a) $\exists x_1,x_2 \in X: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1 = x_2$.

b) $\exists y_1,y_2 \in Y: g(y_1)=g(y_2) \Rightarrow \exists x_1,x_2\in X: f(x_1)=y_1 \wedge f(x_2)=y_2 \Rightarrow h(x_1)=h(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \Rightarrow y_1=y_2$.

c) $\forall \ y \in Y \Rightarrow g(y) \in Z \Rightarrow \exists x \in X: h(x) = g(y) \Rightarrow g(f(x))=g(y) \Rightarrow f(x)=y$.

Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.

Anh tự nhiên thấy dịch là “bó gai” rất hợp (lúc này “perversity” sẽ dịch là “gai”), nhưng không biết mọi người nghĩ sao.
Một câu hỏi toán học: anh đoán monoidal structure của constructible derived category phải cảm sinh một monoidal structure trên phạm trù các bó perverse (cơ chế của cái cảm sinh này có trong Higher Algebra của Lurie, mình có thể trình bày kỹ hơn trong câu trả lời khác), nhưng mà dường như cấu trúc này không có ích lợi gì? Không biết ấn tượng này có đúng không.

Ban đầu lúc nghĩ ra đối đồng điều giao thì MacPherson và Goresky muốn đặt nó là "obstinate" do nảy sinh một sự cố là một số đối chu trình cứ nhất quyết không chịu giao hoành nhau. Nhưng từ obstinate không hợp lý theo ngôn ngữ của họ, nên họ để tạm là perverse rồi định đổi tên sau, cơ mà chưa kịp đổi tên thì đã nổi tiếng sau bài báo của Bernstein, Beilinson, Deligne.

Theo em biết thì không có cái monoidal structure nào được cảm sinh cả, bó perverse chỉ ổn định dưới tác động của đối ngẫu Verdier thôi.

Một bó bướng bỉnh... là gì?

 

Bởi Mark Andrea de Cataldo và Luca Migliorini

 

Các đa tạp được định nghĩa bằng cách dán các tập con mở của không gian Euclide. Các dạng vi phân, các trường vector, vân vân, được định nghĩa một cách địa phương và sau đó được dán để sinh ra một đối tượng toàn cục. Khái niệm bó là hiện thân của ý tưởng dán. Các bó được sinh ra theo nhiều cách: các bó của các dạng vi phân, của các trường vector, của các toán tử vi phân, các bó hằng và hằng địa phương, vân vân. Một bó hằng địa phương (một hệ địa phương) trên một không gian $X$ được xác định bởi đơn đạo của nó, i.e., bởi một biểu diễn của nhóm cơ bản $\pi_1(X,x)$ trong nhóm các tự đẳng cấu của thớ tại $x \in X$: bó của các định hướng trên dải Möbius gán $-\operatorname{Id}$ tới các phần tử sinh của nhóm cơ bản $\mathbb{Z}$. Một bó, hoặc thâm chí một cấu xạ giữa các bó, có thể được dán lại từ dữ liệu địa phương của nó: đạo hàm ngoài có thể xem như một cấu xạ giữa các bó của các dạng vi phân; việc dán là khả thi bởi vì đạo hàm ngoài độc lập với việc chọn các toạ độ địa phương.

Lý thuyết bó được hoàn thiện hơn bằng các xét các phức của các bó. Một phức của các bó $K$ là một họ các bó $\left \{K^i \right \}_{i \in \mathbb{Z}}$ và các cấu xạ $d^i: K^i \longrightarrow K^{i+1}$ thoả mãn $d^2 = 0$. Bó đối đồng điều thứ $i$ $\mathcal{H}^i(K)$ là $\operatorname{Ker} d^i/ \operatorname{Im}  d^{i+1}$. (Bó hoá của) Phức de Rham $\mathcal{E}$ là phức với các thành phần là các bó $\mathcal{E}^i$ của các $i$-dạng vi phân và các vi phân $d^i: \mathcal{E}^i \longrightarrow \mathcal{E}^{i+1}$ được cho bởi đaọ hàm ngoài của các dạng vi phân. Bằng bổ đề Poincaré, các bó đối đồng điều đều bằng không, ngoại trừ $\mathcal{H}^0 \simeq \mathbb{C}$, bó hằng.

Định lý de Rham, phát biểu rằng đối đồng điều của một bó hằng bằng với các dạng đóng modulo các dạng khớp, dẫn tới việc rằng $\mathbb{C}$ và $\mathcal{E}$ là không thể phân biệt một cách đối đồng điều với nhau, thậm chí tại mức địa phương. Nhu cầu đồng nhất hai phức chứa thông tin đối đồng điều giống nhau thông qua một đẳng cấu dẫn tới khái niệm của phạm trù dẫn xuất: các vật là các phức và các mũi tên được thiết kế để đạt được các sự đồng nhất như mong muốn. Phép nhúng các phức $\mathbb{C} \subseteq \mathcal{E}$ được thăng hạng theo sắc lệnh lên một đẳng cấu trong phạm trù dẫn xuất bởi vì nó cảm sinh một đẳng cấu ở mức của các bó đối đồng điều.

Trong khi phạm trù dẫn xuất đưa vào một lớp dày sự trừu tượng, nó mở rộng phạm vi và tính linh hoạt của lý thuyết. Ta định nghĩa các nhóm đối đồng điều của một phức và thác triển các toán tử thông thường của tô-pô đại số lên các phức của các bó: các kéo lùi, các đẩy xuôi, các tích cup và cap, vân vân. Cũng có một phiên bản tổng quát cho đối ngẫu của các phức, tổng quát hoá đối ngẫu Poincaré cổ điển.

Các bó bướng bỉnh tồn tại trên các không gian có kì dị: các không gian giải tích, các đa tạp đại số, các không gian PL, các giả-đa tạp, vân vân. Để dễ dàng trình bày, chúng ta hạn chế xuống các bó của các không gian vector trên các đa tạp đại số phức và xuống các bó bướng bỉnh liên quan đến cái được gọi là tính bướng trung tâm (tạm dịch từ middle perversity). Để tránh đụng đến các nghịch lý như các bó được định giá trên tập Cantor, chúng ta áp đặt thêm một điều kiện kĩ thuật được gọi là tính khả dựng (tạm dịch từ constructibility). Nhắc lại rằng phạm trù $D_X$ của các phức khả dựng bị chặn của các bó trên $X$ nằm trong phạm trù dẫn xuất và ổn định dưới nhiều toán tử tô-pô vừa nhắc tới ở trên. Nếu $K$ nằm trong $D_X$, chỉ một số hữu hạn các bó đối đồng điều của nó khác không và, với mọi $i$, tập hợp $\mathrm{supp} \ \mathcal{H}^i(K)$, bao đóng của tập các điểm mà tại đó thớ là khác không, là một đa tạp đại số con.

Một bó bướng bỉnh trên $X$ là một phức khả dựng bị chặn $P \in D_X$ sao cho điều kiện sau thoả mãn với $K = P$ và đối ngẫu của nó $P^{\vee}$:
\begin{equation} \dim_{\mathbb{C}} \mathrm{supp} \ \mathcal{H}^{-i}(K) \leq i, \ \ \ \forall \ i \in \mathbb{Z}.\end{equation} Một cấu xạ giữa các bó bướng bỉnh là một mũi tên trong $D_X$.

Thuật ngữ "bó" xuất phát từ sự thật rằng, cũng giống như trong trường hợp các bó thông thường, (các cấu xạ giữa) các bó bước bỉnh có thể được dán; không giống như "bướng bỉnh", xem bên dưới. Lý thuyết của các bó bướng bỉnh có nguồn gốc trong hai khái niệm là đối đồng điều giao và $\mathcal{D}$-module. Như chúng ta thấy bên dưới, các bó bướng bỉnh và các $\mathcal{D}$-module được kết nối bởi tương ứng Riemann-Hilbert.

Giờ là thời điểm cho các ví dụ. Nếu $X$ không có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$, i.e., bó hằng tại bậc $-\dim_{\mathbb{C}}X$, là tự-đối ngẫu và bướng bỉnh. Nếu $Y \subseteq X$ là một đa tạp con đóng không kì dị, thì $\mathbb{C}_Y[\dim Y]$, xem như một phức trên $X$, là một bó bướng bỉnh trên $X$. Nếu $X$ có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$ thường không là một bó bướng bỉnh. Mặt khác, phức đối đồng điều giao (xem bên dưới) là một bó bướng bỉnh, bất kể $X$ có kì dị hay không. Mở rộng của hai bó bướng bỉnh là một bó bướng bỉnh. Ví dụ sau có thể đóng vai trò như một trường hợp thử cho những định nghĩa đầu tiên trong lý thuyết của các $\mathcal{D}$-module. Lấy $X = \mathbb{C}$ là đường thẳng phức với gốc $\mathfrak{o} \in X$, gọi $z$ là toạ độ chỉnh hình chuẩn, gọi $\mathcal{O}_X$ là bó các hàm chỉnh hình trên $X$, gọi $a$ là một số phức, và gọi $D$ là toán tử vi phân $D:f \longmapsto zf - af'$. Phức $P_a$
\begin{equation} \label{eq:2}
    0 \longrightarrow P^{-1}_a \coloneqq \mathcal{O}_X \overset{D}{\longrightarrow} P_a^0 \coloneqq \mathcal{O}_X \longrightarrow 0
\end{equation}
là bướng bỉnh. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a) = \mathbb{C}_X$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = \mathbb{C}_0$. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{<0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của bó $\mathbb{C}_{X \setminus \mathfrak{o}}$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = 0$. Nếu $a \notin \mathbb{Z}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của hệ địa phương trên $X\setminus \mathfrak{o}$ được gán với các nhánh của hàm đa trị $z^a$ và $\mathcal{H}^0(P_a)=0$. Trong mỗi trường hợp, đơn đạo tương ứng gửi phần tử sinh theo hướng dương của $\pi_1(X \setminus \mathfrak{o},1)$ tới $e^{2\pi i a}$. Đối ngẫu của $P_a$ là $P_{-a}$ (điều này tương thích tốt với các khái niệm về liên hợp của  toán tử vi phân và đối ngẫu của các $\mathcal{D}$-module). Mỗi $P_a$ là mở rộng của bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^0(P_a)[0]$ bởi bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^{-1}(P_a)[1]$. Mở rộng là tầm thường (tổng trực tiếp) khi và chỉ khi $a \notin \mathbb{Z}$.

Một hệ địa phương trên một đa tạp không kì dị có thể biến thành một bó bướng bỉnh bằng cách xem nó như một phức với một thành phần duy nhất tại bậc hợp lý. Mặt khác, một bó bướng bỉnh hạn chế xuống một hệ địa phương trên một đa tạp con mở trù mật. Chúng ta muốn hiểu rõ khẩu hiệu sau: các bó bướng bỉnh là phiên bản kì dị của các hệ địa phương. Để làm vậy, chúng ta bàn tới hai ý tưởng tưởng phổ biến dẫn đến sự khai sinh của các bó bướng bỉnh vào khoảng ba mươi năm trước:tương ứng Riemann-Hilbert suy rộng (RH) và đối đồng điều giao (IH).

 

(RH) Vấn đề thứ 21 của Hilbert liên quan đến những phương trình vi phân kiểu-Fuchs trên một diện Riemann thủng $\Sigma$. Khi ta chạy quanh các vết thủng, các nghiệm bị biến đổi: bó của các nghiệm là một hệ địa phương trên $\Sigma$.

 

Vấn đề thứ 21 hỏi liệu rằng có phải mọi hệ địa phương đều được sinh ra theo cách này (nó thực sự sinh ra theo cách này). Bó hóa của các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính trên một đa tạp dẫn đến khai niệm của $\mathcal{D}$-module. Một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic trên một đa tạp phức $M$ là một mở rộng của các phương trình kiểu Fuchs trên $\Sigma$. Bó của các nghiệm bây giờ được thay thế bởi phức của các nghiệm, cái mà, rất ấn tượng, thuộc vào $D_M$. Trong \ref{eq:2}, phức của các nghiệm là $P_a$, bó của các nghiệm của $D(f)=0$ là $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$, và $\mathcal{H}^0(P_a)$ liên quan tới tính (không) giải được của $D(f)=g$. Gọi $\mathcal{D}^b_{r,h}(M)$ là phạm trù dẫn xuất bị chặn của các $\mathcal{D}$-module trên $M$ với dối đồng điều là chính quy holonomic. RH phát biểu rằng phép gán (đối ngẫu của) phức của các nghiệm cảm sinh ra một tương đương phạm trù $\mathcal{D}^b_{r,h}(M) \simeq  D_M$. Các bó bướng bỉnh bước vào trung tâm của sân khấu: chúng tương ứng với, thông qua RH, các $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic (xem như các phức tập trung tại bậc không).

 

Để thấy sự tương ứng với khẩu hiệu được nhắc đến bên trên, phạm trù của các bó bướng bỉnh có chung các tính chất hình thức sau với phạm trù các hệ địa phương: nó là Abel (các hạt nhân, đối hạt nhân, các ảnh và các đối ảnh tồn tại, và đối ảnh đẳng cấu với ảnh), ổn định dưới tác động của đối ngẫu, Noether (điều kiện xích tăng thỏa mãn), và Artin (điều kiện xích giảm thỏa mãn), i.e., mọi bó bướng bỉnh là một mở rộng liên tiếp hữu hạn lần của các bó bưởng bỉnh đơn (không vật con). Trong ví dụ của chúng ta, các bó bướng bỉnh \ref{eq:2} là đơn khi và chỉ khi $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$.

 

Các bó bướng bỉnh đơn là gì? Đối đồng điều giao cho ta câu trả lời.

 

(IH) Các nhóm đối đồng điều giao của một đa tạp kì dị $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương là một bất biến đại số của đa tạp đó. Chúng trùng với đối đồng điều thông thường khi $X$ không kì dị và các hệ số là hằng. Các nhóm này ban đầu được định nghĩa và nghiên cứu bằng cách sử dụng lý thuyết của các xích hình học với mục đích nghiên cứu thiếu sót, do sự hiện diện của các kì dị, của đối ngẫu Poincaré cho đồng điều thông thường, và để đưa ra một biện pháp khắc phục cho nó bằng cách xét lý thuyết đồng điều sinh ra bởi việc chỉ xét các xích mà giao với tập kì dị theo cách kiểm soát được. Trong ngữ cảnh này, những dãy số nguyên nhất định, gọi là các sự bướng bỉnh (perversities), được đưa ra để cho một phép đo rằng một xích giao với tập kì dị như thế nào, do đó mà có thuật ngữ "bướng bỉnh". Các nhóm đối đồng điều giao vừa được định nghĩa thỏa mãn các kết luận của đối ngẫu Poincaré và của định lý siêu phẳng Lefschetz.

 

Mặt khác, các nhóm đối đồng điều giao còn có thể được xem như các nhóm đồi đồng điều của một số phức nhất định trong $D_M$: các phức giao của $X$ với các hệ số trong hệ địa phương. Đó là một bước ngoặt đáng chú ý trong cốt truyện của câu chuyện này khi các bó bướng bỉnh đơn chính là các phức giao của các đa tạp con bất khả quy của $X$ với các hệ số được cho bởi các hệ địa phương đơn!

Giờ chúng ta ở chỗ phải làm rõ khẩu hiệu ban đầu. Một hệ địa phương $L$ trên một đa tạp con $Z \subset M$ sinh một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic được định giá trên bao đóng $\overline{Z}$. Cùng $L$ đó cho ta một phức giao của $\overline{Z}$ with các hệ số trong $L$. Cả hai đối tượng mở rộng $L$ từ $Z$ lên $\overline{Z}$ theo các kì dị $\overline{Z}\setminus Z$. Bằng RH, phức giao chính là phức của các nghiệm của $\mathcal{D}$-module này.

 

Một vai trò trụ cột trong ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh được thể hiện bởi định lý phân rã: cho $f: X \longrightarrow Y$ là một cấu xạ riêng của các đa tạp; khi đó các nhóm đối đồng giao của $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương đơn đẳng cấu với tổng trực tiếp của một họ các nhóm đối đồng giao của các đa tạp đại số con của $Y$, với hệ số trong các hệ địa phương đơn. Ví dụ, nếu $f: X\longrightarrow Y$ là một giải kì dị của $Y$, khi đó các nhóm đối đồng điều giao của $Y$ là một tổng trực tiếp của các nhóm đối đồng điều thông thường của $X$. Tính chẻ ra "đơn giản-nhất-có thể" này là một sự thật sâu sắc nhất được biết đến kết nối đồng điều của các đa tạp đại số phức và các cấu xạ. Nó sai trong hình học giải tích và trong hình học đại số thực. Sự phân rã của các nhóm đối đồng điều giao của $X$ là phản ảnh trong đối đồng điều của một phân rã mịn hơn của các phức trong $D_Y$. Chứng minh ban đầu của sử dụng hình học đại số trên các trường hữu hạn (các bó bưởng bỉnh hoàn toàn có nghĩa trong nhánh này).

Một ứng dụng nổi bật của vòng tròn những ý tưởng này là sự thật rằng các nhóm đối đồng điều giao của các đa tạp (varieties) xạ ảnh có cùng các tính chất cổ điển với các nhóm đối đối đồng điều của các đa tạp (manifolds) xạ ảnh: định lý $(p,q)$-phân rã Hodge, định lý Lefschetz mạnh, và quan hệ Hodge-Riemann song tuyến tính. Điều này, chắc chắn, cùng với đối ngẫu Poincaré và định lý siêu phẳng Lefschetz bên trên.

 

Những ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh bao quát từ hình học tới tổ hợp tới giải tích đại số. Những ứng dụng ấn tượng nhất nằm trong địa hạt của lý thuyết biểu diễn, nơi mà sự hiện diện của chúng đã dẫn tới một cuộc cách mạng thực sự ngoạn mục: những chứng minh của giả thuyết Kazhdan-Lusztig, của hình học hóa của đẳng cấu Satake, và, gần đây, của bồ đề cơ bản trong chương trình Langlands.

 

Dịch bởi Phạm Khoa Bằng.

Cho $X = \mathbb{C}$ là mặt phẳng phức, xét ánh xạ chỉnh hình
$$f: X \longrightarrow X, z \longmapsto z^2.$$ Kí hiệu $\mathbb{C}_X$ là bó hằng với giá trị $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{C}$.

• Cho $x \in X$, tính thớ của bó $f_*(\mathbb{C}_X)$ tại $x$, suy ra rằng bó này không hằng địa phương.
• Xét phân hoạch $X = Y \sqcup Z$ trong đó $Y = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ and $Z = \left \{0 \right \}$. Chứng minh rằng các hạn chế $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$ và $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Z}$ đều là các bó hằng địa phương (locally constant).
• Xét phương trình $2zf'(z) = f(z)$ trên $Y$, chứng minh rằng đơn đạo của phương trình này là không tầm thường. Hệ số $2$ trong $2zf'(z)$ có quan trọng không? Nếu thay đổi bằng một số không nguyên thì đơn đạo thay đổi như thế nào?

Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\mathbb{C}_Y$ là một hạng tử trực tiếp của $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$. Định nghĩa bó $\mathcal{Q}$ trên $\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ bởi
$$\mathcal{Q}(U) = \left \{g: U \longrightarrow \mathbb{C} \mid 2zg'(z) = g(z) \right \}$$ với mỗi tập mở $U \subset \mathbb{C}^{\times}$.

• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ là hằng địa phương.
• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ không hằng bằng cách chỉ ra nó không có một lát cắt toàn cục nào.
• Bằng cách xét hai cấu xạ $$\mathbb{C}_Y(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto g \circ f$$ và $$\mathcal{Q}(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto \frac{g \circ f}{z}$$ hãy chứng minh rằng $(f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y) \simeq \mathbb{C}_Y \oplus \mathcal{Q}$.

Here I'd like to talk more about $D^b_{ctf}(X)$ (coefficient in some $\mathbb{Z}/n$) and this should partially explain why Grothendieck pointed out to Illusie as "the right notion". Every object in $D^b_{ctf}(X)$ is in fact quasi-isomorphic to a bounded flat complex whose components are constructible! (note that my definition in the previous answer did not include the constructibility). Any such (bounded, flat, constructible components) is called a perfect complex.

 

In some sense, the flatness is equivalent to projectiveness, and hence when we deal with derived categories of modules, we shoud replace everywhere flatness with projectiveness. Let $R$ be a ring, a complex in $D(R)$ is called perfect if it is quasi-isomorphic to a bounded complex of finite projective module. We denote by $D_{perf}(R)$ the triangulated subcategory of $D(R)$ formed by perfect complexes. This definition is slightly different with the ones in $D^b_{ctf}(X)$ but in $D^b(R)$ they are almost equivalent, namely, a complex in $D^b(R)$ is necessarily perfect provided that its cohomology are perfect (cohomology are perfect $\simeq$ cohomology are constructible) (at this point, I haven't checked why we can remove projectiveness, this is possibly due to the boudedness that we have imposed). But more importantly,

 

Proposition. For a ring, the set of compact objects of $D(R)$ are precisely perfect complexes.

 

Remind that a compact object $K$ in a category with small direct sums is a object such that $\operatorname{Hom}(K,-)$ commutes with small direct sums.

 

Proposition. The smallest strictly full triangulated subcategory stable under direct factors of $D(R)$ generated by a single object $R$ (regarded as a complex concentrated at degree $0$) is precisely the full subcategory of $D(R)$ consisting of perfect complexes.

 

Remind that a subcategory $\mathcal{C}$ of a category $\mathcal{A}$ with finite direct sums is stable under direct factors if whenever $X \oplus Y \in \mathcal{C}$ then both $X,Y \in \mathcal{C}$. These two results are subtle, I have to say that. Let me formulate in a more formal way: suppose that $\mathcal{T}$ is a triangulated having all direct sums and $\Lambda \subset \mathcal{T}$ is a set (not a proper class) of objects

• There exists a smallest triangulated subcategory $ \left < \left< \Lambda \right>\right >$ containing $\Lambda$ and stable under direct sums. If all objects of $\Lambda$ are compact and $ \left < \left< \Lambda \right>\right > = \mathcal{T}$ then we say that $\mathcal{T}$ is compactly generated. 
• There exists a smallest triangulated subcategory $ \left< \Lambda \right>^{ct}$ containing $\Lambda$ and stable under direct factors. If $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ then (by a consequence of abstract Brown representability theorem) we have $\left< \Lambda \right>^{ct}$ is exactly the triangulated category of compact objects of $\mathcal{T}$.

Moreover, the fact that $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ is equivalent to

$$\operatorname{Hom}(A[n],B) = 0 \ \forall \ A \in \Lambda \Rightarrow B = 0.$$ In terms of the formulation above, we can write $D(R) = \left < \left< R \right>\right >$ and $D_{perf}(R) = \left<R \right>^{ct}$. Their proofs can be ignored at first but you should think in comparison with the topological world. You replace $D(R)$ with $\mathbf{SH}$, the stable homotopy category, whose objects are sequences $X=(X_n)$ of simplicial sets together with morphisms $S^1 \wedge X_n \longrightarrow X_{n+1}$ so that you can define stable homotopy groups $\pi_n^{st}(X)$ and say that morphism is a stable weak equivalence if it induces isomorphisms on stable homotopy groups. Then $\mathbf{SH}$ is obtained by inverting all stable weak equivalence just like you invert all quasi-isomorphisms for complexes, it is a triangulated category whose distinguished triangles are those isomorphic to a cone sequence. There is a very special spectrum called the sphere spectrum $\mathbb{S} = (S^n)$, with transition $S^1 \wedge S^n \overset{\sim}{\longrightarrow} S^{n+1}$ and stable homotopy groups are stable homotpy groups of spheres. You can show that

$$\mathbf{SH} = \left < \left< \mathbb{S} \right>\right >.$$

Hence you can view every spectrum as a module over the sphere spectrum (and this is indeed the right way in the sense that: the category $\mathbb{SH}$ is not à priori a tensor category, to get a tensor structure you have to work with symmetric spectra, i.e. spectra with action of symmetric groups, and prove that two stable categories are equivalent and symmetra have $\otimes$ and $\underline{\operatorname{Hom}}$ moviated from the way of thinking every spectrum is a module over $\mathbb{S}$) and the triangulated subcategory formed by compact objects is $\left< \mathbb{S} \right>^{ct}$. The condition

$$\operatorname{Hom}(\mathbb{S}[n],B) = 0 \Rightarrow B = 0.$$ is in some sense equivalent to saying that for a CW-complex or simplicial set $X$, if $\pi_n(X)=0$ then $X=\bullet$ (Whitehead's theorem). Here comes to another subtle point; why these two worlds are so similar? The answer lies in the Dold-Kan correspondence theorem, basically it says that the category of chain complexes of $\mathbb{Z}$-modules is equivalent to the category of simplicial abelian groups. This equivalence maps homotopy groups to homology groups so that you can say homology groups are homotopy groups. The homotopy groups of $R[n]$ behaves like the homology of $S^n$ (concentrated at degree $0$ and $n$).

 

In summary,

• Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are stable model categories, and hence triangulated ones. Moreover, they are all tensor triangulated category.
• Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are compactly generated with a single generator.
• Another example that I can provide is that derived category of $\mathcal{O}_X$-module, the single generator is $\mathcal{O}_X$ itself.

It is likely to define

$$D^b(X) = \left < \left< \text{a single generator} \right> \right>,$$

where we have to specify the generator. A naive guess is the constant sheaf on $X$, but this isn't enough, as you'd like to have Poincaré duality, you have to add Tate twist into the play. Therefore, the definition should be: $D^b_{ctf}(X)$ as the smalles full triangulated subcategory stable under direct factors of $D^b(X)$ generated by objects of the form

$$f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d]$$ where $f: Y \longrightarrow X$ is smooth of relative dimension $d$, i.e. 

$$D^b(X) = \left < \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right> \right> \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ D^b_{ctf}(X) =  \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right>^{ct}$$

Actually, this should be true though I couldn't find a reference but by this tag on StackProject, a "weaker" result holds, where we change triangulated categories to abelian categories, namely, the category of constructible sheaves of abelian groups is the smallest full subcategory of the category of sheaves of abelian groups contaning objects of the form $j_!\mathbb{Z}/n$ (with $j: U \longrightarrow X$ being étale, aka smooth of relative dimension $0$ $\Rightarrow$ no need to consider Tate twist) and closed under finite limits and colimits.

 

But this is the way people nowadays define constructible motives. For instance, in motivic homotopy theory where we offen work with the stable homotopy category $\mathbf{SH}(X)$ of Voevodsky (has small direct sums like $D^b(X)$) in which such a nice representation like a perfect complex is not available then this way of definining constuctible seems to be an appropriate way (and much easier to work with).

Cảm ơn Bằng nhiều. Định nghĩa này nhìn có vẻ khá phức tạp ... Bằng giải thích nôm na vì sao ta cần đẳng cấu với $\mathbb{Z}/\ell^n$-flat complex không?

 

 

Thật ra ý tớ cậu trả lời trước khi edit rồi, tức là ta có để xây dựng function $\text{Trace}_{\mathcal{F}}: X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$ cho mọi $\mathcal{F}\in D^b(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$, không nhất thiết phải $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$? 

 

Thật ra tớ có đọc được một cách khác để định nghĩa $\text{Trace}_{\mathcal{F}}$ nhưng phải cần điều kiện $\mathcal{F}$ là constructible complex, ví dụ trong trang 3 của https://math.uchicag...u/~ngo/PCMI.pdf: Với một điểm $x: \text{Spec }x\to X$, thì $\overline{x}^*\mathcal{F}$ cũng là $\ell$-adic, cụ thể là constructible, tức constructible $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$ tương ứng với continuous representation of $\text{Gal}(\overline{k}/k) \to GL_n(\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$. Khi đó ta có thể định nghĩa trace của Frobenius của $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$. 

 

Chắc là hai định nghĩa này giống nhau? 

Về câu hỏi thứ hai thì tớ trả lời là trong note của giáo sư Châu ban đầu ta làm với constructible sheaves (theo nghĩa thông thường) rồi extend lên complexes bằng cách xét tổng đan dấu như tớ nói. Cậu phải cần $\mathcal{F} \in D^b_c$ vì nếu constructible thì nó chính là một complex with constructible cohomology.

 

Quay lại câu hỏi thứ nhất, thực chất ta có thể viết

$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{c}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$

nhưng cái này không thật sự đúng về mặt technical một cách hình thức như sau: giả sử cậu có một họ $(D_n)_{n \geq 0}$ các triangulated category và các hàm tử khớp $T_{n+1}: D_{n+1} \longrightarrow D_n$ thì cậu sẽ định nghĩa giới hạn

$$\underset{\longleftarrow}{\lim} D_n$$ như thế nào? Một dự đoán đầu tiên là ta xét phạm trù gồm các vật $(A_n,\phi_n)_{n \geq 0}$ trong đó $\phi_{n+1}:F_{n+1}(A_{n+1}) \simeq A_n$. Morphism được định nghĩa một cách tự nhiên (compatible with $\phi_n)$. Một distinguished triangle 

 

$$X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \overset{+1}{\longrightarrow}$$ thì chỉ là một họ các

$$X_n \longrightarrow Y_n \longrightarrow Z_n \overset{+1}{\longrightarrow}$$ compatible với những gì có thể.

 

Lemma. The limit $\underset{\longleftarrow}{\lim} D_n$ is a triangulated provided that all $\mathrm{Hom}_{D_n}(K,L)$ ($K, L\in D_n$) are finite.

 

Proof. For instance, let us verify TR3 in the axioms defining a triangulated category. Given two triplets $(K,L,M) \longrightarrow (K',L',M')$ and we'd like to find some $Z \longrightarrow Z'$ making everything commutative.

 

Define $E_n$ to be the set of morphisms $M_n \longrightarrow M_n'$ such that there exist morphisms of distinguished triangles

$$(K_n,L_n,M_n) \longrightarrow (K_n',L_n',M_n')$$ (note that we fix $K_n \longrightarrow K_n',L_n \longrightarrow L_n'$). Each set $E_n$ is nonempty and finite by the TR3 axiom for each $D_n$ and the assumption on hom sets. Moreover, $(E_n)$ defines a projective system whose limit

$$E = \underset{\longleftarrow}{\lim} E_n$$

is nonempty. Any choice of a morphism in $E$ is a morphism that we are seeking.

 

Giờ ta quay lại với $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$, ta cần xem nó như giới hạn $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{c}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ trong đó các transition là

$$\begin{align*} D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^{n+1}) & \longrightarrow D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n) \\ K^{\bullet} & \longmapsto K^{\bullet} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^n \end{align*}$$ thì theo bổ đề trên ta cần điều kiện

$$\mathrm{Hom}_{D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n)}(K,L)$$ là finite. Tuy nhiên điều kiện này không đúng với $D^b_c$ mà đúng với $D^b_{ctf}$. Nói cách khác ta có

 

Proposition (SGA 4 1/2). Under some nice assumption on the base field,

$$\mathrm{Hom}_{D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)}(K,L)$$

are finite.

Với cái định nghĩa trace như thế này thì ở chỗ nào ta dùng điều kiện constructible của $\mathcal{F}$ nhỉ? Vì tớ tưởng ta chỉ có thể dùng function-sheaf dictionary cho complexes of constructible sheaves. 

Chỗ này theo tớ không thật sự dùng constructible, constructible là về mặt cohomology.

 

Edit: tớ hiểu ý cậu rồi, tớ đoán là cậu đang hiểu function-sheaf dictionary cho constructible sheaves rồi extend cho complex, từ sheaves lên complexes of sheaves thì mình dùng tổng đan dấu của các cohomology (giống kiểu Euler-characteristic).

Bằng có biết làm thế nào để định nghĩa smooth $\ell$-adic sheaves as complexes không? Có cảm giác cái này sẽ tương đương với smooth functions $X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$, nhưng như thế nào mới được coi là smooth từ $X(k)$?

 

Như vậy là cái tên "etale-$\mathbb{Q}_{\ell}$-sheaves" tương đương với local system/locally constant sheaves?

Hi Toàn, cái chữ smooth này thực ra rất nguy hiểm. Nó không phải smooth theo nghĩa function $X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l$, mà tớ cũng không rõ lý do thật sự họ dùng chữ smooth.

 

Về định nghĩa, ta phải quay lại định nghĩa bó $l$-adic trên một lược đồ noether $X$, được định nghĩa là một họ $(F_n)$ sao cho mỗi bó $F_n$ là bó các $\mathbb{Z}/l^n$-module sao cho $F_{n+1} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^{n} \simeq F_n$. Gọi một bó $l$-adic là constructible nếu mỗi bó $F_n$ đều là constructible và gọi là smooth nếu nó locally constant.

 

Còn nếu cậu muốn xem nó như các complex thì thực chất cậu đang muốn định nghĩa derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$. Nó được định nghĩa là "giới hạn" (theo nghĩa nào đó)

$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$

của các derived categories theo nghĩa thông thường, ở đây $D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ là derived cat của các phức có bó đối đồng điều là constructible và ta yêu cầu nó đẳng cấu với một $\mathbb{Z}/l^n$-flat complex. Nếu muốn chuyển qua $\mathbb{Q}_l$-sheaves $D^b_c(X,\mathbb{Q}_l)$ thì ta chỉ "tensor hình thức" mọi thứ với $\mathbb{Q}_l$. Cụ thể hơn, định nghĩa projective limit ở trên phải hiểu theo nghĩa sau (tớ chỉ nói về objects)

 

Objects: Một object của $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$ sẽ là một projective system $(K_n^{\bullet})$ sao cho mỗi $K_n^{\bullet} \in D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ sao cho có các quasi-isomorphism $K^{\bullet}_{n+1} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^n \simeq K^{\bullet}_n$ bên trong $D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n)$.

 

Mọi thứ phức tạp hơn một chút nữa nếu muốn $\overline{\mathbb{Q}}_l$, nhớ rằng bao đóng đại số thì là giới hạn của các mở rộng hữu hạn $E/\mathbb{Q}_l$. Nên một cách tự nhiên ta sẽ định nghĩa

$$D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l) = \underset{\longrightarrow}{\lim} D^b_{c}(X,E)$$

trong đó $D^b_c(X,E)$ được định nghĩa giống hệt với $D^b_c(X,\mathbb{Q}_l)$ (nhớ rằng $E$ cũng là local field) nên thay vì $l$-adic ta sẽ nói tới $\pi$-adic với $\pi$ là uniformizer nào đó.

 

Cuối cùng giả sử $(F_n)$ là một bó $l$-adic (technical condition: torision free in some Artin-Rees category) thì $(F_n)$ sẽ định nghĩa một vật trong $D^b(X,\mathbb{Z}_l)$ bằng cách xem các $F_n$ là các complex concentrated at degree zero. Như vậy chuyển qua giới hạn thì mỗi $l$-adic sheaf cho ta một $E$-sheaf ($E/\mathbb{Q}_l$: finite extension) và một $\overline{\mathbb{Q}}_l$-sheaf.

Fourier analysis on finite abelian groups

Given a finite abelian group $G$, written additively, what we want to do here is to define a space $L^2(G)$ similar to the Hilbert space $L^2(X)$ of square integrable functions $X \longrightarrow \mathbb{C}$ (modulo equal almost everywhere relation) for $X$ being a measurable space. Then it is possible to develop a Fourier transform on $L^2(G)$. The finiteness seems to be a technical condition that you can see to be useful in every step. At least with this hypothesis, we do not to worry about the convergence of sums. We do not go into the "Hilbert theory" of $L^2(G)$ deeply but rather go straight to the Plancherel formula and Fourier inverse formula and see how it can be generalized to $l$-adic cohomology.

 

We define a character of $G$ to be a group homomorphism $\psi: G \longrightarrow (\mathbb{C}^{\times},\times)$. We call it trivial if $\psi(x) = 1$ for each $x \in G$. Since $G$ is finite, every $\psi(x)$ ($x \in G$) is a root of unity. In particular, every character takes values in the circle $S^1$.

 

If $G = \mathbb{F}_{p}$, a field with $p$ elements, then $\psi(x) = e^{2\pi i x/p}$ is a character.

If $\psi$ is a character, then $\overline{\psi}$. They are different if $\psi$ is not identical to $1$. Note that 

$$\psi(-x) = \psi(x)^{-1} = \overline{\psi(x)}$$ since it lies on $S^1$.

If $\psi,\varphi$ are characters, then $\psi\varphi$ is a character as well.

If $\psi$ is a non-trivial character of $G$, then $\sum_{x \in G}\psi(x)=0$.

Proof. Since $\psi$ is non-trivial, there exists $y \in G$ with $\psi(y) \neq 1$. We have

$$\psi(y)\sum_{x \in G}\psi(x) = \sum_{x \in G}\psi(x+y) = \sum_{x \in G}\psi(x)$$ and hence the sum itself is zero because $\psi(y) \neq 1$.

Let $\psi$ and $\varphi$ be characters of $G$. Then 

$$\sum_{x \in G}\overline{\psi(x)}\varphi(x) = \begin{cases} \left|k \right| & \psi = \varphi \\ 0 & \psi \neq \varphi \end{cases}$$

Proof. If $\psi = \varphi$, then it is the consequence of the fact $\psi(x)^{-1} = \overline{\psi(x)}$ while if $\psi \neq \varphi$ then $\overline{\psi}\varphi$ is a non-trivial character, hence it follows from proposition 4.

 

Now we work in the case where $G = k$ is a finite field, then we have a, being motivated from the classical case

$$\hat{f}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-2\pi i xy} dy$$

we define the Fourier transform

$$\begin{align*} T_{\psi}f: k & \longrightarrow \mathbb{C}^{\times} \\ x & \longmapsto  \sum_{y \in k}f(y)\psi(-xy).\end{align*}$$ The Fourier transform is clearly linear, i.e. $T_{\psi}(f+g) = T_{\psi}(f) + T_{\psi}(g)$ and $T_{\psi}(af) = aT_{\psi}(f)$. The Fourier inversion formula in this case becomes almost trivial.

 

(Fourier inverse). We have

$$T_{1/\psi}(T_{\psi}f) = \left|k \right|f$$

Proof. We compute the LHS explicitly

$$\begin{align*}T_{1/\psi}(T_{\psi}f)(x) & =  \sum_{y \in k}T_{\psi}(f)(y)\overline{\psi}(-xy) \\ & = \sum_{y \in k}\left(\sum_{z \in k}f(z)\psi(-yz) \right)\overline{\psi}(-xy)  \\ & = \sum_{y,z \in k} f(z)\psi(y(x-z)) \\ & = \sum_{z \in k}f(z)\left(\sum_{y \in k}\psi(y(x-z))  \right) \\ & = \left|k \right|f(x) \end{align*}$$ thanks to corollary 5.

 

We can endorse the vector space $\mathbb{C}^k$ of functions $k \longrightarrow \mathbb{C}$ with an inner product

$$\left< f, g \right>  = \sum_{x \in k}\overline{f(x)}g(x)$$ then we have an analogue of the usual Plancherel formula.

 

(Plancherel formula). For functions $f,g: k \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ and a character $\psi:k \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$

$$\left<T_{\psi}f, T_{\psi}g\right> = \left|k \right|\left <f,g \right >$$

Proof. We expand everything $$\begin{align*}\left<T_{\psi}f, T_{\psi}g\right> & = \sum_{x \in k}\overline{T_{\psi}f(x)}T_{\psi}g(x) \\ & =  \sum_{x \in k}\left( \sum_{y \in k}\overline{f(y)}\psi(xy) \right)\left( \sum_{z \in k}g(z)\psi(-xz) \right) \\ & = \sum_{x,y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\psi(x(y-z)) \\ & = \sum_{y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\left(\sum_{x \in k}\psi(x(y-z)) \right). \end{align*}$$ We analyze the sum $\sum_{x \in k}\psi(x(y-z))$.

• If $y = z$ then this sum is $\left|k \right|$.
• If $y \neq z$ then this sum is zero by proposition 4.

Hence  

$$ \sum_{y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\left(\sum_{x \in k}\psi(x(y-z)) \right) = \sum_{y \in k }\left|k \right|\overline{f(y)}g(y) = \left|k \right| \left<f,g \right>.$$ We are now able to motivate the definitions in the $l$-adic cohomology.

 

l-adic Fourier transform

 

We restrict ourself to the definition of something called $l$-adic Fourier transform on the affine line $\mathbb{A}^1_k$ where $k$ is a finite field. More precisely, we want to define some operator

$$T_{\psi}: D_c^b(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) \longrightarrow  D_c^b(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$$ associated to any character $\psi: k\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ and is forced to satisfy the Fourier inverse formula and the Plancherel formula. To do this, we have to have some sheaf-to-functions correspondence, for each variety $X/k$, naturally, we have the following: for any $K \in D_c^b(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$

$$\begin{align*} f^K: k & \longrightarrow \mathbb{C} \\ x & \longmapsto \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}},K_{\overline{x}}) = \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}},\mathscr{H}^i(K)_{\overline{x}}) \end{align*}$$ where $\mathscr{H}^i$ denote cohomological sheaves, which are assumed to be constructible.

 

Given any character $\psi: k  \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$, one then has a local system of rank $1$ from the composition 
$$\mathcal{L}_{\psi}: \pi_1(\mathbb{A}_k^1) \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$$ denoted $\mathcal{L}_{\psi}$, called the Artin-Schreier sheaf of $\psi$. We claim that

 

$f^{\mathcal{L}_{\psi}}(x) = \psi(-x)$. 

The next thing is how can we translate operations of functions to operations of sheaves:

• (Product formula) The product of functions should correspond to tensor product of sheaves: $f^{K \otimes L}(x) = f^K(x)f^L(x)$ for every $x \in X(k)$
• (Pullback formula) Pullback of functions should correspond to pullback of functions, which is just composition $f^{f^*K}(x) = f^K(f(x))$ for every morphism $f: X \longrightarrow Y$ of $k$-varieties and $x \in X(k)$.
• (Sum formula) Proper pushforwards should correspond to taking sums or integrals: this is a consequence of Grothendieck-Lefschetz trace formula and proper base change theorem. For every morphism $f: X \longrightarrow Y$ of $k$-varieties and $K \in D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$, we have $$f^{f_!K}(y) = \sum_{x \in X_y(k)}f^K(x)$$ for any $y \in Y(k)$.

Consider the diagram

\begin{xy}

\xymatrix{

& \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[rr]^m \ar[dr]^{\pi^2} \ar[dl]_{\pi^1} & & \mathbb{A}^1 \\

 \mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1 &

}

\end{xy}

where $\pi^1$ are projections and $m$ the multplication $(x,y) \longmapsto xy$. The $l$-adic Fourier transform is defined to be

$$\begin{align*} T_{\psi}: D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) & \longrightarrow D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) \\ K & \longmapsto \pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})[1] \end{align*}$$ where the shift $[1]$ is put in order to preserve the perversity, which is not of our interest here. The sheaf $m^*\mathcal{L}_{\psi}$ plays the role of the character $\psi(-xy)$ in the formula

$$T_{\psi}f(x) =  \sum_{y \in k}f(y)\psi(-xy).$$ We prove that our definition is really a sheaf-theoretic version of the discrete Fourier transform (up to a sign).

 

$f^{T_{\psi}(K)}(x) = - \sum_{y \in k} f^K(y)\psi(-xy)$ for any $x \in k$ and $K \in D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$.

 

Proof. By the last part of our remark above, we have (we delete the shift since it is irrelevant here)

$$\begin{align*} f^{T_{\psi}(K)}(x) & =  \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}\bigg(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}}, \mathscr{H}^i\big( \pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})_{\overline{x}} \big) \bigg) \\ & =  - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})) \\ &  =- \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K) \otimes \mathscr{H}^i( m^*\mathcal{L}_{\psi})) \\ & = - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i( m^*\mathcal{L}_{\psi}))  \\& =    - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \psi(-xy) \\ & = - \sum_{y \in k} \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \psi(-xy) \\ & = - \sum_{y \in k} f^K(y)\psi(-xy) \end{align*}$$ where we have used:

• The sum formula for $\pi^1: \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \longrightarrow \mathbb{A}^1$ in the first equality.
• In the second one, homology commutes with tensor product.
• In the third one, we applied the product formula. 
• In the rest, we applied the pullback formula and lemma 8. 

Let us now verify the Plancherel formula before the Fourier inverse formula (which is more complicated). 

 

 

(Plancherel). We have

$$\left<f^{T_{\psi}(K)},f^{T_{\psi}(L)}\right> = \left|k \right|\left<f^K,f^L\right> \ \forall \ K,L \in D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$$

Proof. This is just a formal manipulation based on lemma 6 and proposition 3.

 

(Fourier inverse). We have

$$T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K = K(-1)$$ where $(-1)$ denotes the Tate twist.

 

For this result, we need an auxiliary lemma, omitted proof, but can be understood heuristically as the Fourier transform of the canonical character equals the dirac delta function.

 

Let $i: 0 \hookrightarrow \mathbb{A}^1$ be the canonical closed immersion, then $i_*\overline{\mathbb{Q}}_l = \delta$ is the skyscraper sheaf at the origin, we then have

$$T_{\psi}(\overline{\mathbb{Q}}_l[1]) = \delta(-1).$$

. The occurence of Tate twist here is understandable because it corresponds to multiplying $1/2\pi$ in the formula

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ixy}dy$$

Proof of Fourier inverse. Let's consider the diagram, in which the square is cartesian

 

\begin{xy}
\xymatrix {
&  & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[dr]^{\pi^{23}} \ar[dl]_{\pi^{13}} &  & \\
                       & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1  \ar[dl]_{\pi^1} \ar[dr]^{\pi^2} & & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[dl]_{\pi^1} \ar[dr]^{\pi^2}& \\

\mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

 

and define $\alpha: \mathbb{A}^3 \longrightarrow \mathbb{A}^2$ by $(x,y,z) \longmapsto (x,y-z)$, then

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K & = \pi^1_!\bigg(\pi^{2*}\big(\pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi}\big) \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \bigg)[2] \\ & = \pi^1_! \bigg( \pi_!^{12}\pi^{23*}\big( \pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi} \big) \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \bigg)[2] &  \text{proper base change} \\ & =\pi^1_! \pi_!^{12}\big( \pi^{23*}\pi^{2*}K \otimes \pi^{23*}m^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes \pi^{12*}m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \big)[2] &  \text{projection formula} \\ & =  \pi^1_! \pi_!^{12}(\pi^{23*}\pi^{2*}K \otimes \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \text{by the last lemma below} \\ & = \pi^1_! \pi_!^{13}(\pi^{13*}\pi^{2*}K \otimes \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] &  \pi^1 \pi^{12} = \pi^1\pi^{13} \ \text{and} \ \pi^2 \pi^{23} = \pi^2\pi^{13} \\ & = \pi^1_! (\pi^{2*}K \otimes \pi_!^{13}\alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \text{projection formula}\end{align*}$$  Consider the cartesian diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{A}^3 \ar[r] \ar[d]_{\pi^{13}} \ar[r]^{\alpha} & \mathbb{A}^2 \ar[d]_{\pi^2} \\
                             \mathbb{A}^2 \ar[r]_{\beta}  &  \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

where $\beta(x,z) = z-x$, then by base change we get

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K &  = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*\pi^2_!m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*T_{\psi}\overline{\mathbb{Q}}_l[-1])[2] & \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*i_*\overline{\mathbb{Q}}_l(-1)[-2])[2] & \text{previous lemma} \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*i_*\overline{\mathbb{Q}}_l)(-1) \end{align*}$$ But the square

 

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{A}^1 \ar[r] \ar[d]_{\Delta} & 0 \ar[d]_i \\
                             \mathbb{A}^2 \ar[r]_{\beta}  &  \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

 

is cartesian, where $\Delta$ is the diagonal, note that $i$ is proper so by base change again, we have

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K & = \pi^1_!(\pi^{2*}K\otimes \Delta_!\overline{\mathbb{Q}}_l(-1)) & \\ & = \pi_!^!\Delta_!(\Delta^*\pi^{2*}K\otimes \overline{\mathbb{Q}}_l(-1)) & \text{projection formula} \\ & = K(-1) & \pi^1\Delta = \mathrm{id} \ \text{and} \ \pi^2 \Delta = \mathrm{id} \end{align*}$$ as desired.

 

We finish the proof by proving the following.

 

The following holds

$$\pi^{12*}(m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}}) \otimes \pi^{23*}(m^*\mathcal{L}_{\psi}) = \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi}.$$

Proof. Set $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(k[t])$ and $\mathbb{A}^3 = \mathrm{Spec}(k[x,y,z])$ and considre

$$X = \mathrm{Spec}(k[x,y,z,u,v]/(u^{\left|k \right|}-u-xy,v^{\left|k \right|}-v-yz)) \longrightarrow \mathbb{A}^3$$ which is a Galois covering whose group of Deck transformations is isomorphic to $k \times k$. There are three projections of $X$ onto $\mathbb{A}^1$ given by

$$t \longmapsto u, t \longmapsto v-u, t \longmapsto v.$$ We view $\mathbb{A}^1$ as a scheme over itself by Artin-Schreier morphism, then the three morphisms above induce homomorphisms of groups of deck transformations

$$k \times k \longrightarrow k$$ given respectively by

$$(a,b) \longmapsto a, (a,b) \longmapsto b - a, (a,b) \longmapsto b.$$ We compose the original character $\psi$ with these three morphisms to get three new characters

$$\pi_1(X) \longrightarrow k \times k \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \mathbb{C}^{\times}.$$ The three new characters correspond to the sheaves involved in the equation

$$\begin{align*} \pi^{12*}m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} &\longrightarrow   \psi_1(a,b) = 1/\psi(a) \\ \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi} & \longrightarrow \psi_2(a,b) = \psi(b)/\psi(a) \\ \pi^{23*}m^*\mathcal{L}_{\psi} & \longrightarrow \psi_3(a,b) = \psi(b) \end{align*}$$ then the question boils down to the trivial fact that $\psi_1\psi_3=\psi_2$.

À vậy là hiểu nhầm ý của @tienmai, về việc viết hệ thống và kiến thức trên diễn đàn thì mình thấy không cần thiết và cũng không tin ai đủ kiên nhẫn để làm điều này. Nếu làm kiểu Pi thì được nhỉ.

Đây là một bài mình viết sau khi đi nghe seminar do giáo sư Ngô Bảo Châu báo cáo hôm 17/8 tại viện Toán học với tựa đề Perverse sheaves and fundamental lemmas tuy nhiên giáo sư không có đủ thời gian để đi vào cả hai chủ đề mà bài nói xoay quanh việc đánh giá tổng Kloosterman bằng cách chuyển ngôn ngữ hàm số sang ngôn ngữ đối đồng điều và áp dụng giả thuyết Weil. Do đó mình để tựa đề như trên. Để thuận tiện, mình sẽ sử dụng tiếng anh.

 

Follow Katz's lectures on Weil II, let me spend some momemt to recall the motivating problem: given a prime $p$ and an integer $a$ s.t. $(a,p)=1$, the Kloosterman sum is defined as the complex number

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \sum_{(x,y) \in \mathbb{F}_p: xy = a} \operatorname{exp}\left(\frac{2\pi i}{p}(x+y) \right).$$ By an elementary argument, one can see that this sum is a real number and in the early time when Kloosterman studied the Hardy-Littlewood circle method, he wanted to bound this sum by a function of $p$.

 

Some motivations

 

(Kloosterman 1926) For any $\epsilon > 0$, we have $\left |\mathrm{Kl}(a,p) \right| < Cp^{3/4+\epsilon}$. 

Kloosterman's proof was quite elementary, however, the bound can be sharpen much more as follows.

(Weil) We have $\left |\mathrm{Kl}(a,p) \right| \leq 2\sqrt{p}$.

This estimate is a consequence of Weil's proof of the "early Riemann hypothesis". The analytic version of Kloosterman sums is

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(ax+x^{-1})}dx$$ which is clearly not convergent, but we can approximate it by $\sqrt{a}K(\sqrt{a})$ where $K$ is the Bessel function. More generally, one can consider the Kloosterman sum

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \sum_{xy=a \in \mathbb{F}_p} \psi(x+y) = \sum_{x \in \mathbb{F}_p}\psi(ax+x^{-1})$$ for any character $\psi:\mathbb{F}_p \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$, i.e. $\psi(x+y)=\psi(x)\psi(y)$. Here we can also prove that $\left| \mathrm{Kl}(a,p) \right| \leq 2 \sqrt{p}$ but even more, we can prove that

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \alpha + \overline{\alpha}$$ where $\alpha$ is a complex number with $\left| \alpha \right| = \sqrt{p}$. This remains true if we replace $p$ by some of its power. This is where algebraic geometry enters the play. The first task is to transfer functions to sheaves. At the level of sheaves, we have more operations to manipulate (at least functions do not have something like duality).  But before one can see why we have to translate everything to cohomology language, one needs to have some clues about Grothendieck's formalism of six operations in $l$-adic cohomology.

 

l-adic cohomology

 

Let's fix a finite field $k=\mathbb{F}_{q}$ (where $q = p^n$ and $p$ prime) and $X/k$ be a variety. Given an integer $n$ invertible on $k$, then we can define that derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}/n)$ of chain complexes (modulo quasi-isomorphisms) of etale sheaves having cohomology sheaves are constructible. If $l \neq p$ is another prime, we define

$$D^b_c(X) = D^b_c(X, \overline{\mathbb{Q}}_l) = \left( \underset{\longleftarrow}{\lim} \ D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}) \right) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \overline{\mathbb{Q}}_l.$$ This definition is subtle and technical so one might follow Bhatt and Scholze's instruction to pretend that $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ is some full subcategory of a derived category $D^b(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$. This is in fact does not cause any harm because almost every result for $D^b_c(X)$ is already true at the level $D^b_c(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. As far as I understand, the dissatisfaction with this limit-taking step is one of the reasons why Scholze introduced the pro-etale site.

Denote by $\mathfrak{TR}$ to be $2$-category of essentially small triangulated categories, then the family 

$$D^b_c: \mathrm{Var}/k \longrightarrow \mathfrak{TR} \  \ X \longmapsto D^b_c(X)$$ defines a $2$-functor admitting a formalism of six operations $(f^*,f_*,f_!,f^!,\otimes,\underline{\mathrm{Hom}})$, e.g. proper + smooth base change theorems, purity, Poincare duality,...

Objects of $D^b_c(X)$ are called $\mathbb{Q}_l$-sheaves or $l$-adic sheaves. The tensor product admits a unit denoted $\mathbb{Q}_{l,X}$ corresponding to the "constant" $l$-adic sheaf. For a $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$, we define the $i$-th $l$-adic cohomology by setting

$$H^i(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_*\mathcal{F}[n]).$$ if $p: X \longrightarrow \mathrm{Spec}(k)$ is the structural morphism. Similarly, 

$$H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_!\mathcal{F}[n]).$$ There is a subcategory of this category called smooth $l$-adic sheaves. Instead of treating (smooth) $l$-adic sheaf as complexes, we follow a shorter path:

Let $X/k$ be an algebraic variety and $\overline{x} \longrightarrow X$ be a geometric point, then there is an equivalent of categories
$$\left \{\text{etale} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{sheaves} \right \} \overset{\sim}{\longrightarrow} \left \{\text{continuous rep. of} \ \pi_1(X,\overline{x}) \ \text{of} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{vector spaces} \right \}.$$ and moreover, smooth $l$-adic sheaves correspond to those representations which are of finite dimension. The equivalence is given by sending each etale $\overline{\mathbb{Q}}_l$ to its fiber over $\overline{x}$.

Frobenii

 

During the study of this subject, I found out that the definitions of the Frobenius morphism and their traces are ambiguous, precisely, there are several definitions of Frobenii, and the question is: which one is the right one that is used in our calculations and how are they related to others? I'll discuss few approaches to this definition, the explicit one and the abstract one. We still fix $k = \mathbb{F}_q$ and $k_n= \mathbb{F}_{q^n}$, the unique finite extension of degree $n$ of $k$.

 

Explicit definition

 

Although there are some different notions, they all arise from a single one, namely, the absolute Frobenius.

Let $A/k$ be an algebra, the Frobenius endomorphism $\mathrm{Frob}:A \longrightarrow A$ is simply the ring homomorphism $a \longmapsto a^p$. This construction is carried to schemes as it should be: if $X/k$ is a scheme, then the absolute Frobenius endomorphism $\mathrm{Frob}: X \longrightarrow X$ is a homeomorphism at the level of underlying topological spaces but on the structure sheaf is $f \longmapsto f^p$. Alternatively, it is defined locally by the Frobeninus endomorphism of affine pieces.

Caution. The Frobenius endomorphism is not an isomorphism in general. 

The Frobeinus endomorphism $\mathrm{Frob}: X \longrightarrow X$ is finite of degree $q^{\dim(X)}$.

Proof. I strongly recommend you to prove this result with $X = \mathrm{Spec}(k[x_1,...,x_n])$ and move to the general case. Otherwise you can look at Milne's note.

If $f: X \longrightarrow Y$ is a morphism of $k$-schemes, then $\mathrm{Frob}_Y \circ f = f  \circ \mathrm{Frob}_X$. In other words, the Frobenius construction is natural. 

Proof. Obvious.

 

Much much more stronger is the following.

If $f: U \longrightarrow X$ is an etale morphism of $k$-varieties, then the diagarm \begin{xy}
\xymatrix {
 U \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & U \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian.

Proof. By the previous lemma, there exists a canonical morphism, which is called the relative Frobenius morphism $\mathrm{Frob}_{X/U}: U \longrightarrow X \times_X U$. Note that since $f$ is etale, its base change, the projection onto the first factor $pr_X: X \times_X U \longrightarrow X$ is also etale. But $pr_X \circ \mathrm{Frob}_{X/U} = f$ so that $\mathrm{Frob}_{X/U}$ is etale. The absolute Frobenii are universally bijective (as noted in the definition), this forces $\mathrm{Frob}_{X/U}$ to be universally bijective. A morphism which is universally bijective and etale must be an isomorphism due to StackProject.

We can consider others Frobenii

• The relative Frobenius $\mathrm{Frob}_r = \mathrm{Frob}_X \times \mathrm{id}_{\overline{k}}: X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$. This one is a special case of the one in the proof above.
• The arithmetic Frobenius $\mathrm{Frob}_a = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Frob}_{\overline{k}}:X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$.
• The geometric Frobenius $\mathrm{Frob}_g = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Frob}_{\overline{k}}^{-1}:X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$.

The relative and arithmetic are automorphisms while the geometric and the absolute are not.

Given a variety $X/k$, then we have $X(k_r)  = \overline{X}^{\mathrm{Frob}_r^n}$ where the relative Frobenius acts on $\overline{X}$ on the first factor. In other words, the set of $k_n$-points of $X$ is the set of closed points of $\overline{X}$ which is fixed under the $r$-iteration of the Frobenius.

Proof. Check on affine pieces.  

 

The next point is to formulate the Grothendieck trace formula, which (I think people may not drop this point at the first reading) is our main tool of computation. We have to find a natural way to define an endormophism, denoted $\mathrm{Frob}^*$

$$\mathrm{Frob}^*: H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) \longrightarrow H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k})$$ for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ and its pullback $\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}$ to $X \otimes_k \overline{k}$.

 

Think topologically and remember how people thought about sheaves in the beginning days. Well, sheaves are actually sheaves of sections of etale spaces (by this, I really mean we have some equivalence of categories), the same thing happens here: for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ on $X$, there exists an algebraic space (which plays the role of an etale space in the topological world) $[\mathcal{F}]$ together with an etale morphism $f: [\mathcal{F}] \longrightarrow X$ such that $\mathcal{F}$ becomes the sheaf of sections of this morphism. As a consequence, we may identify $\mathcal{F}$ with $[\mathcal{F}]$. By base change, we obtain an etale morphism $f \otimes_k \overline{k}: [\mathcal{F}] \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$ and in a similar to the theorem above, the diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F} \otimes_k \overline{k} \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & \overline{\mathcal{F}} \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian. That being said, $\overline{\mathcal{F}} \simeq  \mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}$ where by $\mathrm{Frob}^*$ I really mean pullback of a sheaf. This isomorphism yields two important facts:

• The composition $$\mathrm{Frob}^*: H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}}) \longrightarrow H_c^i(X \otimes_k \overline{k},\mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}) \simeq H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}})$$ is the one that we are seeking, where the first morphism is the natural morphism. 
• If $x \in X \otimes_k \overline{k}$ is fixed by the $n$-iteration of the absolute Frobenius, then taking stalks induces an isomorphism $\mathrm{Frob}_x^{*n}: \mathcal{F}_x \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathcal{F}_x$.

(Grothendieck-Lefschetz trace formula). With these data, we have

$$\sum_{x \in X(k_n)}\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*n},\mathcal{F}_x) = \sum_i (-1)^i\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^{*n},H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\overline{\mathcal{F}})).$$ In particular, 

$$\sum_{x \in X(k)}\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x) = \sum_i (-1)^i\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^{*},H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\overline{\mathcal{F}})).$$

If we set

$$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) =  \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x)$$ for each $x \in X(k)$, then this constitues a function

$$\mathrm{Trace}: X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l = \mathbb{C}$$ with the following properties

• For any $x \in X(k)$ and $\mathcal{F},\mathcal{G} \in D^b_c(X)$ $$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x)\mathrm{Trace}_{\mathcal{G}}(x) = \mathrm{Trace}_{\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}}(x).$$
• For any morphism of $k$-varieties $f: X \longrightarrow Y$ $$\mathrm{Trace}_{f^*\mathcal{F}}(x)  = \mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(f(x)).$$
• For any $y \in Y(k)$ then $$\sum_{x \in X_y(k)} \mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) = \mathrm{Trace}_{f_!\mathcal{F}}(y).$$

Katz's point of view

 

Given a connected variety $X/k$ and for any point $x: k_r \longrightarrow X$, we get an induced group homomorphism

$$x_*: \pi_1(k_r,\overline{k}) \longrightarrow \pi_1(X,\overline{k})$$ by the functoriality of the etale fundamental group functor. Since $\pi_1(k_r)$ contains the Frobenius automorphism $\mathrm{Frob}_{k_r}: \overline{k} \longrightarrow \overline{k}, a \mapsto a^{\left| k_r \right|}$, we can consider its image via $x_*$ and set

$$x_*(\mathrm{Frob}_{k_r}) = \mathrm{Frob}_{k_r,x}.$$ Now given a smooth $l$-adic sheaf, i.e. a finitely dimensional representation 

$$\mathcal{F}: \pi_1(X) \longrightarrow \mathrm{GL}(r,\overline{\mathbb{Q}}_l),$$ and a $k$-point $x: k \longrightarrow X$ then it makes sense to consider the trace of the automorphism $\mathrm{Trace}(\mathcal{F}(\mathrm{Frob}_{k,x}))$ which is nothing but $\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x)$ considered before. However, I do not have any reference for this.

 

Artin-Schreier theory

 

Bạn Lê Đăng Khương ngày nào còn tranh luận ở đây giờ đã bỏ học HUS từ sớm để về làm giáo viên, lập ra một đạo phái con của đạo phái mạng nhện. Nhìn và nghĩ mà thấy lực bất tòng tâm với thời đại.

 

Từng đọc trên diễn đàn toán học một topic rất sôi nổi là "Học gì ở toán phổ thông". Hình như những dự định của các anh không còn tiếp tục? Hẳn là mọi người có lí do và kế hoạch riêng. Mong các anh sẽ tiếp tục. Những cố gắng của các anh có thể giúp được ai đó, dù chỉ một thôi, cũng là rất đáng quý.

Chào em, có ba điều anh muốn nói

• Thứ nhất, em không nên coi thường những ai làm hình học affine.
• Thứ hai, anh không coi đó là chuyện tới mức thời đại.
• Thứ ba, bọn anh vẫn học toán.

Hình: Một em bé chụp tại VMC.

Hình: thầy Nguyễn Duy Tân tại phiên báo cáo toàn thể với tiêu đề On the Massey Vanishing Conjecture in Galois cohomology of fields.

Do $a,b,c>0$
Ta có: $\sum (\frac{a}{2a+b})^{3} = \sum(\frac{1}{2+\frac{b}{a}}) ^{3}$
Đặt $x=\frac{b}{a}$ ; $y=\frac{c}{b}$ ; $z=\frac{a}{c}$
Khi đó bất đẳng thức cần CM là $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{1}{9}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
 $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{3}{\prod (2+x)}$
Theo AM-GM: $\prod (2+x)\leq(\frac{6+\sum x}{3}) ^{3}$
=> $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{81}{(6+\sum x)^{3}}$
Do bất đẳng thức là thuần nhất đồng bậc nên ta chuẩn hóa $x+y+z=3$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ $<=> a=b=c$

Từ chỗ $\prod(x+2)$ không dùng AM-GM được như bạn truongphat266 đã nhận xét, thay vào đó hãy dùng Holder ba biến với lưu ý $xyz=1$.

Đồng luân tử định điểm

 

Từ bây giờ trở đi ta sẽ dịch derivator là đồng luân tử. Dĩ nhiên ta không thể dịch derivator bằng cách kết hợp "đạo hàm" (derivative) và "toán tử" (operator) hoặc "dẫn xuất" (derive) và "operator" để thành một cái gì đó như kiểu đạo tử hay dẫn tử được vì cách gọi này không gợi ra ý nghĩa của khái niệm. Cách dịch của mình lấy từ việc lý thuyết derivator phát hiện độc lập bởi hai người là A. Grothendieck và A.Heller trong đó Heller gọi derivator là một "homotopy theory" tức là một lý thuyết đồng luân. Do đó kết hợp cả hai lại mình nghĩ nên dịch là đồng luân tử.

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử, ta biết rằng $\mathbb{D}(I)$ có cả vật đầu $\varnothing$ và vật cuối $\bullet$. Nếu cấu xạ duy nhất giữa hai vật này là đẳng cấu với mọi $I$ thì ta nói $\mathbb{D}$ là định điểm (pointed). Nói cách khác, $\mathbb{D}$ là định điểm nếu $\mathbb{D}(I)$ có vật không với mọi $I$.

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử, khi đó:

• $\mathbb{D}$ là định điểm khi và chỉ khi $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ có vật không.
• Nếu $\mathbb{D}$ là định điểm thì với mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$, cả ba hàm tử $u_{\#},u^*,u_*$ bảo toàn vật không.

 

Cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử đầy đủ trung thành.

• Ta gọi $u$ là một sàng (sieve) nếu với mọi cấu xạ $u(a) \longrightarrow b$ thì $b$ nằm trong ảnh của $u$.
• Ta gọi $u$ là một đối sàng (cosieve) nếu với mọi cấu xạ $b \longrightarrow u(a)$ thì $b$ nằm trong ảnh của $u$.

Sau đây là hai ví dụ quan trọng nhất về sàng và đối sàng. Gọi $\mathbf{1}$ là poset $(0<1)$ xem như một phạm trù, xét $\square$ là phạm trù $\mathbf{1} \times \mathbf{1}$. Ở dạng biểu đồ ta có $\square$ là phạm trù

\begin{xy}
\xymatrix {
(0,0) \ar[r] \ar[d] & (1,0) \ar[d] \\
                 (0,1) \ar[r]  & (1,1)
}
\end{xy}

Ta ký hiệu $\ulcorner$ và $\lrcorner$ là hai phạm trù con sau

\begin{xy}
\xymatrix {
(0,0) \ar[r] \ar[d] & (1,0) \\
                 (0,1)  &
}
\end{xy}

và

\begin{xy}
\xymatrix {
 & (1,0) \ar[d] \\
                 (0,1) \ar[r]  & (1,1)
}
\end{xy}

Khi đó $\ulcorner$ là một đối sàng còn $\lrcorner$ là một sàng. Ta ký hiệu các phép nhúng tương ứng bởi $i_{\ulcorner}$ và $i_{\lrcorner}$.

Bổ đề dưới đây nói rằng sàng và đối sàng biểu hiện như nhúng mở và nhúng đóng trong hình học đại số. Để bắt đầu ta sẽ chứng minh rằng sàng và đối sàng là một khái niệm mà biểu hiện của nó không phụ thuộc vào đồng luân tử (giống như không phụ thuộc vào $2$-hàm tử $D^b_c(-,\mathbb{Q}_l)$).

Ta gọi một hình vuông

\begin{xy}
\xymatrix {
 I \ar[d]_{u} \ar[r]^{v} & I' \ar[d]^{u'} \\
        J \ar[r] _{w} & J'
}
\end{xy}

là khớp đồng luân nếu với mọi đồng luân tử thì hai cấu xạ đổi cở

$$u_{\#}v^* \longrightarrow w^*u'_{\#}   \ \ \ \ \ u^{'*} w_* \longrightarrow v_*u^*$$ là các đẳng cấu.

Cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử đầy đủ, trung thành, khi đó hình vuông

\begin{xy}
\xymatrix {
 I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
        I \ar[r] _{u} & J
}
\end{xy}

là khớp đồng luân.

Do ta đang làm việc với các đồng luân tử nên đẳng cấu có thể kiểm tra qua các thớ. Như vậy ta có thể rút gọn về chứng minh rừang hình vuông dán bởi hai hình vuông sau là khớp đồng luân.

\begin{xy}
\xymatrix {
 I/i \ar[r]^{p}  \ar[d]_{\pi}& I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
   \mathbf{e} \ar[r]_{i}  &   I \ar[r] _{u} & J.
}
\end{xy}

Do $u$ là đầy đủ, trung thành nên $I/u(i) \simeq I/i$. Điều này một lần nữa khiến ta rút gọn về chứng minh hình vuông dán bởi ba hình sau là khớp đồng luân.

\begin{xy}
\xymatrix {
 I/u(i) \ar[r] \ar[d]_{\pi} & I/i \ar[r]^{p}  \ar[d]_{\pi}& I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
  \mathbf{e} \ar[r]_{=} & \mathbf{e} \ar[r]_{i}  &   I \ar[r] _{u} & J.
}
\end{xy}

Nhưng điều này là hiển nhiên theo tiên đề bốn.

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử, khi đó:

• $u$ là một đối sàng thì $u_{\#}:\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$ là trung thành và đầy đủ. Hơn nữa $X \in \mathbb{D}(J)$ nằm trong ảnh của $u_{\#}$ khi và chỉ khi $X_j \simeq \varnothing$ với mọi $j \in J - u(I)$.
• $u$ là một sàng thì $u_{*}:\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$ là trung thành và đầy đủ. Hơn nữa $X \in \mathbb{D}(J)$ nằm trong ảnh của $u_{\#}$ khi và chỉ khi $X_j \simeq \bullet $ với mọi $j \in J - u(I)$.

 

Ta đã biết rằng các phạm trù tam giác là nơi người ta làm đại số đồng điều nhưng có một vấn đề không tốt của nó là xây dựng nón (cone construction) không có tính hàm tử. Đây là chỗ tạo ra rất nhiều vấn đề thậm chí khiến người ta nghi ngờ rằng phạm trù tam giác chưa phải khái niệm đúng (ngày nay ta có các $\infty$-phạm trù ổn định và các phạm trù mô hình ổn định). Nhưng chúng ta cũng không thể định nghĩa lại phạm trù tam giác mà dùng một hàm tử nón được. Bản thân Verdier là người nghĩ ra định nghĩa đã nhận xét rằng một phạm trù tam giác mà được trang bị một hàm tử nón thì phải chẻ. Do đó nếu muốn xây dựng nón có tính hàm tử thì nó không phải một tính chất của phạm trù gốc, mà nó nằm trên một "phạm trù cao hơn". Nói khác nữa, khi nghiên cứu phạm trù tam giác (và đặc biệt hình thức luận sáu hàm tử) ta "không nên" nghiên cứu từng phạm trù đơn lẻ mà phải đi theo các họ phạm trù.

 

Một trong các cách đầu tiên được đề xuất để sửa chữa tính không-hàm tử là lý thuyết về các derivator của Grothendieck trong Pursuing Stacks năm 1983 và sau đó được công bố lại dưới tập bản thảo 2000 trang có tên Les Dérivateurs. Bài viết này của mình là một dẫn nhập về lý thuyết derivator. Một trong các cách hiểu nó là đọc lại các khái niệm trong tô-pô. Nhưng mình sẽ tiếp cận trực tiếp từ hướng trừu tượng. Ngày nay thì lý thuyết derivator đã có nhiều ứng dụng của nó, trong hạn chế hiểu biết của mình, chủ yếu là để sửa tính không hàm tử của rất nhiều xây dựng. Ví dụ trong đối đồng điều étale người ta hay bảo lấy chu trình triệt tiêu (vanishing cycles) là xây dựng nón của hàm tử đồng nhất và chu trình nearby (nearby cycles) là sai. Thực chất nó không là hàm tử, nhưng tính toán thì không thực sự tạo ra vấn đề.

 

Các động lực ban đầu của derivator có thể nói là đến từ các xây dựng trong phạm trù mô hình. Một điều mà ta rất hay gặp trong phạm trù mô hình là xây dựng của chúng quá phức tạp. Derivator là một cách để ta có thể thao tác trên sáu toán tử mà, như Joseph Ayoub nói, không bao giờ phải quay lại với phạm trù mô hình.

 

Định nghĩa và ví dụ

 

Ký hiệu $\mathrm{Cat}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù nhỏ (small categories) và $\mathrm{CAT}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù (với vật là phạm trù không nhất thiết nhỏ, $1$-cấu xạ là hàm tử, $2$-cấu xạ là biến đổi tự nhiên).

 

Một tiền-derivator (prederivator) $\mathbb{D}$ là một $2$-hàm tử ngặt (tất cả đẳng thức là dấu bằng, không phải đẳng cấu) $\mathbb{D}: \mathrm{Cat}^{op} \longrightarrow \mathrm{CAT}.$.

Ở đây $\mathrm{Cat}^{op}$ ta chỉ đảo chiều $1$-cấu xạ, tức là các hàm tử và giữ nguyên chiều của $2$-cấu xạ.

Hãy viết cụ thể định nghĩa này ra:

• Ở mức các vật, mỗi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một phạm trù $\mathbb{D}(I)$.
• Với mọi hàm tử $u:I \longrightarrow J$ trong $\mathrm{Cat}$ cho ta một hàm tử $u^*:\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.
• Với mọi biến đổi tự nhiên $\alpha: u \longrightarrow v$ giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow J$ ta có một biến đổi tự nhiên $\alpha^*:u^* \longrightarrow v^*$.

Ký hiệu $\mathbf{e}$ là phạm trù gồm một vật một cấu xạ (tức là groupoid tầm thường). Nó là vật cuối trong $\mathrm{Cat}$. Ta goi phạm trù $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ là phạm trù nền của derivator $\mathbb{D}$. Hầu hết các xây dựng của ta sẽ xoay quanh phạm trù này theo một nghĩa nào đó.

 

Sau đây là các ví dụ.

• Mọi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một derivator gọi là derivator khả diễn bởi $I$. Nó định nghĩa bởi $$I(J) = J^I = \mathrm{Func}(I,J)$$ (phạm trù các hàm tử - functor category). Với mọi hàm tử $u:J \longrightarrow J'$ ta có một hàm tử $u^*:\mathrm{Func}(I,J') \longrightarrow \mathrm{Func}(I,J)$ cho bởi phép hợp thành. Cũng bằng phép hợp thành ta có biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử. Phạm trù nền của nó $I(\mathbf{e}) = I$.
• Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù abel và ký hiệu $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ phạm trù các xích phức kiểu đổi đồng điều không bị chặn hai đầu. Ký hiệu $\mathbf{W}$ là lớp các tựa đẳng cấu của các xích. Với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathcal{A}^I$ cũng là phạm trù abel. Phép gán $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) = D(\mathcal{A}^I)$$ cho ta một prederivator trong đó $D$ ký hiệu phạm trù dẫn xuất của một phạm trù abel. Có một xây dựng khác tương đương là ta xét $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I$ như một phạm trù mô hình trong đó các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên mà là tựa đẳng cấu tại mọi bậc. Ký hiệu lớp các đồng luân yếu này bởi $\mathbf{W}^I$ thì ta có $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) \simeq \mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
• Ký hiệu $\mathbf{Top}$ bởi phạm trù các không gian tô-pô. Ta gọi một ánh xạ liên tục $f: X \longrightarrow Y$ là một tương đương đồng luân yếu nếu $f_n: \pi_n(X,x_0) \longrightarrow \pi_n(Y,f(x_0))$ là đẳng cấu với mọi $x_0 \in X$ và $n \geq 0$. Ta biết rằng $\mathbf{Top}$ là một phạm trù mô hình với các đồng luân yếu chính là các tương đương đồng luân yếu. Không những vậy, với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathbf{Top}^I$ cũng là một phạm trù mô hình trong đó một đồng luân yếu giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow \mathbf{Top}$ là một biến đổi tự nhiên mà là đồng luân yếu tại mọi vị trí. Điều này giống với trường hợp ở trên. Do đó ta có một prederivator $$\mathbb{D}_{\mathbf{Top}}(I) = \mathbf{Top}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
• Cả hai trường hợp trên nằm trong một xây dựng tổng quát hơn. Cho $\mathcal{M}$ là một phạm trù mô hình với lớp đồng luân yếu ký hiệu bởi $\mathbf{W}$. Để tốt cho các xây dựng, ta giả sử $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ (cofibrantly generated model category) khi đó với mỗi phạm trù nhỏ ta có một phạm trù $\mathcal{M}^I$ là phạm trù mô hình với các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên và là đồng luân yếu tại mỗi bậc, ta ký hiệu lớp này bởi $\mathbf{W}^I$. Khi đó ta có một prederivator $$\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(I) = \mathcal{M}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$ Phạm trù nền của prederivator này hiển nhiên là chính $\mathcal{M}$.

 

Giờ ta sẽ thấy mỗi prederivator khi tính trên từng phạm trù nhỏ $I$ sẽ cho ta một biểu đồ trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Xây dựng này như sau: lấy $i \in I$ là một vật thì nó có thể xem như một hàm tử $i:\mathbf{e} \longrightarrow I$. Một cấu xạ $i \longrightarrow j$ trong $I$ có thể xem như một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử $i \Rightarrow j: \mathbf{e} \longrightarrow I$. Khi đó mỗi cấu xạ $i \longrightarrow j$ cho ta một biến đổi tự nhiên $\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nói cách khác, ta có một hàm tử

$$\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathrm{Func}\left(I^{op},\mathbb{D}(\mathbf{e}) \right).$$ Hàm tử này cho ta một biểu đồ hình $I^{op}$ ở trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nhưng lưu ý: hàm tử này hầu như không bao giờ là đẳng cấu.

 

Để đi đến các phiên bản hoàn chỉnh của derivator, ta cần thêm ít nhất hai hàm tử nữa.

 

Cho $\mathbb{D}$ là một prederivator và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử. Ta nói

• $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan trái theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*):\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$.
• $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan phải theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u^* \dashv u_*):\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.

 

Tuy nhiên mở rộng Kan không đi theo một nghĩa thông thường mà nó phải thỏa mãn một số luật base change. Ta hãy quay lại phạm trù các vật đơn hình từng được xem xét ở đây. Trong ví dụ 7 ta đã biết rằng có một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*)$ (trong bài đó ký hiệu $u_!$ thay vì $u_{\#}$, nhưng minh sẽ giải thích sau tại sao $u_{\#}$ là ký hiệu tốt hơn) và quan trọng hơn $u_{\#}$ có thể tính như một đối giới hạn trên một phạm trù slice nào đó. Điều này khiến ta quan tâm tới các biểu đồ sau: cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử và $j :\mathbf{e} \longrightarrow J$ là một vật.

\begin{CD} u/j @>p>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

và

\begin{CD} j/u @>q>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

trong đó

• $u/j$ có vật là các cặp $(i,f:u(i) \longrightarrow j)$.
• $j/u$ có vật là các cặp $(i,f:j \longrightarrow u(i))$.

Nói riêng ta có các cấu xạ đổi cơ sở $\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#}$

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\mathbf{e}) & \mathbb{D}(u/j)  \ar[l]_{\pi_{\#}} & \mathbb{D}(I) \ar[l]_{p^*}  & \\
                                     & \mathbb{D}(\mathbf{e}) \ar[u]^{\pi^*} \ar@/^1pc/[ul]^{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(J) \ar[u]_{u^*} \ar[l]_{j^*} & \mathbb{D}(I) \ar[l]^{u_{\#}} \ar@/_1pc/[ul]_{\mathrm{id}}
}
\end{xy}

Tương tự ta có một cấu xạ đổi cơ sở $j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$.

Một tiền derivator là một derivator nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

• (Đối tích sang tích) $\mathbb{D}$ gửi đối tích sang tích. Nói cách khác, ta có một tương đương phạm trù $\mathbb{D}\big(\coprod_{i \in I}A_i \big) \simeq \prod_{i\in I}\mathbb{D}(A_i).$ Nói riêng ta có $\mathbb{D}(\varnothing) = \mathbf{e}.$
• (Đẳng cấu kiểm tra qua thớ) Một cấu xạ $f: X \longrightarrow Y$ trong $\mathbb{D}(I)$ là đẳng cấu khi và chỉ khi kéo lùi của nó qua tất cả các vật là đẳng cấu, i.e. $f_i: X_i \longrightarrow Y_i$ là đẳng cấu trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ trong đó $X_i = i^*X$.
• (Tồn tại các mở rộng Kan) $\mathbb{D}$ nhận mở rộng Kan trái và phải theo mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$.
• (Các định lý đổi cơ sở) Xét các biểu đồ giao hoán như trên khi đó các cấu xạ đổi cơ sở $$\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#} \ \  j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$$ là đẳng cấu.

Giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về các derivator

• Với mọi phạm trù mô hình $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ thì $\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(-)$ là một derivator.
• Một mô hình khác xuất phát từ tô-pô: xét $\mathbf{Top}_{\bullet}$ là phạm trù các không gian tô-pô định điểm (pointed topological spaces). Một phổ các không gian tô-pô là một họ $(X_n)_{n \geq 0}$ các không gian tô-pô cùng với các ánh xạ nối $\Sigma X_n \longrightarrow X_{n+1}$. Một cấu xạ giữa hai phổ là một họ cấu xạ giữa từng bậc làm giao hoán các cấu xạ nối. Một phổ được gọi là $\Omega$-phổ nếu liên hợp của các cấu xạ nối $X_n \longrightarrow \Omega X_{n+1}$ là các đồng luân yếu. Cho trước một phổ $X=(X_n)$, ta định nghĩa nhóm đồng luân ổn định của nó bởi $$\pi_{n}^{st}(X) = \mathrm{colim}_a \pi_{n+a}(X_a)$$ trong đó đối giới hạn này có nghĩa do ta có các cấu xạ $$[S^{n+a},X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},\Sigma X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},X_{n+1}].$$ Một cấu xạ được gọi là một tương đương đồng luân ổn định nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên tất cả các nhóm đồng luân ổn định. Phạm trù đồng luân của nó chính là phạm trù đồng luân ổn định trong tô-pô. Phạm trù này sinh bởi các đối phân thớ và do đó theo ví dụ trên cho ta một derivator gắn với nó.
• Nếu $\mathbb{D}$ là một derivator thì với mọi $I$, pre-derivator $\mathbb{D}_I(J) = \mathbb{D}(I \times J)$ cũng là một derivator. Hơn nữa ta còn có một hàm tử $I$-dạng $$\mathbb{D}(I \times J) \longrightarrow \mathrm{Func}(I^{op},\mathbb{D}(J)).$$

Sau đây là một số tính chất cơ bản của derivator

Cho $\mathbb{D}$ là một derivator, khi đó $\mathbb{D}(I)$ có vật đầu và vật cuối với mọi $I$. Tổng quát hơn, $\mathbb{D}(I)$ là đầy đủ và đối đầy đủ.

Cho $S$ là một tập hợp xem như một phạm trù rời rạc, khi đó ta có một biểu đồ giao hoán

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\coprod_{s \in S}I) \ar[r] \ar[d] & \prod_{s \in S}\mathbb{D}(I) \ar[d]   \\
                              \mathbb{D}(S \times I) \ar[r]  & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I))
}
\end{xy}

trong đó theo tiên đề của derivator thì hàng ngang bên trên là tương đương, và hai cột dọc là tương đương theo nghĩa hiển nhiên. Do đó hàng ngang bên dưới, tức là hàm tử $S$-dạng là tương đương. Ta lại có một biểu đồ

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(S \times I) \ar[r] \ar[d]_{(pr_2)^*} & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I)) \\
                              \mathbb{D}(I) \ar[r]_{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(I) \ar[u]^{\Delta}
}
\end{xy}

giao hoán trong đó $\Delta$ là hàm tử đường chéo. Nhưng do $(pr_1)^*$ nhạn cả mở rộng Kan trái lẫn phải (tức là liên hợp trái lẫn phải) nên hàm tử đường chéo cũng phải nhận cả liên hợp trái lẫn phải. Tức là tồn tại cả tích và đối tích theo tập chỉ số $S$.

Cho m,n là 2 số nguyên dương và $m|n$. Tìm ideal A của $\mathbb{Z}_n$ sao cho $\mathbb{Z}_n/A\cong \mathbb{Z}_m$.

Định lý đẳng cấu thứ ba: Cho $P \subset N \subset M$ là ba module trên một vành giao hoán có đơn vị $R$, khi đó $N/P$ là một ideal của $M/P$ và $(M/P)/(N/P) \simeq M/N$.

 

Chứng minh. Xét đồng cấu module $\mathrm{id}: M \longrightarrow M$, do $P \subset N$ nên nó cảm sinh một đồng cấu $M/P \longrightarrow M/N$. Rõ ràng đây là toàn cấu với hạt nhân $N/P$ (can you see why?) nên ta có đpcm theo định lý đẳng cấu thứ nhất.

 

Chọn $R = \mathbb{Z}$, $M = \mathbb{Z},N = m\mathbb{Z},P=n\mathbb{Z}$ thì $P$ là một module con của $N$ do $m \mid n$ và ta thấy $M/N \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ và $M/P= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Từ đó kết luận $N/P$ là ideal (module con) cần tìm.

Phỏng vấn với Joseph Ayoub

 

 

Joseph Ayoub, Giáo sư ngành Toán học tại Đại học Zurich, là người đầu tiên giữ ghế "Alexzandria Figueroa và Robert Penner". Ông quan tâm đến đối đồng điều của các đa tạp đại số và lý thuyết motive.

 

Ông đã bắt đầu hứng thú với toán học như thế nào?

 

Tôi đã luôn hứng thú với toán. Từ lúc bắt đầu thời thiếu niên tôi đã có những điểm số tốt trong mọi môn học nhưng toán học đã luôn là hứng thú đặc biệt của tôi: trong thời gian rảnh của tôi, tôi thưởng thức việc giải quyết các vấn đề toán học. Khi đã làm hết, tôi tự kiếm thêm những vấn đề mới. Tôi đã đặc biệt thích hình học phẳng nhưng tôi cũng đã thích tính toán các thứ khác và giải các phương trình. Trong thời gian nghỉ tôi thường biến mất vào các thư viện để tra cứu các bài báo toán học thông qua Bách Khoa Toàn Thư. Đây là cách làm thế nào tôi quen thuộc với một lượng lớn khái niệm hiện đại như bài toán phân loại các nhóm đơn. Tôi đã có thể tiếp cận một lượng không nhỏ "toán cao cấp" ở tuổi còn rất trẻ khi tôi tìm thấy vài bài báo trong kho của căn hộ nhà tôi ở Beyrouth. Chúng là các bản thảo của các bài giảng tô-pô đại cương mà bố tôi - một giáo sư toán học - đã giảng dạy ở đại học. Anh trai tôi, người là thủ thư tại bộ môn khoa học, biết vài người có thể giúp tôi chạm tay vào một bản sách Hình học Vi Phân và Không gian Đối xứng của Helgason. Tôi nhớ rằng mình đã dùng hầu hết các kỳ nghỉ hè ép buộc bản thân học quyển sách đó. Cuối cùng tôi kết thúc việc đọc từ đầu tới cuối và cảm giác rằng mình đã hiểu mọi thứ!

 

Năm 1998, ngay sau khi nhận bằng tú tài, tôi đã đủ may mắn để được nhận vào Lycée Louis-le-Grand ở Paris. Đó là khi tôi hiểu rằng bạn có thể kiếm sống bằng các nghiên cứu toán học, mà đó thật sự là một sự mặc khải cho tôi. Giáo viên toán của tôi, Hervé Gianella, người khiến tôi nhận ra điều này và khuyến khích tôi tham dự kỳ thi đầu vào của Đại học Sư Phạm Paris. Trước đó tôi mường tượng rằng bản thân mình sẽ trở thành một kỹ sư với một công việc "thực sự" và có sở thích "kỳ dị": đọc sách toán.

 

Mối liên hệ của ông với IHES là gì?

 

Lần đầu tôi nghe về IHES là do Alexandre Grothendieck. Tên của ông ấy gắn bó chặt chẽ với IHES. Theo một cách, tôi lần đầu khám phá ra IHES cùng hộ Élément de Géométrie Algébrique và "Séminaire de Géométrie Algébrique" vốn phần lớn được chuẩn bị và nháp tại IHES. Rất lâu sau đó thì tôi đến IHES, và đó là một hội nghị vinh danh Luc Illusie.

 

Tôi rất biết ơn hội đồng khoa học vì đã chọn tôi làm người đầu tiên giữ ghế Alexzandria Figueroa và Robert Penner. Đó là một vinh hạnh lớn, chắc chắn rồi, và tôi đã sẵn sàng cho thời gian tôi sẽ dành tại IHES. Tôi không biết những chuyến thăm của mình sẽ ảnh hưởng tới công việc như thế nào nhưng tôi sẽ cố thu được lợi ích tối đa từ chúng. 

 

Ông sẽ tóm tắt các cống hiến chính của mình như thế nào?

 

Trong một thời gian dài, tôi làm việc với một giả thuyết đặc biệt và quan trọng trong lý thuyết motive, nó có tên là "giả thuyết bảo toàn" (conservativity conjecture). Giả thuyết này khá dễ để phát biểu và cung cấp một cầu nối, hoặc nói đúng hơn là một con đường hai chiều giữa hai loại đối tượng khác nhau. Một cái là motive, một đối tượng hình học đại số rất màu mỡ, cái còn lại là hiện thân của nó, một đối tượng tô-pô không có thêm cấu trúc bổ sung nào.

 

Giả thuyết bảo toàn tỏ ra vô cùng khó nhằn. Tuy nhiên, tôi đã nghĩ ra một chiến lược để chứng minh nó. Thậm chí ngay cả khi tôi không thể hoàn thành nó, tôi vẫn xem cái công việc dang dở này là cống hiến quan trọng nhất của mình.

 

Điều gì truyền cảm hứng cho ông theo đuổi nghiên cứu của mình và ông thấy điều gì thú vị nhất trong công việc mình làm?

 

Điều tôi thích nhất ở toán học là tính nhất quán vốn bắt nguồn từ một lý thuyết được xây dựng tốt. Một khi quan điểm đúng được định hình thì theo sau sẽ là định nghĩa đúng, bối cảnh phù hợp, những gì tiếp theo là tất yếu và kết quả rất nhất quán. Tôi nghĩ tôi thực sự rất trân quý tính nhất quán. May mắn thay, không thiếu những lý thuyết được xây dựng tốt trong hình học đại số, điều có lẽ là một trong các di sản của Grothendieck.

 

Tôi cũng thích bước viết. Thực tế, tôi nghĩ rằng làm và viết toán là các hoạt động không thể tách rời. Chỉ khi tôi viết một bài báo mà tôi mới thực sự hiểu chứng minh của một vấn đề và các bánh răng cưa chạy trong một lý thuyết. Không may mắn thay, các câu hỏi lớn tôi định làm nói chung lại tỏ ra rất khó. Điều này tự nhiên gây ra cơn thất vọng nhưng tôi là một người lạc quan. Điều truyền cảm hứng cho tôi hiếp tục chắc chắc là hy vọng một ngày nào đó được nhìn thấy lời giải cho những câu hỏi lớn này. Một nguồn hy vọng và cảm hứng khác là để chứng kiến các bước tiến hùng vĩ trong những chủ đề và các lĩnh vực toán học khác.

 

Nguồn: https://www.ihes.fr/...h-joseph-ayoub/

Dịch: Phạm Khoa Bằng, Đại học Rennes 1.

Cảm ơn anh. Em vẫn muốn hỏi thêm tại sao có nghịch đảo thì bảo toàn hạng. Vì hạng của ma trận m*n không phải là ma trận vuông.

Hạng của một ma trận $A$ với các hàng $H_1,...,H_m$ (mỗi $H_i$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$) là số chiều của không gian vector sinh bởi các vector $H_1,...,H_m$. Nếu bạn biến đổi sơ cấp trên các hàng, ví dụ $H_1+2H_2,H_2,...,H_m$ thì không thay đổi không gian mà nó sinh ra, vì hai hệ sinh có thể biến đổi ngược lại nhau.

Thưa mọi người, em muốn hỏi tại sao biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Sách giải thích rất đơn sơ ạ

https://vi.m.wikiped.../Ma_trận_sơ_cấp

Bạn xem ở đây. Lý do vì mỗi biến đổi sơ cấp tương đương với phép nhân với một ma trận sơ cấp, mà mà trận sơ cấp thì khả nghịch nên nó không thay đổi hạng.

Cảm ơn @bangbang1412 rất nhiều về bài viết mà phải nói là quá công phu và trình bày rất đẹp mắt! Tuyệt vời!

Mới bổ sung khá nhiều anh ạ do em ở nhà cuối tuần chán nên viết tý.

Lân cận của điểm

 

Giờ đây ta biết số nguyên tố $p$ xác định một ideal nguyên tố $(p)$, và do đó là điểm $(p) \in \mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$. Một lân cận của $(p)$ thì trông như thế nào?

 

Ta biết rằng cơ sở của tô-pô Zariski là các tập $D(n)$ với $n \in \mathbf{Z}$. Như vậy nếu $(p) \notin D(n)$ thì có nghĩa là

$$n((p)) = 0 \Leftrightarrow n = 0 \ \mathrm{mod} \ p \Leftrightarrow p \mid n.$$

Điều này cũng trực tiếp suy ra mỗi hàm $n \in \mathbf{Z}$ chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm (giống như một đa thức chỉ có hữu hạn nghiệm). Nói cách khác tập $D(n)$ là là kỳ cục, nó là phần bù của một tập hữu hạn không chứa $(0)$ trong $\mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$, i.e. có dạng

$$\mathrm{Spec}(\mathbf{Z}) - \left \{(p_1),...,(p_r) \right \}$$

nếu $\left \{p_1,...,p_r \right \}$ là tập các ước nguyên tố của $n$. Nói cách khác, dù họ $D(n)$ là một cơ sở cho tô-pô. Nhưng các phần tử của cơ sở này không tốt chút nào: CHÚNG KHÔNG NHỎ, HAY CÒN RẤT TO LÀ KHÁC! (mọi tập $D(n)$ đều trù mật trong $\mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$)Thêm một tính chất nữa, trong không gian Hausdorff, nếu bạn lấy giao tất cả các lân cận của một điểm thì bạn thu được chính điểm đó. Giờ nếu ta lấy giao

$$\bigcap_{(p) \in D(n)} D(n)$$

thì ta thu được cái gì? Hãy viết cái này dưới dạng thân thương hơn

$$\bigcap_{n \notin (p)} \left \{n \neq 0 \right \}.$$

Để nói rằng giao này không hề nhỏ, ta hãy nhìn vào các hàm trên nó, hãy tự thuyết phục bản thân bạn rằng các hàm trên nó là cái gì đó như thế này

$$\bigcup_{n \notin (p)} \mathbf{Z}\big[\frac{1}{n}\big].$$

Trong đó hợp này giao được lấy trong một tập to hơn, dễ nhất là lấy trong $\mathbf{Q}$. Tới đây, ta thu được một vành "khá to", nó là địa phương hóa $\mathbf{Z}_{(p)}$ của $\mathbf{Z}$ tại ideal $(p)$. Ở dạng tập hợp, như trên đã gợi ý, nó chính là

$$\mathbf{Z}_{(p)} = \left \{\frac{n}{m} \in \mathbf{Q} \mid p \nmid m \right \}.$$

Như vậy ít nhất nó trái với trực giác chúng ta là hàm trên không gian một điểm thì toàn là tầm thường. Các hàm trong tập $\mathbf{Z}_{(p)}$ trái lại chẳng có vẻ tầm thường chút nào. Chẳng hạn thay vì $\mathbf{Z}$ bạn hãy nhìn vào vành $\mathbf{C}[x]$ và lấy giao tất cả các lân cận của điểm $(x-a)$ thì các bạn nhận được là gì? Nó chính là các hàm hữu tỷ $\frac{f(x)}{g(x)}$ mà $g(a) \neq 0$ (viết cách khác $g((x-a)) \neq 0$, giống như $\frac{n}{m} \in \mathbf{Q}$ với $m((p)) \neq 0$). Mỗi hàm hữu tỷ như vậy đều có khai triển Taylor tại $x=a$ ở dạng

$$\frac{f(x)}{g(x)} = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots + a_n(x-a)^n + \cdots \ a_i \in \mathbf{C}=\mathbf{C}[x]/(x-a)$$

và do đó bạn đoán rằng các số hữu tỷ trong tập $\mathbf{Z}_{(p)}$ cũng phải có dạng

$$\frac{n}{m} = a_0 + a_1p + a_2p^2 + \cdots + a_n p^n + \cdots \ a_i \in \mathbf{Z}/p,$$

tức là các hệ số thực chất chỉ cần lấy trong tập $\left \{0,1,...,p-1 \right \}$. Đây là ví dụ đầu tiên về số $p$-adic một cách hình học. Nhưng thực chất, tập $\mathbf{Z}_{(p)}$ chưa vét cạn các số nguyên $p$-adic.

 

Tuy nhiên ta hãy dành nó cho phần sau. Ở đây từ các suy luận trên ta thấy rằng với mỗi điểm $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ thì ta có một vành $R_{\mathfrak{p}}$ là vành địa phương (chỉ có một ideal cực đại). Đến đây ta tạm gọi là đã vẽ được phần nào bức tranh về lược đồ affine

$$((R,\mathrm{Spec}(R)), (R_f,D(f)), (R_{\mathfrak{p}},\bigcap_{\mathfrak{p} \in D(f)} D(f) ) ).$$ Một cấu xạ giữa các lược đồ affine là một cấu xạ tại "từng vị trí" của biểu diễn như trên (tại điểm này, mình đã bỏ qua lý thuyết bó, các bạn có thể xem bài của anh nmlinh16 để tìm hiểu thêm - tuy nhiên điều đó không thật sự quan trọng ở đây). Một đồng cấu vành $\phi:R \longrightarrow R'$ cho ta một đồng cấu lược đồ affine

$$\mathrm{Spec}(R') \longrightarrow \mathrm{Spec}(R), \mathfrak{q} \longmapsto \phi^{-1}(\mathfrak{q}).$$ và xây dựng $R \longmapsto \mathrm{Spec}(R)$ bảo toàn thông tin:

 

Nghiên cứu một vành cũng bằng với nghiên cứu lược đồ affine của nó.

 

 

Giống như đa tạp là việc dán các mảnh $\mathbf{R}^n$, ở đây ta có:

 

Định nghĩa. Một lược đồ là một không gian tô-pô mà về mặt địa phương (tức là mỗi điểm có một lân cận) là một lược đồ affine.

 

Lại là điểm - nhưng hình học!

 

Ta biết rằng mỗi một điểm $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ cho ta một thông tin, đó là trường thặng dư $\kappa(\mathfrak{p}) = \mathrm{Frac}(R/\mathfrak{p})$. Đồng cấu vành $R \longrightarrow \mathrm{Frac}(R/\mathfrak{p})$ cho ta một đồng cấu lược đồ $\mathrm{Spec}(\kappa(\mathfrak{p})) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R)$ như lưu ý ở phần trước.

 

Định nghĩa. Một điểm của lược đồ $\mathrm{Spec}(R)$ là một cấu xạ $\mathrm{Spec}(k) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R)$ trong đó $k$ là một trường. Khi $k$ là đóng đại số, ta gọi nó là điểm hình học.

 

Giờ bạn có thể nghĩ rằng $\mathrm{Spec}(k)$ chỉ là một điểm (vì $k$ là một trường, nên chỉ có một ideal khác $(1)$ là $(0)$) thì có gì thú vị mà nghiên cứu?

 

Nghĩ vậy thì bạn nhầm! Về mặt tô-pô nó là một điểm, nhưng đừng quên nó mang trên mình "phép gán vành" (mỗi tập mở được gán một vành), do đó các hàm trên $\mathrm{Spec}(k)$ là cả $k$ nên nó có thể rất to.

 

Về mặt tô-pô thì $\mathrm{Spec}(k)$ là một điểm nên cấu xạ $\mathrm{Spec}(k) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R)$ xác định cho ta một điểm $\mathfrak{p}$. Về mặt đồng cấu vành nó cho ta một dãy đồng cấu vành

$$R \longrightarrow \kappa(\mathfrak{p}) \longrightarrow k$$

và do đó ta có thể nói về giá trị hàm $f \in R$ như ảnh của dãy đồng cấu vành này. Tóm lại điểm vẫn là chỗ mà ta tính giá trị, và giá trị nằm trong một trường.

 

Thế thì tại sao lại quan tâm đến tính đóng đại số (điểm hình học)? Thực ra điểm hình học là chỗ ta tìm nghiệm đầu tiên. Hãy nhớ lại rằng việc giải phương trình

$$x^{7.000.000.000}-2=0$$

trên $\mathbf{Q}$ tương đương với việc tìm các cấu xạ (lát cắt) $\mathrm{Spec}(\mathbf{Q}) \longrightarrow \mathrm{Spec}(\mathbf{Q}[x]/(x^{7.10^9}-2))$. Tuy nhiên ta biết rằng phương trình này không có nghiệm trên $\mathbf{Q}$ đơn giản do $2$ thậm chí còn không có căn bậc $2$ do đó chẳng có cấu xạ nào như vậy. Nhưng nếu ta xem xét điểm hình học $\mathrm{Spec}(\mathbf{C}) \longrightarrow \mathrm{Spec}(\mathbf{Q}[x]/(x^{7.10^9}-2))$ thì tương đương với việc giải

$$x^{7.000.000.000}-2=0$$

trong $\mathbf{C}$, do đó nó có tới $7$ tỷ nghiệm, và do đó tương ứng với $7$ tỷ cấu xạ!

 

Quay lại với phương trình nghiệm nguyên

 

Như trong phần đầu tiên đã hứa rằng nói việc giải địa phương một hệ phương trình đa thức hệ số nguyên

$$f_1(x_1,...,x_n) = ... = f_r(x_1,...,x_n)=0 (f_i \in \mathbf{Z}[x_1,...,x_n])$$

tương đương với với việc giải địa phương quanh số nguyên tố $p$. Tức là giải quanh lân cận của ideal $(p) \in \mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$. Tuy nhiên ta đã biết rằng các lân cận này rất xấu. Thực tế, chúng xấu vì cái tô-pô chúng xác định xấu. Tô-pô Zariski quá thô (đa số các tập mở đều to, đều trù mật). Làm thế nào để có một tô-pô mịn hơn tô-pô Zariski mà việc giao tất cả lân cận cho ta "một điểm" như trong trường hợp tô-pô?

 

Câu trả lời là một trong các phát kiến cực kỳ sáng tạo của Grothendieck và trường phái của ông: tô-pô étale (tô-pô étale làm cho định lý hàm ngược đúng). Nhưng ngay cả tô-pô étale cũng chưa phải tô-pô đúng trong trường hợp này. Mà nó là cái gọi là tô-pô Nisnevich. Tuy nhiên cả hai tô-pô này quá phức tạp để giới thiệu cho một người mới bắt đầu học hình học đại số do đó ta hãy phủi tay một chút.

 

Giả thiết. Tồn tại một tô-pô trên $\mathrm{Spec}(R)$ mà giao tất cả tập mở chứa $(p)$ cho ta một không gian mà các hàm trên không này là một vành ký hiệu $R_{\mathfrak{p}}^h$. Nó là một $R_{\mathfrak{p}}$-đại số và là một vành địa phương với ideal cực đại $\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}^h$.

 

Bạn có thể đoán rằng $\mathbf{Z}_{(p)}^h$ là các số nguyên $p$-adic. Nếu vậy, bạn lại nhầm. Tuy nhiên ta biết rằng ta đã đến gần hơn với câu trả lời. Hãy để mình gọi $\mathbf{Z}_{(p)}^h$ là "Hensel hóa" của $\mathbf{Z}_{(p)}$. Tức là nó thỏa mãn bổ đề Hensel.

 

Định nghĩa. Cho $(A,\mathfrak{m},k)$ là một vành địa phương (tức là $\mathfrak{m}$ là ideal cực đại duy nhất, $k=A/\mathfrak{m}$ là trường thặng dư), với mỗi $f \in A[x]$, ta ký hiệu $\overline{f}$ là ảnh của $f$ qua phép lấy modulo $\mathfrak{m}$, $A[x] \longrightarrow k[x]$. Ta nói $A$ thỏa mãn bổ đề Hensel hay gọi $A$ là vành Hensel nếu $f \in A[x]$ có phân tích $\overline{f}=g_0h_0$ trong $k[x]$ thì tồn tại $g,h \in A[x]$ sao cho $f=gh$ và $\overline{g}=g_0$ và $\overline{h}=h_0$.

 

Nói cách khác, phân tích trong $k[x]$ có thể nâng lên thành phân tích trong $A[x]$. Nói riêng, nghiệm trong $k[x]$ có thể nâng lên thành nghiệm trong $A[x]$.

 

Để thực sự đạt được câu trả lời ta hãy quay lại với trường hợp hàm phức, nơi mà tô-pô đủ tốt để ta không phải thêm thắt gì và hãy đoán xem Hensel hóa của $\mathbf{C}[x]_{(x-a)}$ (các hàm với mẫu không có nghiệm $a$) là gì?

 

Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân. Làm thế nào để giải một phương trình vi phân một biến $Df=0$ tại lân cận một điểm? Phương pháp dễ nhất là phương pháp chuỗi, nó thực hiện theo hai bước sau.

• Tìm một nghiệm hình thức $\mathbf{C}[[x-p]]$ (các chuỗi hình thức, không có điều kiện hội tụ) bằng cách thế nào phương trình và kiểm tra xem các hệ số này cho ta cái gì.
• Kiểm tra xem chuỗi này hội tụ không. Ta ký hiệu $\mathbf{C}\left \langle x-p  \right \rangle$ là tập các chuỗi $\sum_{i=0}^{\infty}a_i(x-a)^i$ mà có bán kính hội tụ dương. Tập này dĩ nhiên là một vành.

Một lợi thế của việc tìm nghiệm trong $\mathbf{C}\left \langle x-a  \right \rangle$ là phương trình $Df=0$ có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại các đa thức $f_n \in \mathbf{C}[x-a]$ với $\mathrm{deg}(f_n) \leq n$ sao cho $Df_n=0$ và dãy $(f_0,f_1,...f_n,...)$ hội tụ theo một nghĩa nào đó: các hệ số của nó cho ta một chuỗi có bán kính hội tụ dương. Như vậy bạn có thể đoán rằng $\mathbf{C}[x]_{(x-a)}^h = \mathbf{C}\left \langle x-a  \right \rangle$ tuy nhiên ta cần ghi nhớ tính chất đặc biệt bằng việc xấp xỉ đa thức của $\mathbf{C}\left \langle x-a  \right \rangle$

$$\mathbf{C}[x]_{(x-a)}^h = \mathbf{C}\left \langle x-a  \right \rangle = \lim \ \mathbf{C}[x]_{(x-a)}^h/ (x-a)^n.$$

Nói cách khác, ta nên xem xét vành

$$\lim \mathbf{Z}^h_{(p)}/p^n \mathbf{Z}^h_{(p)} = \mathbf{Z}_{(p)}/p^n\mathbf{Z}_{(p)} = \lim \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$$

Và vành này hóa ra lại là vành các số nguyên $p$-adic $\mathbf{Z}_p$ (chứ không phải $\mathbf{Z}_{(p)}^h$ như trường hợp trên) và tiêu chuẩn xấp xỉ bởi đa thức được viết lại thành cái mà chúng ta đã có ở bài trước.

 

Định lý. Một phương trình có nghiệm $p$-adic khi và chỉ khi nó có nghiệm modulo $p^n$ với mọi $n$.

 

Tóm lại ta vừa chứng minh rằng làm việc địa phương tức là giải $p$-adic một hệ phương trình $f_1=...=f_r$ thì tương đương với tìm các biểu đồ giao hoán

\begin{xy}
\xymatrix {
 \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}_p)  \ar[r] \ar[dr]& \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}_p[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r)) \ar[d] \\
& \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}_p)
}
\end{xy}

 

Ta sẽ ứng dụng nó để tìm hiểu (không phải chứng minh đủ) một định lý rất nổi tiếng trong số học, định lý Legendre nôm na nói rằng một phương trình thuần nhất bậc hai ba biến có nghiệm khi và chỉ khi nó có tất cả các nghiệm địa phương. Nhưng trước tiên ta hãy chứng minh một định lý thú vị hơn trong giải tích phức: định lý Liouville. Định lý Liouville nói rằng hàm chỉnh hình bị chặn trên toàn mặt phẳng thì là hằng số.

 

Trước tiên ta hãy đến với một lớp lược đồ cực kỳ quan trọng: các không gian xạ ảnh!

 

Không gian xạ ảnh: một lớp lược đồ không affine

 

Trong phần trước mình đã định nghĩa một lược đồ là hợp của các lược đồ affine nhưng thực tế chỉ làm việc với các lược đồ affine nên có thể bạn sẽ hỏi: có hay không các lược đồ không affine? Dĩ nhiên câu trả lời là có rất nhiều, nếu không người ta không cần tốn công vẽ ra lược đồ làm gì vì chỉ làm với affine thì cũng tương đương làm với vành. Tuy nhiên điều này không có nghĩa bạn có thể làm việc trực tiếp với các lược đồ mà bỏ qua phần affine. Giống như các tính toán trên đa tạp bạn luôn phải quy về các bản đồ địa phương thì ở đây cũng vậy.

 

Slogan. Làm địa phương, kết quả toàn cục.

 

Một lớp lược đồ rất quan trọng (mà hầu hết các lược đồ khác đều được nhúng vào chúng theo nghĩa nào đó) là các không gian xạ ảnh trên trường (ở đây ta bỏ qua các vành để tránh phiền phức). Để hiểu chúng ta hãy tới với ví dụ đơn giản nhất: đường thẳng xạ ảnh (projective line) hay còn gọi trong giải tích phức là mặt cầu Riemann.

 

Mặt cầu Riemann $S = \mathbf{P}^1 = \mathbf{C} \cup \left \{\infty \right \}$ là cách ta thêm vào mặt phẳng một điểm vô cùng, thường được biểu diễn bằng cách lấy trong không gian ba chiều (ba chiều thực, vì $\mathbf{C}$ là hai chiều phức) sau đó lấy điểm cực bắc $N = (0,0,1)$ chiếu xuống.

 

Nhưng như vậy thì tô-pô của $\mathbf{P}^1$ xung quanh $N=\infty$ là như thế nào (do nó không nằm trên $\mathbf{C}$ nên tô-pô của nó không hiển nhiên), bạn có thể thấy rằng một lân cận vô cùng bé của $N$ trên mặt cầu sẽ chiều một vùng vô cùng lớn xung quanh gốc tọa độ $\mathbf{0}=(0,0,0)$. Đây là cách định nghĩa dễ nhất. Về mặt đại số nó nói rằng tọa độ $z$ tiến về $N$ khi và chỉ khi hàm $\frac{1}{z}$ tiến về $0$. Nói cách khác,

$$\frac{1}{z}(\infty) = 0$$

và hơn nữa $\frac{1}{z}(\mathbf{0}) = \infty$. Nếu bây giờ bạn lắp một mặt phẳng song song với $\mathbf{C}$ với gốc tọa độ mới là $N$ thì bạn đã đảo vị trí của $N$ và $\mathbf{0}$ và điều này diễn tả dạng đại số là

$$z(\infty) = \infty, z(0) = 0.$$

Tất cả những điều mình vừa thảo luận để nói rằng nếu bạn chỉ dùng cả mặt cầu thì không đủ sức để tô-pô hóa $S$ mà bạn phải dùng hai mảnh $U=S \setminus \left \{\infty \right \}$ và $V=S \setminus \left \{\mathbf{0} \right \}$. Bạn lần lượt có hai hàm tọa độ: $\frac{1}{z}$ trên $V$ và $z$ trên $U$. Hai mảnh $U,V$ đẳng cấu với nhau qua phép đảo tọa độ  $z \mapsto \frac{1}{z}$. Thông qua phép đảo này hai điểm $0$ và $\infty$ đổi vị trí cho nhau. Nhớ rằng $U = \mathbf{C}$ là đường thẳng (đường thẳng vì nó một chiều phức - chứ không phải xét hai chiều thực tức là mặt phẳng) và do đó $V$ cũng là đường thẳng.

 

Điều này gợi ý một cách làm đại số: ta tìm hai đường thẳng và dán chúng lại ở phần giao. Vậy cái gì đóng vai tró một đường thẳng? Chúng ta vốn đã biết rồi, nó chính là $\mathrm{Spec}(\mathbf{C}[x])$ mà từ giờ sẽ ký hiệu hiệu là $\mathbf{A}_{\mathbf{C}}^1$. Các điểm của nó chỉ là các ideal $(x-a)$ và ứng với các điểm $a$ trong $\mathbf{C}$. Ta đã xử lý được mảnh $U$, còn mảnh $V$. Ta nhớ rằng $V$ là chỗ mà tọa độ $x$ khả nghịch. Vậy đơn giản nhất ta lấy mảnh $V$ là $\mathrm{Spec}(\mathbf{C}\big[\frac{1}{x} \big])$.

 

Định nghĩa. Đường thẳng xạ ảnh $\mathbf{P}^1$ là một lược đồ có một phủ mở gồm hai lược đồ $\mathrm{Spec}(\mathbf{C}[x]) \cup \mathrm{Spec}(\mathbf{C}\big[\frac{1}{x} \big])$ và trên phần giao $\mathbf{C}\big[x,\frac{1}{x}\big]$ chúng được tính thông qua phép nghịch đảo tọa độ $x \mapsto \frac{1}{x}$.

 

Một hàm trên $\mathbf{P}^1$ thì trông như thế nào? Trước tiên một hàm trên $\mathbf{P}^1$ thì phải là hàm trên cả hai mảnh $U,V$ và bằng nhau trên phần giao $U \cap V$. Một hàm trên $U$ thì là một đa thức $f(x)$ còn một hàm trên $V$ là một đa thức $g(\frac{1}{x})$ và chúng bằng nhau khi và chỉ khi chúng là hằng số trên $\mathbf{C}$. Đây chính là nội dung của định lý Liouville đại số. Ta còn suy ra một hệ quả quan trọng nữa: $\mathbf{P}^1$ không affine, vì nếu affine thì nó phải đẳng cấu với phổ $\mathrm{Spec}(\mathbf{C})$ của tất cả các hàm của nó, nhưng phổ này là phổ của một trường nên tầm thường trong khi $\mathbf{P}^1$ có rất nhiều điểm.

 

Làm thế nào để mở rộng xây dựng này lên trường hợp nhiều chiều?

 

Điều này không quá khó nếu ta nhìn vào các điểm của $\mathbf{P}^1$ (trong trường hợp giải tích). Chúng tham số hóa cái gì? Rõ ràng một điểm trên mặt phẳng $\mathbf{C}$ nối với điểm cực bắc $N$ cho ta một đường thẳng, nó cắt mặt cầu tại duy nhất một điểm. Nói cách khác, mỗi điểm khác $N$ tương ứng với duy nhất một đường thẳng. Nhưng bản thân $N$ có thể xem là một đường thẳng suy biến. Nói cách khác, $\mathbf{P}^1$ có điểm là các đường thẳng.

 

Điều này cho ta một mô tả khác của $\mathbf{P}^1$: mỗi điểm của nó là một bộ $(x_0,x_1)$ với $x_i \in \mathbf{C}$ nhưng chỉ xác định chính xác phép nhân với vô hướng khác không, i.e. $(x_0,x_1) = (\lambda x_0, \lambda x_1)$ với $\lambda \in \mathbf{C}^{\times}$ (do mỗi đường thẳng qua gốc tọa độ chỉ xác định duy nhất bằng một điểm và các điểm còn lại là bội của điểm này). Khi đó mảnh $U$ và $V$ lần lượt tương ứng với vị trí $x_0 \neq 0$ và $x_1 \neq 0$, do đó các điểm trong $U,V$ lần lượt có dạng $\big[1,\frac{x_1}{x_0}]$ và $\big[\frac{x_0}{x_1},1\big]$ và nếu dùng cách này ta có thể viết

$$\mathbf{P}^1 = \mathrm{Spec}(\mathbf{C}\big[\frac{x_0}{x_1}\big]) \cup \mathrm{Spec}(\mathbf{C}\big[\frac{x_1}{x_0}\big]),$$

và giờ hãy tự thuyết phục bạn rằng nếu $\mathbf{P}^n$ tham số hóa các đường thẳng trong không gian $n$-chiều thì nó phải cái gì đó trông như thế này

$$\mathbf{P}^n = \bigcup_{i=0}^n \mathrm{Spec}\bigg(\mathbf{C}\big[\frac{x_0}{x_i},...,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},...,\frac{x_n}{x_i} \big]\bigg).$$

và các phép chuyển tọa độ giữa hai mảnh

$$\mathrm{Spec}\bigg(\mathbf{C}\big[\frac{x_0}{x_i},...,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},...,\frac{x_n}{x_i} \big]\bigg) \longrightarrow \mathrm{Spec}\bigg(\mathbf{C}\big[\frac{x_0}{x_j},...,\frac{x_{j-1}}{x_j},\frac{x_{j+1}}{x_j},...,\frac{x_n}{x_j} \big]\bigg)$$

sẽ là $\frac{x_k}{x_i} \mapsto \frac{x_k}{x_i} \frac{x_i}{x_j}$. Tương tự với $\mathbf{P}^1$, bạn có thể chứng minh tất cả các hàm trên $\mathbf{P}^n$ là hàm hằng.

 

Vậy bạn sẽ hỏi nếu lược đồ affine cho ta một cách nhìn về việc giải phương trình thì $\mathbf{P}^n$ có cho ta cách nhìn nào như vậy không? Và nếu có các phương trình của nó có dạng nào không?

 

Câu trả lời là nó giúp ta giải các phương trình thuần nhất. Một đa thức thuần nhất bậc $d$ là một đa thức $f(x_1,...,x_n)$ thỏa mãn

$$\lambda^d f(x_1,...,x_n) = f(\lambda x_1,...,\lambda x_n)$$

do đó bộ nghiệm của $f(x_1,...,x_n)=0$ xác định trên từng đường thẳng, ví dụ $x_0^2+x_1^2-x_2^2=0$, và sẽ hợp lý hơn nếu ta lấy nghiệm trong không gian xạ ảnh. Với mọi đa thức thuần nhất $f$ như vậy ta có thể xây dựng một không gian tương tự như không gian xạ ảnh mà sẽ ký hiệu là $\mathrm{Proj}\bigg(\frac{\mathbf{C}[x_1,...,x_n]}{f(x_1,...,x_n)}\bigg)$ (ở đây $\mathbf{P}^n = \mathrm{Proj}(\mathbf{C}[x_1,...,x_n])$). Để làm như vậy ta xây dựng trên từng mảnh $\mathrm{Spec}\bigg(\mathbf{C}\big[\frac{x_0}{x_i},...,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},...,\frac{x_n}{x_i} \big]\bigg)$ và dán chúng lại với nhau. Ví dụ với phương trình $x_0^2+x_1^2=x_2^2=0$ thì trên mảnh mà $x_2 \neq 0$ thì nó tương đương với việc tìm các lát cắt của

$$\mathrm{Spec}(\mathbf{C}[t_0,t_1]/(t_0^2+t_1^2-1)) \longrightarrow \mathrm{Spec}(\mathbf{C})$$

(lưu ý ở đây ta có thể thay $\mathbf{C}$ bằng $\mathbf{Z}$ hay $\mathbf{Q}$ tùy ý) và tương tự ở chỗ $x_0,x_1\neq0$. Ta giải rồi dán chúng lại với nhau để nhận được nghiệm toàn cục.

 

Định lý Legendre

 

Giờ ta hãy xem xét cách giải địa phương định lý Legendre (không phải chứng minh hoàn chỉnh) thì như thế nào.

 

Định lý Legendre. Cho $a,b,c \in \mathbf{Z}$ là ba số nguyên khác không và đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó phương trình

$$f_{a,b,c}(x,y,z) = ax^2+by^2+cz^2$$

có nghiệm khi và chỉ khi hai kiện sau cùng thỏa mãn:

• Ba số $a,b,c$ không cùng dấu.
• $-ab$ là bình phương modulo $\left|c\right|$, $-bc$ là bình phương modulo $\left|a \right|$, $-ac$ là bình phương modulo $\left|b \right|$.

Chứng minh. Ta đã nói rằng việc giải phương trình $f_{a,b,c}(x,y,z)$ thì tương đương với việc tìm các biểu đồ

\begin{xy}
\xymatrix {
 \mathrm{Spec}(\mathbf{Z})  \ar[r] \ar[dr]& \mathrm{Proj}\bigg(\frac{\mathbf{Z}[x,y,z]}{f_{a,b,c}(x,y,z)}\bigg) \ar[d] \\
& \mathrm{Spec}(\mathbf{Z})
}
\end{xy}

và do đó tìm nghiệm $p$-adic, hay còn gọi là nghiệm địa phương thì tương đương với việc "giải biểu đồ"

\begin{xy}
\xymatrix {
 \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}_p)  \ar[r] \ar[dr]& \mathrm{Proj}\bigg(\frac{\mathbf{Z}_p[x,y,z]}{f_{a,b,c}(x,y,z)}\bigg) \ar[d] \\
& \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}_p)
}
\end{xy}

(sẽ không vấn đề nếu ta thay $\mathbf{Z}_p$ bằng $\mathbf{Q}_p$) rồi ta sẽ hy vọng với mọi $p$ tồn tại một nghiệm địa phương thì sẽ tồn tại một nghiệm hữu tỷ (do đó nghiệm nguyên). Vậy làm thế nào tìm nghiệm địa phương? Ta dựa vào bổ đề Hensel, nó nói nôm na rằng nếu phương trình có nghiệm trên $\mathbf{Z}/p$ thì sẽ có nghiệm trên $\mathbf{Z}_p$. Giờ hãy xem xét phương trình

$$f_{a,b,c}(x,y,z) = ax^2+by^2+cz^2 = 0 \ \mathrm{mod} \ p$$

Có hai trường hợp:

• Nếu $p$ không là ước của cả ba số $a,b,c$ thì ta có thể giả sử $c=1$ và do đó quy về giải $ax^2+by^2+z^2=0$ và do đó rút gọn về phương trình $ax^2+by^2+1=0$. Nói cách khác hai tập $\left \{ax^2 \right \}$ và $\left \{-by^2-1\right \}$ phải có phần giao. Do $a,b$ khác $0$ modulo $p$ nên mỗi tập này có chính $\frac{p-1}{2}+1$ phần tử, hợp của cả hai tập do đó có $p+1$ phần tử, nhiều hơn $1$ so với số phần tử của $\mathbf{Z}/p$. Do đó chúng có phần giao, là nghiệm. Theo bổ đề Hensel thì $f_{a,b,c}$ có nghiệm trong $\mathbf{Q}_p$.
• Nếu $p$ là ước của một trong ba số $a,b,c$ thì nó chỉ là ước của duy nhất một trong ba số $a,b,c$. Không giảm tổng quát ta giả sử $p \mid c$. Ta tìm nghiệm địa phương ở bản đồ $\mathrm{Proj}\bigg(\frac{\mathbf{Z}[x,y,z]}{f_{a,b,c}(x,y,z)}\bigg) \cap \mathrm{Spec}(\mathbf{Z}\big[\frac{x}{z},\frac{y}{z}\big])$ tức là chỗ mà $z \neq 0$. Ở bản đồ này $f_{a,b,c}$ trơn (như vậy mới áp dụng được bổ đề Hensel) trên $\mathbf{Z}_p$. Như vậy một lần nữa ta quy về việc giải $ax^2+by^2=0$ trên $\mathbf{Z}/p$ với điều kiện $z \neq 0$. Theo giả thiết thì $-ab$ là bình phương modulo $p$ nên $-ab = t^2$ và phương trình ban đầu có thể viết lại $(ax)^2 = (ty)^2$. Ta thử giải $ax=ty$. Do $t \neq 0$ (vì $p$ không là ước của $ab$) nên nó tương đương với $(at^{-1})x=y$, phương trình này có nghiệm $x=1,y=at^{-1}$.

Như vậy ta đã hoàn tất bài toán giải địa phương. Vậy để kết luận nó có thể nâng lên một nghiệm toàn cục là nội dung của nguyên lý địa phương-toàn cục (hay còn gọi là nguyên lý Hasse) mà anh @nmlinh16 đã bàn tới trong bài này.

Đã rất lâu kể từ khi Grothendieck giới thiệu lý thuyết lược đồ (scheme theory) trong bộ "Éléments de géométrie algébrique" thì tới nay lược đồ đã trở thành một ngôn ngữ cơ bản của hình học đại số và có ứng dụng sâu rộng trong những ngành liên quan như lý thuyết số.

 

The very notion of a scheme has a childlike simplicity - so simple, so humble in fact that no one before me had the audacity to take it seriously.

 

Nó đã một lần và mãi mãi thay đổi hình học đại số thành một ngôn ngữ quá sức trừu tượng với bất cứ ai, nhất là những ai không có khả năng về đại số (David Mumford từng viết một bài "Có thể giải thích lý thuyết lược đồ cho một nhà sinh học không?") vì một lý do đơn giản, nó dựa rất nặng trên ngôn ngữ đại số giao hoán. Ngày nay không ai có thể học hình học đại số mà không học ngày càng nhiều đại số giao hoán. Vào thời kỳ mà lý thuyết lược đồ mới bắt đầu, nó đã làm "sấp ngửa" các nhà toán học. David Mumford từng viết

 

Then Grothendieck came along and turned a confused world of researchers upside down, overwhelming them with the new terminology of schemes as well as with a huge production of new and very exciting results. These notes attempted to show something that was still very controversial at that time: that schemes really were the most natural language for algebraic geometry and that you did not need to sacrifice geometric intuition when you spoke "scheme".

 

Thậm chí ngay cả P. Cartier, một người mà Grothendieck đặc biệt ngưỡng bộ về tốc độ học những thứ mới cũng phải kêu lên rằng hình học đại số có ba cuộc lột xác và ông phải học kiến thức mới qua cả ba lần đó: đầu tiên bắt từ trường phái Ý, sau đó đến Serre và cuối cùng nó hoàn toàn thay đổi sau Grothendieck.

 

Ngày nay, có vô vàn sách về hình học đại số được viết dưới các ngôn ngữ rất trừu tượng và thông thường sinh viên đại học phải có một lượng kiến thức chuẩn bị cực kỳ lớn để thực sự hiểu được cái đẹp của hình học đại số, rằng nó thực sự là hình học chứ không phải chỉ là một loạt các định nghĩa vô cùng trừu tượng từ trên trời rơi xuống. Nhưng đó là cản trở đầu tiên của bất cứ sinh viên nào muốn tiếp cận hình học đại số: người ta phải sẵn sàng lao thân vào một vũng bùn trước khi sang được bờ bên kia.

 

Bài viết này của mình là một dẫn nhập không chính thức (informal) cho các bạn sinh viên nào muốn tiếp cận hình học đại số mà vẫn loay hoay với lý thuyết lược đồ. Do đó không thực sự có định nghĩa, không thực sự có chứng minh, chỉ là các bàn luận và chỉ ra rằng rất nhiều thứ trong hình học đại số có động lực từ hình học và tô-pô. Nó cũng không phải một bài viết mang tính lịch sử, tức là thảo luận tiến trình phát triển hình học đại số và lý thuyết số mà mình sẽ viết, theo cách nào đó để người mới tiếp cận cảm thấy lý thuyết này tự nhiên nhất và xây dựng cho bản thân một trực giác để có thể học dễ dàng hơn; do đó không tránh khỏi việc có những thứ mang tính "đoán". Khi hỏi bất cứ ai làm hình học đại số câu hỏi "hình học đại số là gì?" nhiều khả năng bạn sẽ nhận được câu trả lời "là một ngành nghiên cứu nghiệm của các phương trình" nhưng nếu bạn mở các sách hình học đại số ra thì nhận được toàn là "vành địa phương chính quy", "bó tựa nhất quán", "đối đồng điều",... Vậy chúng ta hãy quay lại câu hỏi về việc giải phương trình, một trong các nguồn gốc đầu tiên cho hình học đại số hiện đại đến từ lý thuyết số: bài toán giải các phương trình nghiệm nguyên.

 

Phương trình nghiệm nguyên tới số nguyên p-adic

 

Giả sử ta có một phương trình

$$F(x_1,...,x_n) = 0$$

trong đó $F \in \mathbf{Z}[x_1,...,x_n]$ là một đa thức với hệ số nguyên và ta được yêu cầu tìm các nghiệm nguyên (tương đương, hữu tỷ) của nó. Câu hỏi này thông thường là quá khó để giải và nó chính là bài toán thứ $10$ của Hilbert. Câu trả lời khá dễ đoán: không tồn tại một cách giải tổng quát một phương trình cho trước. Do đó chúng ta có thể thử làm yếu bài toán, giải một phương trình như trên trong modulo $m$ nào đó, tức là

$$F(x_1,...,x_n) = 0 \ \mathrm{mod} \ m$$ liệu có nghiệm modulo $m$ không. Bằng định lý thặng dư Trung Hoa, ta quy về giải các phương trình

$$F(x_1,...,x_n) = 0 \ \mathrm{mod} \ p^v$$ trong đó $p$ là một số nguyên tố. Đây là chỗ các số $p$-adic nhảy vào cuộc chơi (các bạn có thể xem lại bài này của anh @nmlinh16).

 

 

Trong bài viết đó anh nmlinh16 đã thử giải phương trình $x^2+1$ modulo $5$ và nói rằng cách giải này là địa phương. Trước tiên nhắc lại một số nguyên $p$-adic là một tổng hình thức (tức là chưa nói đến việc nó hội tụ theo nghĩa nào)

$$a_0 + a_1p + \cdots + a_n p^n + \cdots$$ với $0 \leq a_i <p$ là các số nguyên. Ký hiệu tập số nguyên $p$-adic bởi $\mathbf{Z}_p$. Tương tự, các số hữu tỷ $p$-adic có dạng hình thức

$$a_{-m}p^{-m} + \cdots + a_{-1}p^{-1} + a_0 + a_1p + a_2p^2 +\cdots$$ với $0\leq a_i < p$ là các số nguyên; viết khác đi $a_i \in \mathbf{Z}/p$. Tập này được ký hiệu bởi $\mathbf{Q}_p$. Cả hai tập này đều là các vành. Điều này gợi nhớ các bạn đã học giải tích phức về khái niệm chuỗi và chuỗi Laurent

$$a_{-m}(x-a)^{-m} + ...+ a_{-1}(x-a)^{-1} + a_0 + a_1(x-a) + \cdots + a_n(x-a)^n + \cdots$$

Ta có thể nói gọn rằng một số nguyên $p$-adic là một xấp xỉ bởi các đa thức tổng riêng

$$S_n=a_0 + a_1p + \cdots a_n p^n$$

Nhưng như thế chưa thực sự đủ, ta hãy nhớ rằng mỗi $S_n$ xác định một lớp dư $\overline{S_n}$ trong $\mathbf{Z}/p^n$. Do đó một số nguyên $p$-adic xác định một dãy

$$(S_0,S_1,...,S_n,...) \in \prod_{i=0}^{\infty}(\mathbf{Z}/p^n).$$

Tuy nhiên hãy nhớ ta đang nói về tính xấp xỉ, mỗi một $S_n$ còn "thừa" ra một hệ số $a_n$ so với $S_{n-1}$. Tuy nhiên rất may ta có thể lưu hệ số này bằng phương trình $S_n = S_{n-1} \ \mathrm{mod} \ p^{n-1}$. Bằng cách này, ta viết rằng

$$\mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n = \left \{(x_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \prod_{n=0}^{\infty}(\mathbf{Z}/p^n) \mid x_{n+1}=x_n \ \mathrm{mod} \ \mathbf{Z}/p^n \right \}.$$

Ta sẽ gặp lại biểu diễn này ở bài dưới. Trước tiên ta có mệnh đề sau.

 

Mệnh đề. Phương trình $F(x_1,...,x_n)=0 \ \mathrm{mod} \ p^v$ có nghiệm với $v\geq 1$ bất kỳ khi và chỉ khi $F(x_1,...,x_n)=0$ có nghiệm trong $\mathbf{Z}_p$.

 

Người ta bảo đây là tìm nghiệm "địa phương", nhưng thế nào là địa phương (local). Địa phương là một khái niệm rất có tính hình học và tô-pô. Để nói về địa phương thì bạn phải có điểm, và lân cận. Và quan trọng hơn tất cả các thứ đó, bạn phải có một không gian. Cái không gian mà chúng ta nói đến đây, chính là các lược đồ.

 

Hãy quay lại với các phương trình vi phân. Việc giải một phương trình vi phân $Df=0$ trên một đa tạp $M$ (với những bạn chưa biết về đa tạp, có thể giả sử đang giải trên toàn trục $\mathbf{R}$) có thể được thực hiện một cách ngây thơ như sau:

• (Bước 1) Cố gắng thu nhỏ khoảng xác định, tìm nghiệm quanh các lân cận đủ nhỏ. Các nghiệm này gọi là nghiệm địa phương.
• (Bước 2) Cố gắng dán các nghiệm địa phương thành một nghiệm toàn cục.

Như vậy khi nói việc giải nghiệm $p$-adic là giải địa phương, một cách hình thức, ta đã tiền giả định các điều sau:

• Tồn tại một không gian tô-pô $X$ mà số nguyên tố $p$ là một "điểm" của $X$.
• Quá trình giải nghiệm $p$-adic thực chất đang làm việc trên một lân cận của $p$ trong $X$.

Các không gian $X$ này được ký hiệu bởi $\mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$, là một ví dụ của lược đồ affine. Tổng quát hơn, ta muốn hỏi rằng với mỗi vành giao hoán có đơn vị $R$, làm thế nào để xây dựng một lược đồ $\mathrm{Spec}(R)$?

 

Nghiệm nguyên - một góc nhìn khác

 

Trong phần này, mình giả sử các bạn đã biết về định nghĩa vành và đồng cấu vành. Toàn bộ các vành được giả sử là giao hoán và có đơn vị. Cho $R$ là một vành, khi đó một $R$-đại số là một đồng cấu vành $R \longrightarrow A$. Điều này có nghĩa:

• Bản thân $A$ là một vành: có phép cộng và nhân.
• Có thể nhân vô hướng $R$ với $A$: mỗi cặp $(r,a) \in R \times A$ xác định một phần tử $ra \in A$.

Một đồng cấu $\phi: A \longrightarrow B$ của hai $R$-đại số là một đồng cấu vành sao cho $\phi(ra)=r\phi(a)$ (điều này giống với định nghĩa của không gian vector). Ta gọi $A$ là có kiểu hữu hạn trên $R$ tồn tại một tập hữu hạn các phần tử $a_1,...,a_n \in A$ sao cho mọi phần tử trong $A$ có dạng

$$\sum r_{i_1,...,i_k} a_1^{i_1}\cdots a_n^{i_n}$$ với $i_1,...,i_n$ là các số nguyên không âm và $r_{i_1,...,i_k}$ là phần tử trong $R$. Nói cách khác, mọi phần tử của $A$ là "một đa thức". Điều này khác với việc nếu bạn xét một không gian vector hữu hạn sinh $V$ (do đó hữu hạn chiều) trên một trường $k$ (bạn có thể lấy $k = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$), khi đó mọi vector $v$ có dạng

$$v = k_1v_1 + \cdots k_n v_n,$$ trong đó $k_i$ là các vô hướng và $v_i$ là các vector lập thành một hệ sinh. Khác biệt này đến từ việc không gian vector chỉ có phép nhân vô hướng, nó không có phép nhân trong (cái cấu thành các phần tử dạng $a_1^{i_1}$). Hệ $\left \{a_1,...,a_n \right \}$ đóng vai trò một hệ sinh cho đại số như cái cách mà một hệ sinh của không gian vector làm. Nói tương đương, tồn tại một toàn cấu của các $R$ -đại số

$$R[x_1,...,x_n] \longrightarrow A$$

và nói cách khác nữa $A$ có dạng $R[x_1,...,x_n]/I$ với $I$ là một ideal của $R[x_1,...,x_n]$. Không giảm tổng quát, ta giả sử $I$ là hữu hạn sinh, tức là $I$ sinh ra bởi hữu hạn đa thức $f_1,...,f_r$ và do đó

$$A = R[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r).$$ Trong đại số tuyến tính, ta biết rằng một đồng cấu tuyến tính xác định duy nhất bởi ảnh trên các phần tử của một cơ sở. Tương tự ở đây ta có một đồng cấu các $R$-đại số xác định duy nhất bởi tập ảnh của các phần tử sinh và tuân theo quan hệ mà các phần tử sinh tuân theo.

 

Bổ đề. Các đồng cấu giữa hai $R$-đại số $R[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r) \longrightarrow B$ song ánh với tập $$\left \{(b_1,...,b_n) \in B^n \mid f_i(b_1,...,b_n) \right \}.$$ Hay nói cách khác, nó tương đương với tập nghiệm của hệ phương trình $\left \{f_1=...=f_r =0 \right \}.$

 

Thế thì ví dụ việc bạn muốn giải một phương trình nghiệm nguyên kiểu $y^2 = x^3 + x + 1$ thì tương đương với việc bạn muốn tìm các đồng cấu của các $\mathbf{Z}$-đại số

$$\mathbf{Z}[x,y]/(y^2-x^3-x-1) \longrightarrow \mathbf{Z}.$$ Lưu ý rằng hợp thành của một đồng cấu như vậy với đồng cấu hiển nhiên $\mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z}[x,y]/(y^2-x^3-x-1)$ là đồng nhất. Điều này cộng với phần trước gợi ý cho ta một hình dung đầu tiên về một lược đồ affine:

• Một lược đồ affine của một vành $R$ là một không gian tô-pô $\mathrm{Spec}(R)$ và ta không mất gì khi nghiên cứu $\mathrm{Spec}(R)$ thay vì $R$. Tức là tồn tại một xây dựng ngược $\mathrm{Spec}(R) \mapsto R$ và quan trọng hơn xây dựng này có tính hàm tử như dưới đây.
• Mỗi đồng cấu vành $R \longrightarrow R'$ cho ta một ánh xạ liên tục $\mathrm{Spec}(R') \longrightarrow \mathrm{Spec}(R)$ (well, ở bước này bạn có thể hỏi rằng tại sao nó không đi theo chiều ngược lại).
• Nếu $R'$ là một $R$-đại số hữu hạn sinh dạng $R[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r)$ thì việc nghiên cứu hệ phương trình $\left \{f_1=...=f_r \right \}$ tương được với việc tìm các "ánh xạ liên tục" $\mathrm{Spec}(R) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R[x_1,...,x_r]/(f_1,...,f_r))$ sao cho hợp thành với $\mathrm{Spec}(R[x_1,...,x_r]/(f_1,...,f_r))$ là đồng nhất. Hay ta còn gọi một bộ nghiệm là một nhát cắt (section). Thuật ngữ này mang tính hình học. Một nhát cắt của một ánh xạ liên tục $f: X \longrightarrow Y$ là một cách "đi ngược lại" từ $Y$ vào $X$. Cụ thể hơn là tồn tại $s: Y \longrightarrow X$ liên tục mà $f \circ s = \mathrm{id}_Y$. Xem hình dưới

 

Cái mà mình vừa trình bày đây, gọi là khái niệm hàm tử điểm (functor of points) của Grothendieck.

 

 

Lược đồ - một gợi ý từ định lý biểu diễn Gelfand

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô (với các bạn sinh viên năm nhất có thể lấy $X$ là không gian metric). Khi đó không gian các hàm liên tục

$$C(X,\mathbf{R}) = \left \{f: X \longrightarrow \mathbf{R} \mid f \ \text{liên tục} \ \right \}$$

là một vành giao hoán có đơn vị là hàm hằng $1$. Tức là có phép cộng và phép nhân theo từng điểm

$$(f+g)(x) = f(x) + g(x) \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ (f.g)(x) = f(x)g(x)$$

và thậm chí nó còn có một phép nhân vô hướng (tuy nhiên ta không cần tới như vậy). Một bài toán cơ bản trong tô-pô là phân loại các không gian chính xác tới một đồng phôi. Một trong các cách làm thông thường mà ta hay làm là gán một không gian $X$ với một bất biến đại số $X$ được bảo toàn bởi phép đồng phôi. Phép gán $X \mapsto C(X,\mathbf{R})$ là phép gán có thể nói là ngây thơ nhất.

 

Bây giờ ta hãy lấy slogan sau làm định hướng cho các thảo luận tiếp
 

 

Slogan. Một không gian đủ tốt "nên" được nghiên cứu bằng cách "nghiên cứu" tất cả các hàm trên nó.

 

 

Vành $C(X,\mathbf{R})$ có tính chất gì đặc biệt và nó liên hệ thế nào với $X$? Ít nhất nó thỏa mãn các tính chất sau:

• Với mỗi tập mở $U \subset X$ ta có một vành $C(U,\mathbf{R})$. Với hai tập mở $V \subset U$ ta có một phép hạn chế $C(U,\mathbf{R}) \longrightarrow C(V,\mathbf{R})$ đi từ tập to hơn xuống tập nhỏ hơn. Do một hàm xác định trên tập to thì cũng xác định trên tập nhỏ.
• Với mọi $f \in C(X,\mathbf{R})$ thì tập $U_f=\left \{x \in X \mid f(x) \neq 0 \right \}$ là một tập mở trong $X$ và $f$ hạn chế xuống tập này là một phần tử khả nghịch của $C(U_f,\mathbf{R})$. Nói cách khác, ảnh của $f$ thông qua ánh xạ hạn chế $C(X,\mathbf{R}) \longrightarrow C(U_f,\mathbf{R})$ là một phần tử khả nghịch.
• Ngược lại thì tập $X \setminus U_f = \left \{x \in X \mid f(x) = 0 \right \}$ là tập đóng. Các tập đóng này sinh ra tô-pô trên $X$ nếu $X$ là compact và Hausdorff (bổ đề Uryson).
• Với mọi $x \in X$ thì tập $\mathfrak{m}_x=\left \{f \in C(X,\mathbf{R}) \mid f(x) = 0 \right \}$ là một ideal của $X$. Hơn nữa nó còn là ideal cực đại do $C(X,\mathbf{R})/\mathfrak{m}_x \simeq \mathbf{R}$ là một trường.
• Tập $\mathrm{Max}(C(X,\mathbf{R})) = \left \{\mathfrak{m}_x \mid x \in X \right \}$ được trang bị một tô-pô gọi là tô-pô Zariski. Ta định nghĩa nó thông qua các tập đóng $$V(I) = \left \{\mathfrak{m} \in \mathrm{Max}(C(X,\mathbf{R})) \mid I \subset \mathfrak{m} \right \}.$$ Tập này còn gọi là phổ cực đại (chứa các ideal cực đại) của $C(X,\mathbf{R})$. Tương tự, mọi vành $R$ cho ta một không gian tô-pô $\mathrm{Max}(R)$.

Định lý sau, được biết tới tên định lý biểu diễn Gelfand (xem chứng minh ở đây) là minh chứng cho slogan trên.

 

Định lý. Nếu $X$ là một không gian tô-pô compact và tách được thì phép gán $X \mapsto \mathrm{Max}(C(X,\mathbf{R})), x \longmapsto \mathfrak{m}_x$ là một đồng phôi.

 

Như vậy khi ta có một phép gán

$$\text{không gian tô-pô} \longmapsto \text{vành} \longmapsto \text{không gian tô-pô}$$ và ta chứng minh rằng với không gian đủ tốt thì ta không mất gì cả, vẫn luôn thu được không gian ban đầu. Như vậy, nó dẫn ta tới một câu hỏi ngược lại: cho một vành $R$ (kể từ nay luôn luôn giao hoán và có đơn vị), làm thế nào mà mỗi phần tử $r \in R$ có thể xem như một hàm trên một không gian tô-pô $\mathrm{Spec}(R)$ nào đó mà nó có tất cả các tính chất tương tự như những gì $C(X,\mathbf{R})$ có? Tuy nhiên bất kể nó là cái gì, ta không nên sử dụng xây dựng phổ cực đại $\mathrm{Max}(R)$ vì rất nhiều lý do:

• Có những vành rất thú vị mà lại có quá ít ideal cực đại (một vành chỉ có một ideal cực đại gọi là vành địa phương).
• Tô-pô Zariski quá xấu để nói về tính liên tục.
• Xây dựng $\mathrm{Max}(R)$ không có tính "hàm tử", một đồng cấu vành $\phi:R \longrightarrow R'$ không cho ta một ánh xạ $\mathrm{Max}(R') \longrightarrow \mathrm{Max}(R)$ bằng phép nghịch đảo $I \mapsto \phi^{-1}(I)$ vì nghịch đảo một ideal cực đại không nhất thiết là ideal cực đại.
• Xây dựng $\mathrm{Max}(R)$ không nhìn được "bội". Ví dụ nghiên cứu hai vành $\mathbf{C}[x]/(x)$ và $\mathbf{C}[x]/(x^2)$ như đã nói trong phần trước tương đương với việc ta giải hai phương trình $\left \{x=0 \right \}$ và $\left \{x^2=0 \right \}$. Về mặt tập nghiệm, chúng trùng nhau. Tuy nhiên về mặt bội thì không. Nghiệm đầu tiên $x=0$ là nghiệm đơn nằm trên một đường thẳng $y=x$. Nghiệm sau đó $x=0$ là nghiệm kép nằm trên một parabol $y=x^2$.

Tuy nhiên, dù thế nào ta cũng đã đến gần với lời giải. Giờ ta nhớ rằng để nói về hàm số, ta phải nói về cái là điểm. Một hàm sinh ra là để tính giá trị trên các điểm. Nếu không có điểm thì không có hàm. Nói cách khác, ta phải xem tập nền (nếu có) của $\mathrm{Spec}(R)$ là gì? Các phần tử của nó (các điểm) được tính giá trị như thế nào.

 

Slogan. Để có hàm thì phải có điểm. Một khi có điểm, hàm được xác định duy nhất bằng các giá trị.

 

 

Ở đây, "không biết bằng cách nào" mà André Martineau lại xúi Jean Pierre Serre rằng nên lấy các ideal nguyên tố làm tập nền cho $\mathrm{Spec}(R)$.

 

Định nghĩa. Với mỗi vành $R$, lược đồ affine $\mathrm{Spec}(R)$ có tập hợp nền là tập các ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $R$.

 

Như vậy với mỗi $f \in R$ có thể xem như một hàm trên $\mathrm{Spec}(R)$ và với mỗi ideal nguyên tố $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ thì ta có một giá trị $f(\mathfrak{p})$ (mà ta chưa biết tập giá trị là gì). Hơn nữa, việc gán

$$f \longmapsto \left \{f(\mathfrak{p}) \mid \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \right \}$$

xác định duy nhất $f$. Vậy vấn đề bây giờ còn lại là xác định miền giá trị của $f(\mathfrak{p})$.

 

Ta hãy quay lại với các ví dụ cụ thể hơn:

• Khi $R = \mathbf{C}[x]$ là vành đa thức. Do $\mathbf{C}$ là đóng đại số nên các ideal nguyên tố khác $0$ của $\mathbf{C}[x]$ cũng cực đại và có dạng $(x-a)$ với $a \in \mathbf{C}$. Ta mong muốn có một phép gán mỗi đa thức $f$ thành $$f:\mathrm{Spec}(\mathbf{C}[x]) = \left \{(0) \right \} \cup \bigcup_{a \in \mathbf{C}} (x-a).$$ Tuy nhiên phải nói thế nào về việc tính $f((x-a))$? Hiển nhiên mỗi đa thức là một hàm (theo nghĩa giải tích) $f: \mathbf{C} \longrightarrow \mathbf{C}$ và do đó nên có $f((x-a))=f(a)$. Nhưng có cách nào khác nhìn $f(a)$ không? Rất may mắn ta có $f = f(a) \mathrm{mod} \ (x-a)$. Nói cách khác, mỗi hàm $f$ xác định các giá trị trong các vành thương $\mathbf{C}[x]/(x-a)$, chúng là các trường. Vấn đề còn lại là làm sao xác định $f((0))$? Vành thương $\mathbf{C}[x]/(0) = \mathbf{C}[x]$ không là một trường, làm thế nào để tạo ra một trường, xem như trường giá trị. Rất đơn giản và thần kỳ, ta lấy trường các hàm hữu tỷ $C(x)$ (phần tử là thương hai đa thức) và xem $f$ như một phần tử trong trường này.
• Khi $R = \mathbf{Z}$ là vành số nguyên. Các ideal nguyên tố của $R$ hoặc là các số nguyên tố $p$ hoặc là ideal tầm thường $0$. Tương tự như trên một số nguyên $n$ tính giá trị tại một ideal nguyên tố bằng cách tính modulo $p$, tức là $(n \ \mathrm{mod} \ p)$, giá trị này nằm trong trường $\mathbf{Z}/p$. Còn $n$ tính giá trị tại ideal $0$ là việc ta xem $n$ như một phần tử trong $\mathbf{Q}$ (thương của hai số nguyên).

Điều này cho ta một gợi ý về mặt tổng quát: ta nên lấy giá trị $f(\mathfrak{p})$ nằm trong trường các thương $\mathrm{Frac}(R/\mathfrak{p})$. Do đó công thức hoàn chỉnh của ta là

$$f : \mathrm{Spec}(R) \longrightarrow \bigsqcup f(\mathfrak{p}) \in \bigsqcup \mathrm{Frac}(R/\mathfrak{p}).$$

 

Tô-pô của $\mathrm{Spec}(R)$ trông như thế nào?

 

Nhắc lại rằng khi nói về $C(X,\mathbf{R})$, ta thấy các tập

$$\left \{x \in X \mid f(x) \neq 0 \right \}$$

là các tập mở trong $X$ chừng nào $f$ khác $0$ (nếu không tập này rỗng, vẫn mở, nhưng tầm thường). Tương tự như vậy ta muốn các tập

$$D(f) = \left \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \mid f(\mathfrak{p}) \neq 0 \right \}$$

là các tập mở trong $\mathrm{Spec}(R)$ với mỗi $f$ cố định. Hơn nữa, ta còn muốn nó là một cơ sở tạo nên tô-pô của $\mathrm{Spec}(R)$. Trước tiên ta nhắc lại rằng trong trường hợp $C(X,\mathbf{R})$ (tức là $R$) trong trường hợp đại số này) với mỗi tập mở $U$ của $X$ (các tập mở $D(f)$ của $\mathrm{Spec}(R)$) ta có một vành $C(U,\mathbf{R})$ và vành này lại lần nữa xác định duy nhất $U$ (nếu $U$ đủ tốt). Vậy ta có thể tự hỏi, nếu có thể thì cái gì sẽ đóng vai trò của $C(U,\mathbf{R})$ trong trường hợp này?

$$U \longmapsto C(U,\mathbf{R}) \Longrightarrow D(f) \longmapsto ???.$$

Tức là có vành $R_f$ nào mà $\mathrm{Spec}(R_f) = D(f)$ không?

 

Câu trả lời là có, đây là khái niệm địa phương hóa. Ý tưởng của nó như sau: nếu $f \in R$ là một hàm, thì trên tập $D(f)$ hàm $f$ phải khả nghịch. Nói cách khác, phải có một đồng cấu vành $R \longrightarrow R_f$ mà ảnh của $f$ khả nghịch (giống như trường hợp $C(X,\mathbf{R}) \longrightarrow C(U,\mathbf{R})$). Như ở đây ta còn chưa khai thác hết, tập $\left \{x \in X \mid f(x) \neq 0 \right \}$ thực sự là tập lớn nhất mà $f$ khả nghịch nên theo nghĩa nào đó đồng cấu $C(X,\mathbf{R}) \longrightarrow C(U,\mathbf{R})$ là đồng cấu nhỏ nhất làm $f$ khả nghịch. Như vậy ta phải tạo ra một vành $R_f$ càng nhỏ càng tốt mà $f$ khả nghịch.

 

Thế nào là nhỏ nhất? Nó có nghĩa là nếu $R \longrightarrow S$ là một đồng cấu vành mà $f$ khả nghịch thì nó tách qua $R \longrightarrow R_f$. Ở dạng biểu đồ giao hoán:

\begin{xy}
\xymatrix {
 R  \ar[r] \ar[dr]& R_f \ar[d] \\
& S
}
\end{xy}

 

Đây là định nghĩa có thể "làm sợ" các bạn lần đầu học đại số giao hoán. Nó gọi là khái niệm địa phương hóa. Tại sao lại là địa phương? (lưu ý rằng địa phương này của hàm, nó hơi khác với lời hứa ở đầu bài của mình, đó là địa phương hóa điểm) Vì ta đang hạn chế làm việc ở lân cận mà hàm $f$ khả nghịch (lưu ý ta đang giả sử $f$ khác $0$).

 

Xây dựng $R_f$: Ta xét tập hợp $\left \{(r,f^n) \mid r \in R, n \in \mathbf{Z} \right \}$ và ta định nghĩa một quan hệ tương đương $(r,f^n) = (r',f^m)$ nếu tồn tại $k \in \mathbf{Z}$ mà $f^{k-m}r = f^{k-n}r'$. Ai tinh ý sẽ nhận ra đang giả vờ rằng $(r,f^n)$ chính là một phân số $\frac{r}{f^n}$. Điều này giống như ta định nghĩa số hữu tỷ $\mathbf{Q}$. Ta nói $(a,b)=(c,d)$ (ngầm hiểu $a/b = c/d$) nếu $ad=cb$. Tuy nhiên ở đây ta phải nhân thêm $f^k$ vì nếu không nó không là quan hệ tương đương. Còn trên $\mathbf{Q}$ là miền nguyên thì ta có thể khử phần tử khác $0$ trong phép nhân nên mọi chuyện tầm thường. Vì lý do này mà ta còn viết $R_f$ dưới dạng vành đa thức $R[\frac{1}{f}]$.

 

Tới đây ta đã hoàn thành kha khá về bức tranh của $\mathrm{Spec}(R)$: tô-pô của nó có một cơ sở sinh bởi các tập $D(f)$ và các hàm trên $D(f)$ là $R_f$ (lưu ý rằng $R = R_1$ với $1 \in R$ là hàm hằng). Ta lại quay lại với $C(X,\mathbf{R})$. Như đã nói ban đầu, ta đã gian lận, ta đã xem xét tô-pô Zariski (với phổ cực đại) trên vành này ngay từ đầu. Bây giờ ta cần kiểm tra xem hai tô-pô sau có trùng nhau không:

• Tô-pô sinh bởi các tập $D(f)$.
• Tô-pô Zariski của $\mathrm{Spec}(R)$, tức là các tập đóng có dạng $V(I) = \left \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \mid f(\mathfrak{p}) = 0 \right \}$ với $I$ là một tập con bất kỳ của $R$.

Không nghi ngờ gì là có dù ta đang dùng hai ngôn ngữ khác nhau: tập mở và tập đóng, lần lượt. Lưu ý rằng

$$D(f) = \left \{f \neq 0 \right \} = X \setminus V(f) = X \setminus \left \{f = 0 \right \} \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ V(I) = \bigcup_{f \in I} V(f).$$

Như vậy ta có điều phải chứng minh (hai tô-pô trùng nhau nhưng góc nhìn thì thêm nhiều điểm mới).

@Nesbit anh thử vụ tikz nữa xem T.T