Ta có : $y ' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$

 

$y' = 0 \Leftrightarrow  x = 0 \ hay \  x^2 = m$

 

Để hs có 3 cực trị thì y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi m > 0.

Chỗ này bạn nhầm chút xíu nè.

ta có: $y'=4x(x+m^{2})$

$y'=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ hay $x=-m^{2}$

Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $m< 0$

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: $A(0;1)$, $B(-\sqrt{-m};1-m^{2})$, $C(\sqrt{-m};1-m^{2})$

Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$. Tìm các giá trị cùa tham số m để $(C_{m})$ có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1.

Cho hàm số $y=(x-1)^{2}.(x-a)^{2}$ có đồ thị $(C_{a})$

a) Xác định a để hàm số $(C_{a})$ có điểm cực đại.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, đồ thị $(C_{a})$ luôn có trục đối xứng cùng phương với trục tung.

 

 

Giả sử phương trình: $x^{3}-p.x^{2}+q.x-p=0$ (với $p,q> 0$) có 3 nghiệm không nhỏ hơn 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $y=\frac{q+3}{p}$

Tìm 4 chữ số tận cùng bên phải chữ số $A$:
$A=25.5^{2012}$

Cho tứ diện $SABC$ có các góc phẳng ở đỉnh $S$ vuông.
1) Chứng minh rằng:
$\sqrt{3}S_{\Delta ABC}\geq S_{\Delta SBC}+S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SAC}$
2) Cho $SA=a$, $SB+SC=k$. Đặt $SB=x$. Tính thể tích tứ diện $SABC$ theo $a,k,x$. Xác định $SB,SC$ để $V_{SABC}$ lớn nhất.

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, mặt bên có góc đáy là $\alpha$. Chứng minh rằng diện tích của thiết diện qua một cạnh bên và đường cao của hình chóp là:
$\frac{a^{2}}{4.cos\alpha }\sqrt{sin(\alpha +30^{o}).sin(\alpha -30^{o})}$.

Hãy tính thể tích của khối hộp nếu biết độ dài cạnh bên bằng $a$, diện tích hai mặt chéo lần lượt là $S_{1},S_{2}$ và góc giữa hai mặt chéo bằng $\alpha$.

Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$, $\widehat{A'AB}=\widehat{BAD}=\widehat{A'AD}=\alpha$ $(0^{o}< \alpha < 90^{o})$. Hãy tính thể tích của khối hộp.

Mình không biết chèn hình, bạn tự vẽ nhe....
Kẻ $DH\perp MN$ tại $H$
Ta có: $(DMN)\perp (ABC)$
và $(DMN)\cap (ABC)=MN$
$\Rightarrow DH\perp (ABC)$
$\Rightarrow H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ (vì $ABCD$ là tứ diện đều)
Khi đó: $S_{\Delta AMN}=S_{\Delta AHM}+S_{\Delta AHN}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.AH.(x+y).\frac{1}{2}$ $=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.(x+y).\frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{3}}{12}.(x+y)$
$\Leftrightarrow x+y=3xy$

Tìm $k$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0.$

BÀI TOÁN: Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi: $a_{1}=\frac{2013}{2012}$, $a_{n+1}=\frac{a_{n}(a_{n}^{2}+12)}{3a_{n}^{2}+4}$ với $n=1,2,3,...$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

1) Tính diện tích mặt tròn xoay khi $y^{2}=2px$ $(0\leq x\leq a)$ quay quanh Ox.
2) Tính diện tích mặt tròn xoay khi $y^{2}=2px$ $(0\leq x\leq a)$ quay quanh Oy.

Chứng minh rằng: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2.4.6...2n}{3.5.7...(2n-1)}.\frac{1}{\sqrt{2n+1}}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$

$|f(x)|\leq 1$ khi $|x|\leq 1$. Gọi $M_{1},M_{2},M_{3}$ là các điểm thuộc © mà có hoành độ lần lượt là: $x_{1}=cos\frac{\pi }{9}$, $x_{2}=cos\frac{7\pi }{9}$, $x_{3}=cos\frac{13\pi }{9}$.
Chứng minh rằng các tiếp tuyến của © tại các điểm $M_{1},M_{2},M_{3}$ lần lượt cắt © tại các điểm $N_{1},N_{2},N_{3}$ thẳng hàng.

Giải bất phương trình sau:
$log_{2+\sqrt{5}}(x^{2}-2x-11)-log_{2\sqrt{2+\sqrt{5}}}(x^{2}-2x-12)> 0.$

Bất phương trình:
$log_{\frac{1}{m}}(\sqrt{x^{2}+m.x+5}+1).log_{5}(x^{2}+m.x+6)+log_{m}3\geq 0$ có nghiệm duy nhất.

BÀI TOÁN: Cho 2 điểm cố định $P_{1}$ và $P_{3}$. Điểm $P_{2}$ nằm trên đường thẳng đi qua $P_{3}$ và vuông góc với $P_{1}P_{3}$. Dãy điểm $P_{4},P_{5},P_{6}$,... được định nghĩa bằng quy nạp như sau: $P_{n+1}$ là chân đường vuông góc hạ từ $P_{n}$ xuống $P_{n-1}P_{n-2}$. Chứng minh rằng: dãy điểm này hội tụ đến 1 điểm $P$ (vị trí điểm này phụ thuộc vào $P_{2}$). Tìm quỹ tích điểm $P$ khi $P_{2}$ di động trên đường thẳng đi qua $P_{3}$ và vuông góc với $P_{1}P_{3}$.

BÀI TOÁN: Tìm tất cả các số thực $r\neq 1$ sao cho $r^{\frac{1}{r-1}}$ là số hữu tỉ.

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$2^{\left | x \right |}+\left | x \right |=\sqrt{1-x^{2}}+x^{2}+m.$

Theo định lý Rolle thì $f'(x)$ có $n$ nghiệm thì $f(x)$ có không quá $n+1$ nghiệm Tiếp theo chắc là bạn ấy nhẩm nghiệm ....$\heartsuit$

Thầy mình bảo không được dùng cách đó.

Xin mạn phép bạn.Mình chuyển phương trình về dạng sau:
3.4^x /(2+4^x)-x-1=0
xét f(x)=VT
Tính đạo hàm và giải ngiệm của đạo hàm.Ta đứa về một phương trình bậc 2 đối với 4^x.Bạn có thể tìm cụ thể x hoăc lý luận để dưa ra f'(x) có 2 nghiệm.Từ đó ta lập bảng biến thiên và thấy rằng phương trình đã cho có tối đa 3 nghiệm.Cụ thể là x=0; x=1/2 và x=1.Chỉ vậy thôi

từ đâu mà bạn có lý thuyết này

Giải phương trình: $(1+x).(2+4^{x})=3.4^{x}.$

BÀI TOÁN: Cho $n\in \mathbb{N}$. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện:
$C_{n}^{0}f(x)+C_{n}^{1}f(x^{2})+...+C_{n}^{n}f(x^{2^{n}})=0$, với mọi $x$.

Bài này là đề VMO năm nào thì phải Mình tìm được CTTQ của $(u_n)$ thôi

Để mình làm lại cho hoàn chỉnh:
Đặt $v_{n}=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$

Khi đó, đẳng thức $u_{n}=\frac{6u_{n-1}^{2}.u_{n-3}-8u_{n-1}.u_{n-2}^{2}}{u_{n-2}.u_{n-3}}$ được viết đơn giản thành:

$v_{n}=6v_{n-1}-8v_{n-2}$
Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được $v_{n}$ có dạng $v_{n}=A2^{n}+B4^{n}$

Nhưng ta có: $v_{2}=\frac{u_{2}}{u_{1}}=2$, $v_{3}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=12$

nên ta được $v_{n+1}=4^{n}-2^{n}$
$\Rightarrow u_{n}=(4^{n-1}-2^{n-1}).(4^{n-2}-2^{n-2})...(4-2)$

Bây giờ, với mọi số $p$ nguyên tố, ta có $4^{p-1}\equiv 2^{p-1}$ (mod $p$), do đó $p$ chia hết $4^{p-1}-2^{p-1}$, và $p$ chia hết $4^{s}-2^{s}$, với $s$ là bội số của $p-1$.
Nếu $p^{r}$ chia hết $n$, thì tồn tại ít nhất $r$ bội số của $p-1$ nhỏ hơn $n$, do đó $p^{r}$ chia hết $u_{n}$. Từ đó $\Rightarrow n$ chia hết $u_{n}$.