b}$
=>b=7m;a=7m^2
• Xét b<3 xét đơn giản theo chia hết.
b=1 có a=11;49
b=2 vô nghiệm!
Kết luận...............
Chắc chắn có cách hay hơn;lời giải này của mình vắn tắt những j cơ bản thui!thông cảm nhé 11h

Sáng tác của mình(năm lớp 8 rùi)h post lên cho zui.
Problem 4:Cho a,b,c là các sô dương thỏa mãn a+b+c+2=abc.CMR:
$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \ge 2\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt b }} + \dfrac{1}{{\sqrt c }}} \right)$

nếu giỏi phải nói đến Toanlc và Tuấn anh à em phải học hỏi nhiều
hai ông này ghê lắm

ừ t cũng thế mới vào diễn đần đc có 2 ngày thui.Phải học hỏi mọi ng nhiều.mong các tiền bối chỉ giáo thêm!

vậy à mình kok có sách ấy
đây là cách của mình kok dài lắm chỉ 3 dòng
quy đông khử mẫu ta có
bdt tương đương với
$a^3+b^3+c^3+3abc+a^2b+b^2c+c^2a \geq ab+bc+ca$
mặt # $a^3+b^3+c^3+6abc \geq (a+b+c)(ab+bc+ca);a^2b+b^2c+c^2a \geq 3abc$
-->dpcm

ok cách nè cũng ngắn thật.cách mình dùng AM-GM thui.Thay giả thiết a+b+c=1 vào:
BĐT <-> (a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+a)+(c+a)/(a+b)≥3.
Dễ mà!

1/Chứng minh rằng nếu :abc chia hết cho 37 thì bca và cab cũng chia hết cho 37 .
2/Cho hai dãy so và
chứng minh rằng hai với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai và có chữ sô tận cùng bằng 0.

Xin lỗi bạn mình giúp đc bài 1 thui bài 2 ko rõ đề mà.
(26,37)=1 nên 26.bca - abc=2590b+259c-74a cái nè chia hết cho 37 mà!
lại có abc chia hết cho 37 do đó bca chia hết cho 37
Mặt khác abc+bca+cab =111.(a+b+c) chia hết cho 37
do đó cab chia hết cho 37
=>đpcm

mình thử tổng quát bài của bạn cvp nhé
cho các số dương CMR;
$ \dfrac{Ax^k-Ay^k}{Bx^m+C} +\dfrac{Ay^k-Az^k}{By^m+C} +\dfrac{Az^k-Ax^k}{Bz^m+C} \leq 0$

uh đúng rùi bạn tông quát đúng đó theo cách giải nêu trên! :-bd

tiện giúp e bài nì luôn . tìm số tự nhiên m để phương trình sau : $x^2$ - $m^2$x +m + 1 = 0 có nghiệm nguyên .

Lời giải của mình đây:
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi: $\Delta = m^4 - 4m - 4$ là số cp
Xét m≥4 ta có: $\left( {m^2 } \right)^2 > m^4 - 4m - 4 > m^4 - 2m^2 + 1 = \left( {m^2 - 1} \right)^2 $
có nghĩa là pt ko có nghiệm nguyên.
Xét m≤3;vì m là số tự nhiên nên m=0;1;2;3.
thay vào ta có m=1;2 thỏa mãn.
Kết luận m=1;2
Nhờ các bạn kiểm tra nêu sai sót sửa giúp mình nhé