Giải phương trình: $\frac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$

Đánh giá hai vế tìm được $x=3$.

P/s: Anh NAT cho em gõ dùm nhé 

 

ĐKXĐ: $4\geq x\geq 2$

Trước tiên ta chưa thể đánh giá ngay 2 vế, mà ta cần biến đổi 1 bước như sau:

PT $\Leftrightarrow \frac{(x-2)\sqrt{x-2}-2\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+2(x-2)\sqrt{x-2}}{x-1}$

$\Leftrightarrow \frac{2(\sqrt{x-2}+1)(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}=\frac{(\sqrt{x-2}+1)(x-3-\sqrt{x-2})}{\sqrt{4-x}+x-5}$

$\Leftrightarrow \frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}=\frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}$     (*)

    ( Vì $\sqrt{x-2}+1 >0$  )       

Giờ ta đi đánh giá :

VT (*) $\geq 1$ $\Leftrightarrow \frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}\geq 1\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}-1)^{2}\geq 0$    ( Quy đồng nhân chéo lên biến đổi, do mẫu luôn lớn hơn 0)

VP (*) $\leq 1$ $\Leftrightarrow \frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}\leq 1\Leftrightarrow x-3-\sqrt{x-2}\geq \sqrt{4-x}+x-5$  ( Vì mẫu $\sqrt{4-x}+x-5 <0$ )

Biến đổi tiếp dẫn đến $(x-3)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

Vậy ...

   

Cảm ơn Le Tuan Canhh, bạn đã gõ chính xác theo cách của mình.

Ngoài ra, có thể đánh giá theo cách sau:

Ta có: $\frac{2+(2 x-4) \sqrt{x-2}}{x-1}-\sqrt{x-2}-1=\dfrac{\left(\sqrt{x-2}-1\right)(x-3)}{x-1}=\dfrac{(x-3)^2}{(x-1)\left(\sqrt{x-2}+1\right)}\ge 0$.

Tương tự, ta cũng đánh giá được: $\frac{(x-4) \sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}-\sqrt{x-2}-1 \le 0$.

Có 10 hành khách bước ngẫu nhiên vào 4 toa tàu khác nhau. Tính xác suất để có đúng hai toa tàu mà mỗi toa có đúng 3 hành khách.

Cho phương trình $\ln (11-x)-\log \left(x^{2}-4 x-m\right)-x+m=0$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực $x \in[2 ; 8]$.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy-x-y=1 & \\ 4x^3-12x^2+9x=-y^3+6y+7 & \end{matrix}\right.$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1} x f(x) dx=0$ và $\max_{[0;1]} |f(x)|=1$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{1} e^x f(x) dx$.

$${log_{2}}^{\frac{x^{2}+2}{2x+5}}=-x^{2}+4x+9$$

$\log_{2}{\frac{x^{2}+2}{2x+5}}=-x^{2}+4x+9$ (1)

ĐK: $x>-\frac{5}{2}$.

PT (1) tương đương với

Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} x^2-yz=2 \\ y^2-zx=3 \\ z^2-xy=4 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình sau : $2(x^{2}-4x+6)-3\sqrt[3]{x^{3}+27}=0$

PT tương đương với $2(x^2-3x+9)-3\sqrt[3]{(x^2-3x+9)(x+3)}-2(x+3)=0$

Không biết chỗ cái căn đó có nhầm không?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(x^2-x+1)=(y+2)\sqrt{y+1} \\ x(x^2+x+1)=\sqrt{(y+1)(y+2)}  \end{matrix}\right.$

Cho $x$, $y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=\frac{2}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{y}{3 x^{2}+1}+\frac{x}{3 y^{2}+1}$

Giải bất phương trình

$$x + \frac{{12x}}{{\sqrt {{x^2} - 144} }} \le 35$$

Điều kiện: $x>12$ hoặc $x<-12$.

Dễ thấy $x<-12$ thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Với $x>12$, đặt $t=\sqrt{x^2-144}$ ($t>0$), BPT trở thành $$\left(\frac{t+12}{t}\right)^2 \le \frac{35}{t^2+144}.$$ Đến đây lũy thừa và giải tiếp sẽ ra.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a^2b=a+c \\ b^2c=b+a \\ c^2a=c+b \end{matrix}\right.$

$\!\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$

$$\begin{equation}\begin{split} \int\frac{3\sin x- 4\cos x}{\sin x- 2\cos x} \end{split}\end{equation}$$

Ta có $3\sin x- 4\cos x=\frac{11}{5}(\sin x-2\cos x)+\frac{2}{5}(\cos x+2\sin x)$.

Anh ơi Em nghĩ mình cần xét trường hợp $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}=0$ vì biết đâu 1 khả năng nhỏ đó là nghiệm của pt thì sao ?

Khi biến đổi được thành tích là đủ 2 trường hợp luôn rồi nhé (chỉ khác hình thức trình bày, theo mình làm vậy thì trình bày tương đương một mạch luôn)

Cách 2: $PT \Leftrightarrow 10x^{2}+3x-6=2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Tới đây ta liên hợp sẽ ra nhân tử chung là $7x^{2}-4x-8$ ( và trước đó ta cần xét đk $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}\neq 0$) 

Phân tích thành nhân tử luôn, né xét điều kiện:

$7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Giair hệ phương trình: $\begin{Bmatrix} 3x^{2}-2x+5+2x\sqrt{x^{2}+1}=2(y+1)\sqrt{y^{2}+2y+2} & \\ x^{2}+2y^{2}-2x+4y-3=0 & \end{Bmatrix}$

$3x^{2}-2x+5$ hay $3x^{2}-2x-5$?

À là $3x^2-2x-5$

Nếu vậy thì lấy (1)-(2) sẽ ra thôi

giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} (2x^{2}-3x+4)(2y^{2}-3y+4)=18 & \\ x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14=0 & \end{matrix}\right.$

Từ điều kiện để PT $x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14=0$ có nghiệm theo $x$, $y$ suy ra $1 \le y \le \frac{7}{3}$ và $2 \le x \le \frac{10}{3}$.

Từ $1 \le y \le \frac{7}{3}$ và PT (1) suy ra $2x^{2}-3x+4= \frac{18}{2y^2-3y+4} \le 6$ $ \Rightarrow -\frac{1}{2} \le x \le 2$ $ \Rightarrow x=2$. Thử lại thấy không thỏa mãn. Vậy HPT đã cho vô nghiệm.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x y^{2}+x=\sqrt[3]{1-3 x y^{2}}+1 \\ y+x \sqrt{3}=\sqrt[3]{2-3 x^{2} y}+\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}} \end{matrix}\right.$, với $x, y \in \mathbb{R}$.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3+y=3x+4 \\ y^3+z=6y+6 \\ z^3+x=9z+8 \end{matrix}\right.$

Nhờ Thầy (Cô) trợ giúp em! Em xin cảm ơn!

Cho x>0,y>0 thỏa mãn $2x(y+2)+log_{2}(xy+3x)^{x}=8$. Tìm GTNN của biểu thức $2x^{2}+y$ 

$2x(y+2)+\log_{2}(xy+3x)^{x}=8 \Leftrightarrow 2x(y+2)+x\log_{2}(xy+3x)=8$.

Đặt $t=\log_{2}(xy+3x)$, ta được: $2^{t+1}+xt=8+2x$  (1).

Do hàm số $f(t)=2^{t+1}+xt$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên (1) $ \Leftrightarrow f(t)=f(2) \Leftrightarrow t=2 \Leftrightarrow xy+3x=4$