CMR $1+2^{n}+4^{n}$ là số nguyên tố khi và chỉ khi n=$3^{k}$( Trong đó n$\epsilon N*$, $k\epsilon N$

Từ đẳng thức đã cho suy ra
$(a-b)(22a+22b+1)=b^{2}$
Chứng minh $(a-b ; 22a+22b+1)=1$, ta có $a-b$ và $22a+22b+1$ là số chính phương
Tương tự với $a-b$ và $23a+23b+1$

Đúng là phải CM như vậy nhưng bạn thử trình bày cho mình xem được không

$2z^{2}$thì đơn giản quá... $z^{2}$ mới khó chứ... không giống bài em học đâu

Cho a,b là số tự nhiên #0 thỏa mãn $22a^{2}+a=23b^{2}+b$
CMR: a-b, 22a+22b+1, 23a+23b+1 là số chính phương

Cho $a\geq 3, ab\geq 6$.
Tìm Min P= $a^{2}+b^{2}$

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}+t^{2}=21 & \\ &x^{2}+3y^{2}+4z^{2} =101 & \end{matrix}\right.$
Tìm min Q= $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$ biết x,y,z,t là các số nguyên không âm

Cho a,b,c là 3 số nguyên dương nguyên tó cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$
CM tổng a+b là số chính phương

Chuyển vế rồi nhân liên hợp ra ngay mà

$(x^2+4y^2+28)^2=17(x^4+14x^2+49+y^4)=(4x^2+y^2+28)^2+(x^2+7-4y^2)^2\Leftrightarrow 3(y-x)(y+x)(5x^2+5y^2+56)=(x^2+7-4y^2)^2$
ta có $(x^2+7-4y^2)^2$ là số chính phương mà $(x^2+7-4y^2)^2\vdots 3$ nên $(x^2+7-4y^2)^2\vdots 9$$\Rightarrow (y-x)(y+x)(5x^2+5y^2+56)\vdots 3$ (1)
vì $(x^2+7-4y^2)^2\vdots 9$ nên $x\vdots 3$, $y^2:3$ dư 1
nên $(y-x)(y+x)(5x^2+5y^2+56)$ không chia hết cho 3 trái với (1)
vậy phương trình vô nghiệm

Mình nhầm đề bài bạn ạ. bạn xem lại hộ mình nhé

dễ dàng chứng minh được $y-x^2\geqslant 0\Leftrightarrow y^2\geqslant x^4$
vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=0

Không đủ khả năng để kết luận x=y=0... Bạn xem lại đi

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
$(x^{2}+4y^{2}+28)^{2}=17(x^{4}+y^{4}+14y^{2}+49)$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^{4}=y^{2}(y-x^{2})$

Cho em thử ! Thử thôi chứ em chưa học ! Cảm ơn !
$2^{3a}+2^{3b}+2^{3c}\geq 2^{a}+2^{b}+2^{c}$
$\Leftrightarrow 3a+3b+3c\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow 3(a+b+c)\geq a+b+c$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

Không thể sử dụng được như vậy em ạ vì a+b+c=0.. Nếu có số âm thì thế nào

Có mà

đúng nhưng mà nên làm ngắn gọn hơn để tìm b

Đề bài $\bar{ab}$là số nguyên tố thid tìm đc b và b chia hết cho 3 nên b = 3,6,9 mà b lẻ nên b=3,9

Không đủ điều kiện để tìm được b đâu

Sai rui phải sửa lại
$\bar{ab}$ là số nguyên tố nên b lẻ mà b²$\vdots$9nên b = 3; 9 và c = 1;9 . Thử tìm a,d

Không chặt chẽ em ạ. em thử lại xem

Nhân 2 vế của pt (1) với 2 rồi trừ đi (2)... Sau đó GPT bình thường. Rất dễ

Cho phương trình $x^{2}+ax+(b+1)=0$ có 2 nghiệm nguyên dương.
Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}$ là hợp số

Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0
Chứng minh rằng : $8^{a}+8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+2^{b}+2^{c}$

Ta có c là số nguyên tố $\Rightarrow$ c$\in${1;4;9}
Thử chọn.

-----------------------------
P/s: Em đoán chắc hơi dài

Tại sao c là số nguyên tố hả em???

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}-3y=9 & \\ &y^{2}-4x=11 & \end{matrix}\right.$

Tìm số tự nhiên có 2 chữ số ab thỏa mãn $\frac{ab}{\left | a-b \right |}$ là 1 số nguyên tố

Tìm số nguyên tố có 4 chữ số abcd biết ab,cd là 2 số nguyên tố thỏa mãn $b^{2}=9c$

Giả sử (a;b) là toan độ thỏa mãn ngiệm nguyên 2 phương trình đã cho.
Ta có: $b^{2}-3b\sqrt{a}+2a=0$
$\Leftrightarrow b(b-\sqrt{a})-2\sqrt{a}(b-\sqrt{a})=0$
$\Leftrightarrow (b-2\sqrt{a})(b-\sqrt{a})=0$
$\Leftrightarrow b=2\sqrt{a}$ hoặc $\Leftrightarrow b=\sqrt{a}$
Thay vào thử y=x+1 thấy chỉ có a=1,b=2 thỏa mãn
Vậy tập hợp phải tìm là (x,y)=(2;1)

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x(x+y+z)=3xz, y+z=1
Tìm Max: P= $(x+y)^{3}+(x+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)$