Giải phương trình vi phân: $(x^2 + 2y)dx + (x^3 . y - x)dy = 0$.

Cho $k_1, k_2, ..., k_n$ là các số nguyên dương. Đặt $k = k_1 + k_2 + ... + k_n$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$k_1 ! k_2 ! ... k_n ! \geq \left(\left[\dfrac{k}{n}\right]!\right)^n$.

Tính gõ lên hết cơ nhưng đã có file này thì bảo gõ lại hơi lười.... Trong file có đề của các trường:

- Đề cả chuyên và không chuyên của các tỉnh TPHCM, Hà Nội, Huế, Đà nẵng, Hải Phòng.
- Đề không chuyên của các tỉnh Nghệ An, Khánh Hòa, Hà Tĩnh, Vĩnh Phúc, Đồng Tháp.
- Đề chuyên của các tỉnh Quảng Trị, Quảng Bình, Thái Bình, Hà Nam, Thanh Hóa.
- Các đề còn lại là của các khối PT chuyên trường KHTN HN, ĐHSP HN và PTNK TPHCM.
...cùng với đề là lời giải chi tiết.

Các bạn có đề nào khác ngoài các đề trên thì post vào topic này luôn, có gì mình sẽ tổng hợp lại file.

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 năm 2010.

Chứng minh rằng hai mêtric $\rho_1, \rho_C$ trong tập tất cả các hàm liên tục $[0 , 1] \to \mathbb{R}$ là không tương đương:

$\rho_1(f , g) = \int_{0}^{1}|f(x) - g(x)|dx,$

$\rho_C(f , g) = max_{x\in[0,1]}|f(x) - g(x)|$.

So sánh hai cấu trúc topo đạt được của hai mêtric này.

Dennis P. Sullivan và Shing-Tung Yau nhận giải thưởng Wolf 2010

Hai nhà toán học Dennis P. Sullivan (Stony Brook University & CUNY Graduate School and University Center, Stony Brook, NY New York, NY, USA) và Shing-Tung Yau (Harvard University, Cambridge, Massachusetts, USA) vừa được lựa chọn để trao giải Wolf Prize 2010.

Sullivan, với những hiểu biết sâu sắc cho sự vận dụng công cụ hình học, ông đã đóng góp nhiều vấn đề nền tảng trong Toán học, bao gồm cả lý thuyết đồng luân, hệ động học, và topo thấp chiều. Được biết đến nhiều kết quả quan trọng biểu hiện cho tầm nhìn của ông về toán học, Sullivan là nhân tố chính cho sự phát triển sôi động của khu vực nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực học bảo giác, string topology. Ông đã nhận được giải Veblen (AMS) năm 1971 và giải Steele cho thành tựu trọn đời vào năm 2006.

Yau, là một trong những người tiên phong cho các ứng dụng của Giải tích phi tuyến tron Hình học vi phân. Cùng với sinh viên và cộng tác viên của ông, ông có là người có tác động lớn đến các tiến bộ của ngành Giải tích Hình học trong vòng 30 năm qua.Kết quả và ý tưởng của trong lĩnh vực này gây ảnh hưởng quan trọng trong nhiều ngành của Hình học và Toán Lý. Yau cũng đã nhận giải Veblen AMS năm 1981 và đặc biệt là huy chương Fields vào năm 1982.

Sullivan và Yau sẽ cùng nhau chia sẻ 100.000 đô la Mỹ - số tiền được trao cùng với danh hiệu cao quý của giải thưởng Wolf 2010. Buổi lễ trao giải sẽ tổ chức tại Israel vào tháng Năm, 2010.

Một số thông tin thêm về giải thưởng Wolf:

Từ năm 1978, năm hoặc sáu giải thưởng về khoa học và nghệ thuật đã được trao hàng năm. Trong Khoa học giải thưởng bao gồm các lĩnh vực: Nông nghiệp, Hóa học, Toán học, Y khoa và Vật lí. Trong Nghệ thuật, giải thưởng hàng năm luân chuyển giữa các lĩnh vực Kiến trúc, Âm nhạc, Hội họa và Điêu khắc.

Các giải thưởng trong từng lĩnh vực bao gồm các chứng chỉ và một giải thưởng tiền mặt trị giá 100.000. Trong trường hợp của hai hoặc ba người nhận thì giải thưởng được chia thành các phần bằng nhau.

Ủy ban giải thưởng quốc tế trong từng lĩnh vực, bao gồm các chuyên gia nổi tiếng, họ lụa chọn người được trao giải Wolf. Ủy ban giải thưởng được bổ nhiệm mỗi năm. Quyết định của ủy ban này là kết quả cuối cùng và không thể thu hồi.

Đến nay, tổng cộng có 253 nhà khoa học và nghệ sĩ từ 23 quốc gia đã được vinh danh.

------------------------------------------
(nguồn: vnmath.com, tham khảo thêm: NYAS)

Cho $K/F$ là mở rộng Galois vô hạn với $G = Gal (K/F)$, và $H$ là nhóm con của $G$.

Chứng minh rằng bao đóng $\overline{H}$ của $H$ với topo Krull trên $G$ là $\overline{H} = \cap_{N \in L}HN$.

Ở đây $L = \{N \subset G: N = Gal (K/E), E \in I\}$ và $I = \{E: F \subset E \subset K, [E:F] < \infty, E/F$ là $Galois\}$.

Với cách xác định:

$\begin{cases} d(n , 0) = d(n , n) = 1 & (n \geq 0), \\ md(n , m) = md(n - 1 , m) + (2n - m)d(n - 1 , m - 1) & (0 < m < n). \end{cases}$

Chứng minh rằng $d(n , m)$ là số nguyên $\forall m , n \in \mathbb{N}$.

Cho $A_1 (x_1 , y_1), A_2 (x_2 , y_2), ..., A_n (x_n , y_n)$ là các điểm trên mặt phẳng tọa độ, $n \geq 2$ với $M \left(\dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} , \dfrac{y_1 + y_2 + ... y_n}{n}\right)$ là trọng tâm của chúng. Kí hiệu $C$ là tâm của đường tròn có bán kính nhỏ nhất $r$, trong đó chứa các điểm $A_1 , A_2 , ..., A_n$ và $d$ là khoảng cách giữa $M$ và $C$. Chứng minh rằng: $\dfrac{d}{r} \leq \dfrac{n - 2}{n}.$

Cho $f : [0 ; 1] \to \mathbb{R}$ là một hàm song ánh khả vi. Chứng minh tồn tại $a \in (0 , 1)$ thỏa mãn:

$\int\limits_{f(0)}^{f(1)} f^{-1}(x)dx = \dfrac{1}{2}f'(a).$

Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:

$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$

(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)

AMM 8,9/2010

Đề thi và lời giải APMO 2010...
Canadian Mathematical Olympiad 2010 (CMO)
Romanian Master in Mathematics 2010 (RMM)

Các lớp THCS

Bài T1/393. Cho các số tự nhiên $a_1, a_2, a_3, ..., a_{2010}$ thỏa mãn điều kiện:
$\dfrac{1}{a_1^{11}} + \dfrac{1}{a_2^{11}} + \dfrac{1}{a_3^{11}} + ... + \dfrac{1}{a_{2010}^{11}} = \dfrac{1005}{1024}$
Hãy tính: $A = \dfrac{a_{2010}^6}{a_1^5} + \dfrac{a_{2009}^6}{a_2^5} + \dfrac{a_{2008}^6}{a_3^5} + ... + \dfrac{a_1^6}{a_{2010}^5}$.

Bài T2/393. Cho tam giác $ABC$ có góc $B$ và góc $C$ nhọn. Vẽ đường phân giác $BD$ và đường cao $AH$ của tam giác đó. Biết rằng: $\widehat{ADB} = \widehat{AHD} = \alpha$. Tính số đo góc $\alpha$.

Bài T3/393. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^3 = x^6 + 2x^4 - 1000$.

Bài T4/393. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \dfrac{a}{b + c + d - a} + \dfrac{b}{c + d + a - b} + \dfrac{c}{d + a + b - c} + \dfrac{d}{a + b + c - d}$
trong đó $a, b, c, d$ là độ dài các cạnh của một tứ giác lồi.

Bài T5/393. Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$. Gọi $O, I$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC, D$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $DO$ vuông góc với $BI$. Chứng minh rằng $DI$ song song với $AC$.

Các lớp THPT

Bài T6/393. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
$\dfrac{1}{a + b + 1} + \dfrac{1}{b + c + 1} + \dfrac{1}{c + a + 1} \geq 1$.
Chứng minh rằng: $a + b + c = ab + bc + ca$.

Bài T7/393. Cho ngũ giác nội tiếp $ABCDE$ với $AC \parallel DE$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC}$, trong đó $M$ là trung điểm của đoạn $BD$. Chứng minh rằng đường thằng $BE$ đi qua trung điểm của đoạn thằng $AC$.

Bài T8/393. Cho tứ diện $OABC$ có góc tam diện đỉnh $O$ vuông. Chứng minh rằng:
$cotAB.cotBC + cotBC.cotCA + cotCA.cotAB \leq \dfrac{3}{2}$
trong đó $cot AB$ là kí hiệu cotang của góc nhị diện cạnh $AB$.

Tiến tới Olympic Toán

Bài T9/393. Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $BK$ và $CL$ cắt nhau tại $H$. Một đường thẳng đi qua $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $HP = HQ$ khi và chỉ khi $MP = MQ$, với $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Bài T10/393. Tìm tất cả các số thực $k$ và $m$ sao cho:
$k(x^3 + y^3 + z^3) + mxyz \geq (x + y + z)^3$
với mọi $x, y, z$ không âm.

Bài T11/393. Cho dãy số thực $(x_n)$ với $n = 1, 2, ...$ thỏa mãn $ln(1 + x_n^2) + nx_n = 1$ với mọi số nguyên dương $n$.
Tìm $\mathop{\lim}\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n(1 + nx_n)}{x_n}$.

Bài T12/393. Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: R \to R$ thỏa mãn điều kiện:
$f(x + f(y)) = 2y + f(x) , \forall x, y \in R$.

1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có đỉnh là tâm các đường tròn bàng tiếp của một tam giác $ABC = \dfrac{2SR}{r}$, trong đó $S, R, r$ theo thứ tự là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$

2. Chứng minh rằng nếu $I$ là điểm Lemoine thì: $a^{2}AI^{2} + b^{2}BI^{2} + c^{2}CI^{2} = \dfrac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

1. $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Cmr:
$(-a + b + c)(a - b + c) + (a- b + c)(a + b - c) + (a + b - c)(-a + b + c) \leq \sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})$

2. $x, y, z$ là các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tam giác đều cạnh $a$ đến các đỉnh của tam giác đó. Cmr:
$a^{4} - a^{2}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + x^{4} + y^{4} + z^{4} - x^{2}y^{2} - y^{2}z^{2} - z^{2}x^{2} = 0$

1. Chứng minh rằng nếu $\dfrac{p_{k}}{q_{k}}$ là một hội tụ của khai triển phân số liên tục đơn của $\sqrt{d}$ thì $|p^{2}_{k} - dq^{2}_{k}| < 1 + \sqrt{d}$

2. Giả sử $\alpha$ là số vô tỉ, $\dfrac{p_{k}}{q_{k}}$ là hội tụ thứ $k$ của phân số liên tục đơn của $\alpha$. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba hội tụ liên tiếp thỏa mãn bất đẳng thức $|\alpha - \dfrac{p_{k}}{q_{k}}| < \dfrac{1}{q^{2}_{k}\sqrt{5}}$
Từ đó suy ra tồn tại vô hạn số hữu tỉ $\dfrac{p}{q}$ với $p, q$ nguyên, $q \neq 0$ sao cho $|\alpha - \dfrac{p}{q}| < \dfrac{1}{q^{2}\sqrt{5}}$

Giả sử M là trung điểm của trung tuyến AD của $ \delta ABC $. Đường thẳng BM cắt AC tại N. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $ \delta BCN $ khi và chỉ khi $ \dfrac{BM}{MN} = (\dfrac{AC}{AB})^{2} $.

Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 1 nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cung AB ta lấy điểm M sao cho $\widehat{AOM} = 30^{o}$. Gọi P là điểm đối xứng của M qua AB, Q đối xứng với P qua CD và H đối xứng với Q qua tâm O. Tính độ dài MH.

Math Tools là phần mềm hỗ trợ học Toán miễn phí, có giao diện bằng tiếng Việt nên dễ dàng sử dụng. Phần mềm có một số các chức năng như: giải phương trình; giải phương trình tuyến tính; tính đạo hàm, tích phân, giới hạn, cực trị; vẽ đồ thị; tìm nghiệm nguyên... Có thể download Math Tools ở đây: http://www.mediafire.com/?hwnm2cmgzem

1. Tìm các số tự nhiên $n$ để tồn tại các số hữu tỷ nhưng không nguyên $a, b$ sao cho $a + b$ và $a^{n} + b^{n}$ là số nguyên?

2. Với số tự nhiên $n$ nào thì tìm được bộ các số tự nhiên phân biệt sao cho:
$\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + ... + \dfrac{a_n}{a_1}$ là số tự nhiên.

3. Tồn tại hay không bộ ba các số tự nhiên lớn hơn $10^{10}$ đôi một nguyên tố cùng nhau $(x ; y ; z)$ sao cho $x^{8} + y^{8} + z^{8} \vdots x^{4} + y^{4} + z^{4}$

Cho $n \geq 3$ và các số $x_1 , x_2 , ... , x_{n - 1} \in N$, biến thiên và thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n - 1} = n \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + ... + (n - 1)x_{n - 1} = 2n - 2 \end{matrix}\right$

Tìm $min f$ với $f = f(x_1 , x_2 , ... , x_{n - 1}) = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} k.x_k.(2n - k)$

1. (Iran 1999) Giả sử $n ( r )$ là số tất cả các điểm có tọa độ nguyên trên một đường tròn có bán kính $r > 1$.
Cmr: $n ( r ) < 6\sqrt[3]{\pi r^{2}}$

2. (Romania 1999) Một mặt phẳng cắt các cạnh $AB, BC, CD, DA$ của tứ diện đều $ABCD$ tại các điểm tương ứng $M, N, P, Q$.
Cmr: $MN.NP.PQ.QM \geq AM.BN.CP.DQ$

Gọi $d_1, d_2, d_3, d_4$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $P$ nằm trong tứ diện $ABCD$ đến các đỉnh $A, B, C, D$ tương ứng; còn $h_1, h_2, h_3, h_4$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $P$ đến các mặt $(BCD) , (CDA) , (DAB) , (ABC)$. Chứng minh rằng:
$d_1 + d_2 + d_3 + d_4 \geq 2(\sqrt{h_1h_2} + \sqrt{h_1h_3} + \sqrt{h_1h_4} + \sqrt{h_2h_3} + \sqrt{h_2h_4} + \sqrt{h_3h_4})$

1. Giải phương trình:
$(2 + \sqrt{2})^{sin^{2}x} - (2 + \sqrt{2})^{cos^{2}x} + (2 - \sqrt{2})^{cos2x} = (1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2})^{cos2x}$

2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} tg^{2}x + tg^{2}y + tg^{2}z = m^{2} \\ tg^{3}x + tg^{3}y + tg^{3}z = m^{3} \end{matrix}\right$

1. Chứng minh rằng nếu ước nguyên tố nhỏ nhất của n là p, thì $x^{2} - n$ không phải là số chính phương nếu $ x > \dfrac{ n + p^{2} }{2p}$

2. Giả sử n là số nguyên dương. Chứng minh rằng lũy thừa của số nguyên tố p xuất hiện trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n! là:
$ [n / p] + [n / p^{2}] + [n / p^{3}] + ... $