Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Đặt $a = 2x + \sqrt{17 - 4x^2}, b = 3y + \sqrt{19 - 9y^2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2 = 17 + 4x\sqrt{17 - 4x^2}\\b^2 = 19 + 6y\sqrt{19 - 9y^2}\end{matrix}\right.$

Khi đó, hệ ban đầu trở thành:

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{a^2 - 17}{4} + \dfrac{b^2 - 19}{6} = 3\\a + b = 10\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3a^2 + 2b^2 = 125\\a + b = 10\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix}a = 5\\b = 5 \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} a = 3\\b = 7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

#445914 Tìm min $A=\frac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-08-2013 - 16:48 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Đặt $t = \dfrac{x^2}{y^2}$

Từ giả thiết, ta có:

$22\dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{2}{y^2} = 8\dfrac{x^4}{y^4} + 6 + \dfrac{1}{y^4}$

$\Rightarrow 8t^2 - 22t + 6 = - \left ( \dfrac{1}{y^2} - 1\right )^2 + 1 \leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{4} \leq t \leq \dfrac{5}{2}$

Khi đó:

$A=\dfrac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{4x^2+y^2}+y\right)} = \dfrac{\dfrac{x^2}{y^2}}{\left ( \dfrac{x^2}{y^2} + 1\right ) \left ( \sqrt{4\dfrac{x^2}{y^2} + 1} + 1\right )}$

$\Rightarrow A = \dfrac{t}{(t + 1)\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )}$

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{t}{(t + 1)\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )}$ trên $\left [ \dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{2}\right ]$

Có: $f'(t) = \dfrac{-2t^2 + 2t + \sqrt{4t + 1} + 1}{(t + 1)^2\sqrt{4t + 1}\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )^2}$

Khi đó: $f'(t) = 0 \Leftrightarrow -2t^2 + 2t + \sqrt{4t + 1} + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Vì vậy, ta tìm được: $Min_A = \underset{\forall t \in \left [\dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{2} \right ]}{Min_{f(t)}} = f\left (\dfrac{1}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $t = \dfrac{1}{4}$ và $y^2 = 1$. Khi đó: $y = 1$ và $x = \pm \dfrac{1}{2}$

#444186 $\left\{\begin{matrix} sinB + sinC = 2sinA...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-08-2013 - 08:47 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Giải

ĐK: $A, B, C \neq 90^o$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} \sin{B} + \sin{C} = 2\sin{A}\\\tan{B} + \tan{C} = 2\tan{A} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sin{\left (\dfrac{B + C}{2} \right )}\cos{\left (\dfrac{B - C}{2} \right )} = 4\sin{\dfrac{A}{2}}\cos{\dfrac{A}{2}}\\\dfrac{\sin{B}\cos{C} + \sin{C}\cos{B}}{\cos{B}\cos{C}} = 2\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\cos{\dfrac{A}{2}}\cos{\left (\dfrac{B - C}{2} \right )} = 4\sin{\dfrac{A}{2}}\cos{\dfrac{A}{2}}\\\dfrac{\sin{A}}{\cos{B}\cos{C}} = 2\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}\end{matrix}\right.$

Do $0^o < A < 180^o$ nên $\cos{\dfrac{A}{2}}$ và $\sin{A} \neq 0$

Vì vậy, hệ tương đương:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos{\left (\dfrac{B - C}{2}\right )} = 2\sin{\dfrac{A}{2}}\\\cos{A} = 2\cos{B}\cos{C}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos^2{\left (\dfrac{B - C}{2}\right )} = 4\sin^2{\dfrac{A}{2}}\\\cos{A} = \cos{\left (B + C \right )} + \cos{\left ( B - C\right )}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos{\left ( B - C\right )} = 3 - 4\cos{A}\\2\cos{A} = \cos{\left ( B - C\right )}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos{A} = \dfrac{1}{2}\\\cos{\left (B - C \right )} = 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow A = B = C = 60^o$

Vậy, tam giác ABC đều.

#443837 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là t...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-08-2013 - 11:33 trong Hình học không gian

Giải

a) Dựng SH $\perp$ AD $\, H \in AD$. Dễ thấy H là trung điểm AD và SH $\perp$ (ABCD)

Nối HB cắt AN tại K. Trong hình chữ nhật ABNH, K là trung điểm hai đường chéo AN và BH.

Vì vậy: MK // SH. Suy ra: MK $\perp$ (ABCD). Từ đó suy ra: MK $\perp$ BP.

Lại có, trong hình vuông ABCD, dễ dàng chứng minh được AN $\perp$ BP.

Vậy BP $\perp$ (AMN).

Do đó: BP $\perp$ AM.

b) Theo câu a, ta có: $MK = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

Măt khác: $S_{\triangle CNP} = \dfrac{1}{2}CN.CP = \dfrac{a^2}{8}$

Vậy: $V_{MPCN} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{96}$

Ta tính được:

$MN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt{SH^2 + HC^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$NP = \sqrt{CN^2 + CP^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$MP = \sqrt{MK^2 + KP^2} = \sqrt{\left (\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right )^2 + \left (\dfrac{3a}{4} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, dễ dàng tính được: $S_{\triangle MNP} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{16}$

Do đó: $d_{(C; (MNP))} = \dfrac{3V_{CMPN}}{S_{\triangle MNP}} = \dfrac{a}{2\sqrt{5}}$

Không biết đúng không nữa

#447432 Cho y=/frac{x+1}{x-1} và (d) y= 2x+m. Tìm m để (d) cắt (c...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 03-09-2013 - 00:05 trong Hàm số - Đạo hàm

Bài 2.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox là:
$x^3 + 2(1 - 2m)x^2 + (5 - 7m)x + 2(m + 5) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 2)\left ( x^2 - 4mx + m + 5\right ) = 0$
Để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình $g(x) = x^2 - 4mx + m = 5 = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác -2.

Phần còn lại bạn tự giải nhé!

#448817 Tìm giái trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $P=x+y+\sqrt{xy-...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-09-2013 - 14:09 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Giải

ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 1$

Đặt $\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = a \geq 0\Rightarrow a^2 = x + y - 2\sqrt{xy - x - y + 1}$

Từ giả thiết, ta có:

$\left ( \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}\right )^2 + \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 2 + \sqrt{(x - 1)(y - 1)} \geq 2$

Áp dụng BĐT: $\sqrt{(x - 1)(y - 1)} \leq \dfrac{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1})^2}{4} = \dfrac{a^2}{4}$

$\Rightarrow 2 \leq a^2 + a \leq 2 + \dfrac{a^2}{4} \Leftrightarrow 1 \leq a \leq \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}$ (Do $a \geq 0$ )

Ta có: $P = 4 - a \geq 4 - \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3} = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$

Ta lại có: $P = 4 - a \leq 4 - 1 = 3$

Vậy $Min_P = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{17 - 2\sqrt{7}}{9}$

Và $Max_P = 3$ khi $x = 2; y = 1$ và ngược lại.

#478219 $\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-01-2014 - 17:17 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}(2x^2 + y)(x + y) + 2x^2 + y + x + y = 7\\2(2x^2 + y) + x + y = 7\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}a = 2x^2 + y\\b = x + y\end{matrix}\right.$, ta được: $\left\{\begin{matrix}ab + a + b = 7\\2a + b = 7\end{matrix}\right.$

Hệ này dễ dàng giải được bằng phương pháp thế.

#457426 $ \begin{cases} x^3-2 x^2 y-15 x = 6 y (2 x-5-4 y)\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-10-2013 - 13:11 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$(x^3 - 2x^2y) - (15x - 30y) + (24y^2 - 12xy) = 0$
$\Leftrightarrow (x - 2y)(x^2 - 12y - 15) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2y\\x^2 = 12y + 15\end{matrix}\right.$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\dfrac{3x^2 + 16xy + 12y^2}{24y} = \sqrt{\dfrac{x^3}{3y} + \dfrac{x^2}{4}}$

Chia cả 2 vế của phương trình cho y rồi đặt $t = \dfrac{x}{y}$, ta có:
$\dfrac{t^2}{8} + \dfrac{2t}{3} + \dfrac{1}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{t^3}{3} + \dfrac{t^2}{4}}$

$\Leftrightarrow 3t^2 \pm 4|t|\sqrt{3(4t + 3)} + 4(4t + 3) = 0$

$\Rightarrow 3\dfrac{t^2}{4t + 3} \pm \dfrac{4\sqrt{3}|t|}{\sqrt{4t + 3}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = \pm 2$

Vì $VT \geq 0 \Rightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = 2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t = 6\\t = \dfrac{-2}{3}\end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 6y\\x = \dfrac{-2}{3}y\\\end{matrix}\right.$
Kết hợp với phương trình ban đầu để suy ra nghiệm.

#456340 Tìm GTNN của M=$x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-10-2013 - 13:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Đặt xy = t

Từ giả thiết, ta có: $(x + y)^2 = 3xy + 1 \geq 0 \Rightarrow t \geq \dfrac{-1}{3}$

Mặt khác: $xy = x^2 + y^2 - 1 \geq 2xy - 1 \Rightarrow t \leq 1$

Ta có:
$M = x^4 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 3x^2y^2 $
$M = (t + 1)^2 - 3t^2 = -2t^2 + 2t + 1 = -\dfrac{2}{3}(3t + 1)(t - 1) + \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3}$

Vì $\dfrac{-1}{3} \leq t \leq 1 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) \leq 0$

Vậy: $M \geq \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{1}{9}$

Kết luận: $Min_M = \dfrac{1}{9}$ khi $x = - y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và ngược lại.

#451322 Tìm GTLN ,GLTNN của hàm số (Gấp)

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-09-2013 - 22:03 trong Các bài toán Lượng giác khác

Giải

Đặt $\cos{x} = t \, (-1 \leq t \leq 1)$, ta được:

$y = f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5$

Xét hàm số f(t) trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) \geq 0 \forall$ $t \in [-1; 1]$

Vậy, hàm đồng biến trên [-1; 1]. Khi đó: $f(-1) \leq f(t) \leq f(1)$

Vậy:

$Max_y = 9$ khi $t = 1 \Rightarrow x = k2\pi \, (k \in Z)$

$Min_y = -11$ khi $t = -1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi \, (k \in Z)$

#443053 $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-08-2013 - 15:39 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Giải

Ta có:

$P = \sin{A} + \sin{B} + \sqrt{6}\sin{C} = 2\sin{\dfrac{A + B}{2}}\cos{\dfrac{A - B}{2}} + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}}$

$P = 2\cos{\dfrac{C}{2}\cos{\dfrac{A - B}{2}}} + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}}$

Do $\cos{\dfrac{C}{2}} > 0 \Rightarrow P \leq 2\cos{\dfrac{C}{2}} + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}}$

Mặt khác, ta có:

$2\cos{\dfrac{C}{2}}\left ( 1 + \sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\right ) = \dfrac{2}{\sqrt{10}}.\sqrt{10}\cos{\dfrac{C}{2}}\left ( 1 + \sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}}\right )$

$\leq \dfrac{1}{\sqrt{10}} \left ( 10\cos^2{\dfrac{C}{2}} + 1 + 2\sqrt{6}\sin{\dfrac{C}{2}} + 6\sin^2{\dfrac{C}{2}}\right )$

$= \dfrac{1}{\sqrt{10}}\left [ - \left ( 2\sin{\dfrac{C}{2}} - \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \dfrac{50}{4} \right ]\leq \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$

Vậy: $\sin{A} + \sin{B} + \sqrt{6}\sin{C} \leq \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}A = B \\\sin{\dfrac{C}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}\\\cos{\dfrac{C}{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}\end{matrix}\right.$

(Sử dụng được BĐT Côsi do $0 < C < 180^o$ nên $\sin{\dfrac{C}{2}}, \cos{\dfrac{C}{2}} > 0$ )

#440764 Cho hàm số $y=\frac{x-4}{x-1}$ (C) . Viết...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 06-08-2013 - 12:38 trong Hàm số - Đạo hàm

Cho hàm số $y=\frac{x-4}{x-1}$ (C) . Viết phương trình tiếp tuyến tạo với d: y = -2x + 2012 góc 45o

Giải

Đặt $\Delta: y = kx + m$ là tiếp tuyến của ©; $A(x_o, y_o)$ là tọa độ tiếp điểm.

Khi đó: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_o - 4}{x_o - 1} = kx_o + m\\\dfrac{3}{(x_o - 1)^2} = k\end{matrix}\right. \Rightarrow k > 0$

Ta có: $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (k; -1); \overrightarrow{n_d} = (2; 1)$

Do d và $\Delta$ cắt nhau tạo thành góc 45 độ.

Suy ra: $|\cos{\left ( \overrightarrow{n_{\Delta}}; \overrightarrow{n_d}\right )}| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{|2k - 1|}{\sqrt{5(k^2 + 1)}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow |2k - 1| = \sqrt{\dfrac{5}{2}(k^2 + 1)}$

$\Leftrightarrow 3k^2 - 8k - 3 = 0 \Leftrightarrow k = 3$ hoặc $k = \dfrac{-1}{3}$

Do k > 0 nên k = 3. Khi đó: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_o - 4}{x_o - 1} = 3x_o + m\\\dfrac{3}{(x_o - 1)^2} = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{x_o - 4}{x_o - 1} = 3x_o + m\\(x_o - 1)^2 = 1\end{matrix}\right.$

Suy ra: $m = 4$ hoặc $m = -8$.

Vậy có hai phương trình thỏa mãn đề bài là: $y = 3x - 8$ và $y = 3x + 4$

#337928 Cho $a,b,c,d\ge 0, a+b+c+d=1$. CM $$\prod...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-07-2012 - 06:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài toán [3] [Phạm Văn Thuận]
Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thoả mãn $ac=bd$ và :
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=4$$
Tìm GTLN của :
$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{b}-\dfrac{abcd}{(ab+cd)^2}$$

Giải

:| Poker Face!

Do a, b, c, d là các số thực dương nên áp dụng BĐT Cauchy, ta luôn có:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}.\dfrac{d}{a}} = 4$

Do đó, từ giả thiết, suy ra: $\left\{\begin{array}{l}ac = bd\\\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{d}{a}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}ac = bd\\b^2 = ac = d^2\\c^2 = bd = a^2\end{array}\right. \Leftrightarrow a = b = c = d$

Khi đó:
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{b}-\dfrac{abcd}{(ab+cd)^2} = 1 + 1 + 1 + 1 - \dfrac{a^4}{4a^4} = \dfrac{15}{4}$

Đây là một giá trị cố định nên nó đồng thời là giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho.

#347304 GPT:$2sin^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+1=3(cosx+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-08-2012 - 21:08 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

Phương trình tương đương:
$3\sin^2{x} + \cos^2{x} + 2\sqrt{3}\sin{x}\cos{x} - 3(\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x})^2 - 3(\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x})(\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} = 0\\\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} = 3 \,\, (VN)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \tan{x} = \dfrac{-1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \dfrac{-\pi}{6} + k\pi \,\, (k \in Z)$

#329263 Giải hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l} \sqr...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 08:52 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x + y} = 2 - 2x - y\\\sqrt{x + 2} + \sqrt{2x - y + 2} = 2x + 1\end{array}\right.$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}2x + y \geq 0\\x \geq -2\\2x - y + 2 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x \leq y \leq 2x + 2\\x \geq -2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq \dfrac{-1}{2}\\-2x \leq y \leq 2x + 2\end{array}\right.$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2x + y + \sqrt{2x + y} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x + y} - 1)(\sqrt{2x + y} + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{2x + y} = 1\\\sqrt{2x + y} = -2\end{array}\right.$

Do $\sqrt{2x + y} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{2x + y} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 1$

$$\Leftrightarrow y = 1 - 2x$$
Khi đó, phương trình thứ 2 của hệ trở thành:
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{2x - (1 - 2x) + 2} = 2x + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 2} + \sqrt{4x + 1} = 2x + 1 \,\,\, (x \geq \dfrac{-1}{4})$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 2} - 2 + \sqrt{4x + 1} - 3 - 2x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4x - 8}{\sqrt{4x + 1} + 3} -2(x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x + 1} + 3} - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x + 1} + 3} = 2\end{array}\right.$

- Với x = 2, suy ra y = -3
Hệ có nghiệm $(x; y) = (2; -3)$
- Với $\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x + 1} + 3} = 2 $
Nhận thấy:
$VT \leq \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{11}{6} < 2 = VF$
Do đó PT nói trên vô nghiệm. Khi đó, hệ vô nghiệm.

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất; $(x; y) = (2; -3)$

#325497 Câu 7: Một cuộn dây được chia thành 4 đoạn. Biết đoạn thứ nhất dài bằng tổng...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-06-2012 - 16:59 trong Các dạng toán khác

Câu 7:
Một cuộn dây được chia thành 4 đoạn. Biết đoạn thứ nhất dài bằng$\frac{1}{2}$tổng độdài ba đoạn kia, đoạn thứ hai dài bằng$\frac{1}{3}$tổng độ dài ba đoạn kia, đoạn thứ badài bằng$\frac{1}{4}$tổng độ dài ba đoạn kia và đoạn thứ tư dài 19,5m. Hỏi cuộn dây trước khi chia dài bao nhiêu mét?

Giải

Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài 4 đoạn 1, 2, 3, 4 của cuộn dây.
Theo đề bài, ta có: $\left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}(b + c + d)\\b = \dfrac{1}{3}(a + c + d)\\c = \dfrac{1}{4}(a + b + d)\\d = 19,5\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2a = b + c + d \,\,\,\, (1)\\3b = a + c + d \,\,\,\, (2)\\ 4c = a + b + d \,\,\,\, (3)\\d = 19,5\end{array}\right.$
Lấy (1) - (2), ta được: $$2a - 3b = b - a \Leftrightarrow 3a = 4b \Leftrightarrow b = \dfrac{3a}{4}$$ (*)
Lấy (1) - (3), ta được: $$2a - 4c = c - a \Leftrightarrow 3a = 5c \Leftrightarrow c = \dfrac{3a}{5}$$ (*)(*)

Thế (*) và (*)(*) vào (1), ta có: $2a = \dfrac{3a}{4} + \dfrac{3a}{5} + 19,5 \Leftrightarrow a = 30$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b = \dfrac{3a}{4} = 22,5\\c = \dfrac{3a}{5} = 18\end{array}\right.$

Vậy. độ dài cuộn dây trước khi chia:
30 + 18 + 22,5 + 19,5 = 90 (m)

#318258 $A=\frac{x-y}{3x+2y}$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 21-05-2012 - 12:30 trong Đại số

Ta có:
$2x^2 - 6y^2 = xy$

$\Leftrightarrow (2x^2 - 4xy) + (3xy - 6y^2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2y)(2x + 3y) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{-3y}{2}\\x = 2y\end{array}\right.$

Do x, y là các số thực dương nên chúng cùng dấu, suy ra: x = 2y.

Khi đó:
$A = \dfrac{x - y}{3x + 2y} = \dfrac{2y - y}{3.2y + 2y} = \dfrac{1}{8}$

#431578 $cosx -1= \frac{cos2x}{1+tanx}+sin^{2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2013 - 14:45 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

ĐK: $\tan{x} \neq -1; \cos{x} \neq 0$

Phương trình ban đầu tương đương:

$\cos{x} - 1 = \dfrac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{1 + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}} + \sin^2{x} - \dfrac{\sin{2x}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos{x} - 1 = \left ( \cos{x} - \sin{x} \right ) \cos{x} + \sin^2{x} - \sin{x}\cos{x}$

$\Leftrightarrow \cos{x} - 1 = (\cos^2{x} + \sin^2{x}) - 2\sin{x} \cos{x}$

$\Leftrightarrow \cos{x} + \sin{2x} = 2$

Do $\cos{x} \leq 1; \sin{2x} \leq 1 \Rightarrow \cos{x} + \sin{2x} \leq 2$

Vì vậy, phương trình có nghiệm khi: $\cos{x} = \sin{2x} = 1$. Không có giá trị x nào thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

#431580 2sin2x – cos2x =7sinx + 2 cosx – 4

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2013 - 14:53 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

$4\sin{x}\cos{x} + 2\sin^2{x} - 1 - 7\sin{x} - 2\cos{x} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (4\sin{x}\cos{x} - 2\cos{x}) + (2\sin^2{x} - 7\sin{x} + 3) = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos{x}(2\sin{x} - 1) + (2\sin{x} - 1)(\sin{x} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(2\cos{x} + \sin{x} - 3) = 0$

Phương trình lượng giác cơ bản rồi nhỉ!

#438500 $8(2x+y)^2-10(4x^2-y^2)-3(2x-y)^2=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-07-2013 - 23:45 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

ĐKXĐ: $x \neq \dfrac{y}{2}$

Đặt $a = 2x + y; b = 2x - y \, (b \neq 0)$, ta được:
$\left\{\begin{matrix} 8a^2 - 10ab - 3b^2 = 0\\a - \dfrac{2}{b} = 2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2a - 3b)(4a + b) = 0\\a - \dfrac{2}{b} = 2 \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình đã được đơn giản hóa. Bạn thử làm tiếp nhé!

#437253 $\frac{sin^3x.sin3x+cos^3x.cox3x}{tan(x-\frac...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 22-07-2013 - 20:45 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

ĐK: $x \neq \dfrac{\pi}{6} + k\pi; x \neq \dfrac{-\pi}{3} + k\pi \, (k \in Z)$

Nhận thấy:

$\tan{\left ( x - \dfrac{\pi}{6}\right )}.\tan{\left ( x +\dfrac{\pi}{3}\right )}$

$= - \cot{\left ( x - \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2}\right )}.\tan{\left ( x +\dfrac{\pi}{3}\right )} = -1$

Vì vậy, phương trình ban đầu tương đương:

$\sin^3{x}\sin{3x} + \cos^3{x}\cos{3x} = \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(3\sin{x} - \sin{3x}) \sin{3x}}{4} + \dfrac{(\cos{3x} + 3\cos{x})\cos{3x}}{4} = \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos^2{3x} - \sin^2{3x}}{4} + \dfrac{3\cos{2x}}{4} = \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos{6x} + 3\cos{2x}}{4} = \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \cos^3{2x} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \cos{2x} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pm \arccos{\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}}}{2} + k2\pi\, (k \in Z)$

#434889 Bài tập tính giá trị của biểu thức đại số 9

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-07-2013 - 21:38 trong Đại số

Giải

Đáp án đúng rồi bạn ạ

Sơ lược cách giải:

Ta có:

$A = \sqrt[3]{\dfrac{x^3 - 3x + (x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4}}{2}} + \sqrt[3]{\dfrac{x^3 - 3x - (x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4}}{2}}$

$\Leftrightarrow A^3 = x^3 - 3x + 3A\sqrt{\dfrac{(x^3 - 3x)^2 - (x^2 - 1)^2(x^2 - 4)}{4}}$

Chú ý biến đổi: $(x^3 - 3x)^2 - (x^2 - 1)^2(x^2 - 4) = 4$

Khi đó:

$A^3 = x^3 - 3x + 3A \Leftrightarrow (A - x)(A^2 + Ax + x^2 - 3) = 0$

Do phương trình $A^2 + Ax + x^2 - 3 = 0$ vô nghiệm khi $x = \sqrt[3]{2013}$ nên suy ra A = x.

Vậy $A = \sqrt[3]{2013}$

#433731 $3sin^4x+2cos^23x+cos3x=3cos^4x-cosx+1$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-07-2013 - 12:01 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

$2\cos^2{3x} - 1 + \cos{3x} + 3(\sin^4{x} - \cos^4{x}) + \cos{x} = 0$

$\Leftrightarrow \cos{6x} + 3(\sin^2{x} - \cos^2{x}) + (\cos{3x} + \cos{x}) = 0$

$\Leftrightarrow 4\cos^3{2x} - 3\cos{2x} - 3\cos{2x} + 2\cos{2x}\cos{x} = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos{2x} \left ( 2\cos^2{2x} - 3 + \cos{x}\right ) = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos{2x} (\cos{4x} + \cos{x} - 2) = 0$

- Với $\cos{2x} = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \, (k \in Z)$

- Với $\cos{4x} + \cos{x} = 2$.

Do $\cos{4x}, \cos{x} \leq 1 \Rightarrow \cos{4x} + \cos{x} \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi $\cos{4x} = \cos{x} = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \, (k \in Z)$

#299419 Cho x,y,z>0 t/m:$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ CMR:$xy+yz+xz+9...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-02-2012 - 21:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z > 0 t/m: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$
CMR: $xy+yz+xz+9 \geq 4(x+y+z)$

Giải

Áp dụng BĐT Côsi (AM - GM) cho 4 số thực dương xy, yz, zx và 9, ta có:

$xy + yz + zx + 9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4\sqrt{3xyz} = 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)}$

(Chú ý giả thiết: $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$)

Lại có: $3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2$

(Bạn có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Do đó: $VT \geq 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)} \geq 4.|x + y + z| = 4(x + y + z) (x, y, z > 0)$

Vậy, BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi : x = y = z = 3

Trang 2 / 22

Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Theo nội dung

Xem thành viên

Đăng nhập