Khi a=b=c= -1 thì bđt Sai
nguyencuong123 nội dung
Có 516 mục bởi nguyencuong123 (Tìm giới hạn từ 13-05-2020)
#441070 Sử dụng phương pháp lượng giác
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 17:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
#441034 CM: $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 15:29 trong Hình học
Bài 3 đơn giản nên mình nuốt luôn: Dựng $OI\perp d$ nên dễ dàng chứng minh được AB+AC=2AI $\leq 2AO$.Kết thúc chứng minh
#441028 Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thoả mãn đẳng thức $x^2=y^2+...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 15:02 trong Số học
Bài 3 làm nốt: $PT\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+1-y^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+(4-y^{2})=3\Leftrightarrow (x^{2}+2-y)(2+y)=3$.đến đây thì chỉ còn việc xét ứơc
#441018 CMR: $2\left ( a+b+c \right )-abc\leqslant 10$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 14:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tham khảo lời giải tại Đây
Sao thấy dấu "=" không trùng với cách C-S nhỉ?
Hình như không tương tự đâu.
#441010 a,b,c,d dương, abcd=1 CMR: $\sum \frac{1}{a+b+...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 13:51 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Mình có cách khác chẳng biết có đúng không nữa?
Áp dụng BDT Shwarz ta có:
$$\sum \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \geq \sum\frac{(1+1+1)^2}{a+b+c+3}=\sum \frac{9}{a+b+c+9}$$
Ta cần chứng minh:
$$\sum \frac{9}{a+b+c+9} \geq \sum \frac{3}{a+b+c+1}$$Ta có:
$\frac{9}{a+b+c+9} \geq \frac{3}{a+b+c+1}$
$\Leftrightarrow$ $a+b+c \geq 3$
Ta có 4 BDT tương tự nên cộng vào ta có:
$3(a+b+c+d) \geq 12$
$\Leftrightarrow$ $a+b+c+d \geq 4$ (điều này hiển nhiên đúng vì $a+b+c+d \geq 4\sqrt[4]{abcd}=4$)
...
Trình bãy rõ đi.Cái tổng hoán vị đó mấy biến đó bạn /?
#441009 Tìm x,n nguyên dương sao cho $x^3+2x+1=2^n$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 13:48 trong Số học
Vì $x,n$ nguyên dương nên từ (*) $\Rightarrow x$ lẻ và $n\ge2$
(*) $\Leftrightarrow (x+1)(x^2-x+3)=2.(2^{n-1}+1)$ (**)
Vì x lẻ nên $(x^2-x+3)$ cũng lẻ và $(x+1)$ chẵn. Mà $(2^{n-1}+1)$ lẻ do đó từ (**) suy ra $x+1=2$ và ta được $x=1$.
Thay $x=1$ vào (*) suy ra $n=2$.
Vậy ta có (x,n)=(1,2) là nghiệm nguyên duy nhất của (*).
Chưa hẳn vậy.nếu x+1 =4hoặc 6,8 vẫn đảm bảo là số chẵn mà
#440976 Chứng minh $\sum\frac{\sqrt{a+b}}...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 10:08 trong Đại số
Nếu vậy phải giải làm sao ạ?
Em cảm ơn.
để anh trình bày, câu này hơi trâu tí em cố gắng hiểu nha. Kí hiệu $\sum$ là tổng hoán vị nhé:
Ta có: $a+b\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2}$ (bđt C-S) nên$VT=\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}\sqrt{c}}=\sum \left [\frac{ \sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}) \right ]\geq \sum \left [ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}.\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \right ]=\sum \left [ \frac{2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \right ]\geq \sum \frac{2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{2(b+c)}}=2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$
#440971 Chứng minh rằng F=a+b+c+d là hợp số.
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 09:59 trong Đại số
Vế cuối của dòng đỏ đó sao anh lại suy ra được!?
Thì 2 số có tổng chia hết cho 2 thì cả 2 đều lẻ hoặc đều chẵn mà tích 2 số đó chia hết cho 2 nên cả 2 số phải đều chẵn nên a+b+c+d là số chắn
#440965 Chứng minh rằng F=a+b+c+d là hợp số.
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 09:51 trong Đại số
Bài này anh làm nốt:
Ta có:$a^{2}-b^{2}=c^{2}-d^{2}\Leftrightarrow a^{2}+d^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+d)^{2}+2ad=(b+c^{2})+2bc\Leftrightarrow (a+d)^{2}-(b+c)^{2}=2(bc-ad)\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+d-b-c)=2(bc-ad)$ nên$(a+b+c+d)(a+d-b-c)\vdots 2$ mà $(a+b+c+d)+(a+d-b-c)\vdots 2$ nê $(a+b+c+d)\vdots 2$ nên a+b+c+d là hợp số
#440962 Tìm đa thức bậc 2 F(x) sao cho: $F(x) - F(x-1)=x.$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 09:45 trong Đại số
Anh xin làm:
đặt $f_{(x)}=ax^{2}+bx+c$. Biến đổi tương đương ta sẽ có: 2ax-(a-b)=x. vì biến đổi trên mới mọi x thay đổi nên a=b=$\frac{1}{2}$.Từ điều này ta tìm được đa thức đó.
#440958 $(BH.CH)/(AB.AC)+(CH.AH)/(BC.BA)+(AH.BH)/(AC.BC)=1$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 09:36 trong Hình học
Lớp 7 thì chưa nhưng lớp 8 rồi,cậu cứ giảng đi,tớ học được kha khá lớp 8 rồi,nhưng chỉ học lướt thôi cậu giảng để tớ xem tớ có hiểu không nhé
Cái này 1 cách liên quan đến đường tròn là áp dụng công thức $S=\frac{a.b.c}{4R}$.
Cách thứ 2 sử dụng công thức lượng giác thì cả hai đều chưa học
#440951 Chứng minh $\sum\frac{\sqrt{a+b}}...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 09:11 trong Đại số
Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho a; b; c>0.Chứng minh: $\frac{\sqrt{a+b}}{c}+\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{2}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})$
Mình đang học lớp 8.
Thanks.
P/s:hình như đề sai vì mình thấy hai vế không đồng bậc. Minh nghĩ vế trái nên là:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}$
Không biết có đúng ko. Mong các bạn thẩm định.
Thanks a lot.
Hình như VT như em nói.
#440947 Bài toán bất đẳng thức hóc búa
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 09:05 trong Đại số
Bài này mình xin làm, chắc kiến thức này lớp 8 vẫn hiểu:
Bđt $\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+\frac{xyz+1}{yz+y}+\frac{xyz+1}{zx+z}\geq 3\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+1+\frac{xyz+1}{yz+y}+1+\frac{xyz+1}{zx+z}+1\geq 6\Leftrightarrow \frac{xyz+1+xy+x}{x(y+1)}+\frac{xyz+1+yz+y}{y(z+1)}+\frac{xyz+1+xz+z}{z(x+1)}\geq 6\Leftrightarrow \frac{xy(z+1)+(x+1)}{x(y+1)}+\frac{yz(x+1)+(y+1)}{y(z+1)}+\frac{zx(y+1)+(z+1)}{zx(x+1)}=\frac{y(z+1)}{y+1}+\frac{x+1}{x(y+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}\geq 6$ (Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số).Vấn đề đã đc giải quyết
#440939 $(BH.CH)/(AB.AC)+(CH.AH)/(BC.BA)+(AH.BH)/(AC.BC)=1$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 07-08-2013 - 08:43 trong Hình học
Cô giáo mình bảo nếu là cuối lớp 8 thì sẽ làm dễ hơn nhưng mình chưa học đến lớp 8 nên các bạn giúp mình cách nào dễ hiểu nhất nhé,cảm ơn các bạn nhiều.
Đề bài:Cho tam giác ABC trực tâm H.Cmr:(BH.CH)/(AB.AC)+(CH.AH)/(BC.BA)+(AH.BH)/(AC.BC)=1
Bài 2:chi tam giác abc,trung tuyến BD,các đường trung tuyến AM,Bn của tam giác ABD cắt nhau ở I.Cm:DI=1/3 BC
Cảm ơn các bạn,mình mới tham gia nên chưa biết gõ Latex
Lớp 7 học tam giác đồng dạng chưa em nhỉ.Nếu học rồi mới làm được không sẽ khó hiểu nếu chưa từng đọc
#440895 Viết 3102 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích các số hạng lớn nhất
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 21:57 trong Số học
Theo mình cần có dữ kiện là viết thành tổng của bao nhiêu số nguyên.vì đây là cơ sở để áp dụng bđt AM-GM tìm MAx của tích khi tổng không đổi
#440890 tìm nghiệm nguyên của phương trình
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 21:47 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài này dễ thôi mà: $PT\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}+4y^{2}+4y=13\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(2y+1)^{2}=14$. đến đây thì dễ rồi mà
#440883 Chứng minh rằng $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 21:29 trong Số học
Hình như ông lầm rồi Cường, chắc nhầm dấu phần nguyên với dấu giá trị tuyệt đối rồi.
Bổ đề : Ta luôn có $[2x]$ bằng $2[x]$ hoặc $2[x] + 1$
Chứng minh :
- Nếu $\left \{ x \right \}<0,5$
Thì $2x-2[x]=2\left ( [x] +\left \{ x \right \}\right )-2[x]=2\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x<2[x]+1$
Mặt khác hiển nhiên $2[x]\leq 2x$
Tức là $2[x]\leq 2x<2[x]+1\Rightarrow [2x]=2[x]$
- Nếu $\left \{x \right \}>0,5$
Thì $2x-2[x]=2\left \{ x \right \}>1\Rightarrow 2[x]+1<2x$
Mặt khác luôn có $\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x-2[x]=2\left \{ x \right \}<2\Rightarrow 2x<2[x]+2$
Tức là $2[x]+1<2x<2[x]+2$
Suy ra $[2x]=2[x]+1$
Trở lại bài toán :
- Trường hợp 1 : $[2a] = 2[a]$ và $[2b] = 2[b]$ :
Điều cần chứng minh viết thành :
$[a]+[b]+[a+b]\leq 2[a]+2[b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]$
Thật vậy, $0\leq \left \{ a \right \},\left \{ b \right \}<1\Rightarrow 0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$
- Nếu $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<1$
Thì $[x+y] = [x]+[y](=x+y)$
- Nếu $1\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$ thì $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}-1<1\Rightarrow 0\leq (a+b)-([a]+[b]+1)<1\Rightarrow [a]+[b]+1\leq a+b\leq [a]+[b]+2\Rightarrow [a+b]=[a]+[b]+1$
Tóm lại là ta luôn có $[a]+[b]\leq [a+b]$
Trường hợp này được chứng minh
- Trường hợp 2 : $[2a]=2[a];[2b]=2[b]+1$
Điều cần chứng minh viết thành : $2[a]+2[b]+1\geq [a]+[b]+[a+b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]+1$.
Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$
- Trường hợp 3 :$[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]$
Tương tự trường hợp 2
- Trường hợp 4 : $[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]+1$
Điều cần chứng minh viết thành : $[a+b]\leq [a]+[b]+2$
Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$
Ta có đpcm.
Nản hầy.Phần nguyên này thì không quen.
#440879 Tìm GTNN của biểu thức $y=\sqrt{-x^2+3x+10}+\sqrt...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 21:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này 1 cách là dùng đạo hàm nhưng có lẽ bạn chưa học nên mình không sử dụng
Cách thứ 2 hoàn toàn tương tự đây
#440871 Đề thi chọn HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2010-2011
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 20:55 trong Tài liệu - Đề thi
Câu bđt ở đây
#440870 Cho a,b tự nhiên sao cho $ab=2012^{2013}$ hỏi a + b có t...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 20:51 trong Số học
Nếu a hoặc b có 1 sô bằng 1 thì $a+b=2012^{2013}+1$ đâu có chia hết hết cho 2012
Nếu $a,b\neq 1\Rightarrow a+b\vdots 2012$
đề bài hỏi là a+b có thể chia hết cho 2012 mà.mình trả lời là có thể thôi
#440866 Cho a,b tự nhiên sao cho $ab=2012^{2013}$ hỏi a + b có t...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 20:35 trong Số học
Sao câu hỏi hơi vô lý vì nếu $a=2012^{2012}, b=2012$ thì a+b rõ ràng chieu hết cho 2012 mà
#440864 Chứng minh rằng $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 20:30 trong Số học
Bài này mình xin làm: Ta có: Xét $a,b\geq 0$ và $a,b\leq 0$ thì ta dễ dàng mở ngoặc và dấu bằng xảy ra
Xét $a>0>b$ thì bđt trở thành $2a-2b\geq a-b+\begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}\Leftrightarrow a-3b\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}$. Xét $\left | a \right |\geq \left | b \right |\Rightarrow a+b\geq 0\rightarrow \left | a+b \right |=a+b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq a+b\Leftrightarrow -4b\geq 0$ luôn đúng vì b<0.Xét $\left | a \right |<\left | b \right |\Rightarrow \left | a+b \right |=-a-b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq -a-b\Leftrightarrow 2a-2b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$ luôn đúng theo giả sử trên.Vậy bđt hoàn tất chứng minh
#440856 $\sum \frac{1}{1+a+a^2+a^3}\geqslant...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 20:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )
Thì thế vần đảm bảo được abcd=1 thôi.đây là cách biến rồi thường được sử dụng khi cho tích =1
#440800 $8x^{2}+8x+1= \sqrt{x+5}$
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 15:15 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài này mình xin làm:
ĐKXĐ: $x\geq -5$
Ta có: $PT\Leftrightarrow 2(2x+1)^{2}-1=\sqrt{x+5}$. đặt $2y+1=\sqrt{x+5}$.Ta có hệ PT: $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+8x+1=2y+1 & \\ 8y^{2}+8y+1=2x+1& \end{matrix}\right.$. đây là hệ pt đối xứng và cách giải nó cơ bản rồi
#440797 $\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\d...
Đã gửi bởi nguyencuong123 on 06-08-2013 - 15:09 trong Số học
Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.
Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:
$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$
$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$
$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$
$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$
Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.
Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$
Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài
Nếu thế trong trường hợp x và y khác nhau thì sao nhỉ
- Diễn đàn Toán học
- → nguyencuong123 nội dung