Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến có độ dài là m_a, m_b, m_c. Đặt Rm là bán kính là bán kín đường tròn ngoại tiếp có ba cạnh là m_a, m_b, m_c. CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}\leq 2R_{m}$

Cho tam giác ABC có các đường cao h_a, h_b, h_c và r là bán kính đường tròn nội tiếp. Tìm số thực dương k lớn nhất sao cho:

$$\frac{h_{a}+4h_{b}+9h_{c}}{r}>k$$.

Giải phương trình: $\sqrt{1-\sqrt{1-\sqrt{1-...-\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}}}=x$ (2022 dấu căn)

Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c. Tìm số thực dương k lớn nhất sao cho

$$\left ( \frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{a+c}+1 \right )\left ( \frac{4c}{a+b}+1 \right )>k\forall a,b,c$$

Giải bất phương trình: $(x+2)\sqrt{x+3}+(5x+4)\sqrt{x+8}<2x^2+21x+10$

Giải pt: $2x+3+(x+1)\sqrt{x^2+6}+(x+2)\sqrt{x^2+2x+9}=0$

Giải phương trình: $2x^3+x^2+10x+3=(3x+5)\sqrt{3x+x^3}$

Tìm điều kiện cần và đủ của các tham số a, b, c để hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix} ax^2+bx+c>0\\ bx^2+cx+a>0\\ cx^2+ax+b>0 \end{matrix}\right.$ có nghiệm.

Tìm giá trị của a để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

$$\left\{\begin{matrix} ax^2+x+1\leq 0\\ x^2+ax+1\leq 0\\ x^2+x+a\leq 0 \end{matrix}\right.$$

Trên đồ thị hàm số $y=\left\{\begin{matrix} x^5-x^2+3x+2 &;x\leq 3 \\ \sqrt{x^2+5x+1}+\sqrt{x-3} &;x> 3 \end{matrix}\right.$ có bao nhiêu điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức $x^3-y^3+3(x-3y^2+5y)+14=0$.

Trên đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{\frac{x^3+1}{2}}$ có bao nhiêu điểm M(x;y) thỏa mãn $x^5+x^2y^2(x-y)+xy=2y^5$

Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c\geq 0\forall x\in \mathbb{R}$ và b>c>a. Tìm GTLN của biểu thức:

$$F=\frac{b-c}{9a-2c}+\frac{c-a}{7a-3b+3c}$$

Cho hàm số đa thức f(x) thỏa mãn $f(2x-3)+f(x^2)=x^4+2x^2-16x+15$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=f(x^2-4x)$

Cho tam giác ABC có l_a, h_a là đường phân giác trong và đường cao kẻ từ A; r, R là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.

Tìm GTNN của $\frac{h_{a}}{l_{a}}-\sqrt{\frac{2r}{R}}$.

Cho hàm số y=f(x) khác hằng số thỏa mãn đồng thời $\left\{\begin{matrix} minf(x)=0; maxf(x)=2\forall x\in \mathbb{R}\\ f(x+1)+2f(1-x)=3f(x^{2}) \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của hàm số $g(x)=f^{2}(x^{2})-2f(x+1)+3$ trên $\mathbb{R}$

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $A=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-\sqrt{(x+3)(6-x)}$

Tìm m để miền nghiệm hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix} x\geq 0; y\geq 0\\ 2x+3y\leq 12\\ mx+y\geq 2 \end{matrix}\right.$ là một đa giác có diện tích bằng 8.

Cho tứ giác lồi ABCD có AB = 2; BC = 3 và tam giác ADC đều. Khi đường chéo BD có độ dài lớn nhất hãy tính chu vi tứ giác ABCD.

Cho hình thang cân ABCD với đáy lớn AB ngoại tiếp một đường tròn bán kính r và nội tiếp đường tròn bán kính R.
Biết rằng $\frac{R}{r}=\frac{2\sqrt{7}}{3}$. Tính số đo $\widehat{BAD}$.