Các anh chị em xem giúp hệ phương trình này với

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=7\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}=7 \end{matrix}\right.$

tôi mới nghĩ được 1 cách giải là đặt $ u = \sqrt {2x + 1} ,\,v = \sqrt {3y + 1} $ rồi đưa về phương trình bậc 4.

Ai có cách khác xin chỉ giáo

 

bình phương 2 vế

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y+2+2\sqrt{(x+y)(x+2y+2)}=49\\ 2x+3y+2+2\sqrt{(2x+1)(3y+1)}=49 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x+y)(x+2y+2)=(2x+1)(3y+1)$

$\Leftrightarrow x^2-3xy+2y^2-y-1=0$

$\Leftrightarrow (x-2y-1)(x-y-1)=0$ thay vào hệ giải tiếp

cách khác từ đề bài suy ra

$\Rightarrow \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}$

$\Rightarrow \sqrt{x+y}-\sqrt{3y+1}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2y+2}$

Nhân liên hợp

$\Rightarrow (x-2y-1)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2y+2})=(x-2y-1)(\sqrt{x+y}+\sqrt{3y+1})$

TH1:x-2y-1=0 thế vào hệ ban đầu

TH2: ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{x+y}+\sqrt{3y+1}\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1} \end{matrix}\right.$

cộng 2 vế ta có $\sqrt{x+2y+2}=\sqrt{3y+1}$ bình phương rồi thế vào hệ ban đầu

Cho x,y $\epsilon \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$ thoả $cos2x+ cos2y+ 2sin(x+y)=2$ tìm giá trị nhỏ nhất của

P=$\frac{sin^{4}x}{y}+\frac{cos^{4}y}{x}$

 Mọi người giúp em bài này nhé:   $2sinx+cotx=2sin2x+1$

DK ............

PT$\Leftrightarrow 2sinx^2(1-2cosx)-sinx+cosx=0$$\Leftrightarrow (sinx-\frac{1}{2})(2sinx(1-2cosx)-2cosx)$

$sinx=\frac{1}{2}\Rightarrow x=...$

$2sinx-2cosx-4sinx.cosx=0$

đặt $t=sinx-cosx(-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2})\Rightarrow sinx.cosx=\frac{(1-t^2)}{2}$

$\Rightarrow 2t-2(1-t^2)=0$ 

giải t ra là xong

$\left\{\begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}=2x+9 & \\ x^{2}+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$

lấy PT(1)+PT(2)$\Leftrightarrow (xy+x^2-x-3)(xy+x^2+x+5)=0$

thay xy vào PT(2) ....

CMR $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3) \geq 4(a+b+c+1)^{2}$ vói mọi a,b,c

theo bunhiacopski

$(a^2+2+1)(1+\frac{(b+c)^2}{2}+1)\geq (a+b+c+1)^2$

cần chứng minh$(b^2+3)(c^2+3)\geq4(\frac{(b+c)^2}{2}+2)$

$\Leftrightarrow b^2c^2+b^2+c^2\geq 4bc$

$\Leftrightarrow (bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0$

Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A}=20^o$, $AB=AC=b, BC=a$. C/mR: $a^3+b^3=3ab^2$

xem bài 153 tại đây

http://diendantoanho...ình-học/page-25

bạn đã nhầm lẫn trong phép trừ hai vế:

Phải là $y^2x-2x^2+2=0$chứ.

Bạn xem lại nhé

ấy chết nhầm, vậy ai bik thì làm típ còn mình thì bó tay rồi

 

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2+1+y(y+x)=4x\\ (x^2+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy-4x+1=0(1)\\ x^2y+x^3-2x^2+x-2=0(2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+y^2x+x^2y-4x^2+x=0(*)\\ x^2y+x^3-2x^2+x-2=0(**) \end{matrix}\right.$

lấy $(*)-(**)$$\Rightarrow -2x^2+2+x^2y=0(3)$$\Rightarrow y=\frac{2x^2-2}{x^2}(4)$

từ(2)$\Rightarrow y=\frac{x^3-2x^2+x-2}{-x^{2}}(5)$

từ (4)(5)$\Rightarrow \frac{2x^2-2}{x^2}=\frac{x^3-2x^2+x-2}{-x^{2}}$

$\Leftrightarrow -2x^2+2=x^3-2x^2+x-2$

$\Leftrightarrow x^3+x-4=0$

để giải PT này thì theo wolf ta có

$x= \frac{\sqrt[3]{18+\sqrt{327}}}{3^{2/3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3(18+\sqrt{327})}}$

không biết sai không mà nghiệm khủng quá ak

Tại sao lại có phương trình 2 vậy bạn mình không hiểu lắm

ý bạn là sao???

nếu là PT $2(x-3)^2(x+y)^2=2$ thì mình chuyển con 1 qua VP rồi bình phương rồi nhân thêm 2 thôi

nếu ý bạn là PT này $x^2+xy-3y-3x+1=0$ thì là từ đề bài

  ok???

$\left\{\begin{matrix} xy^{2} +4y^{2}+8=x(x+2)& & \\ x+y+3=3\sqrt{2y-1}& & \end{matrix}\right.$

$PT(1)\Leftrightarrow (x+4)(y^2-x+2)$$\Rightarrow x=-4\vee x=y^2+2$

$x=-4\Rightarrow y=10+3\sqrt{10}$

thay  $x=y^2+2$ vào PT(2)

$y^2+y+5-3\sqrt{2y-1}=0\Leftrightarrow 2y^2+2+(\sqrt{2y-1}-3)^2>0$(vô nghiệm)

Câu 5: (1 điểm)

Cho x,y  là 2 sô thực dương. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)}}$

xí bài này

theo bất đẳng thức bunhiakovski

$P\geq \frac{x+y}{\sqrt{(x+y)(3x+3y)}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+y^{2}-7)(x+y)^{2}+2=0 & & \\ (x-3)(x+y)+1=0& & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (x^2+y^2-7)(x+y)^2=-2\\ 2(x-3)^2(x+y)^2=2 \end{matrix}\right.$

cộng vế theo vế

$(x+y)^2(x^2+y^2-7+2(x-3)^2)=0$

$\Rightarrow (x+y)=0\vee (x^2+y^2-7+2(x-3)^2)=0$$\Rightarrow (x^2+y^2-7+2(x-3)^2)=0(3)\vee(x+y)=0$(loại)

kết hợp (3) với PT(2) ta có hệ sau$\left\{\begin{matrix} 3x^2+y^2-12x+11=0(3)\\ x^2+xy-3y-3x+1=0 (2)\end{matrix}\right.$

PT(3)-2PT(2)$\Leftrightarrow (x-y-3)^2=0$

Bạn ơi, bạn thử kết quả xem, thay vào pt 2 không ra đúng nghiệm đâu

xin lỗi nha quên nói thêm

nếu mà dấu kq $x=\frac{4}{3},y=\frac{7}{3}$ thay  vào (2) không thoả thì Hê trên vô nghiệm nha

Giải hệ phương trình

 

$\left\{\begin{array}{l}x^4+y^2 = \frac{697}{81}\\x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 \end{array}\right.$

từ PT(2) 

xem x là ẩn ,$PT(2)\Leftrightarrow x^2+x(y-3)+(y-2)^2=0$

xét $\Delta =(y-3)^2-4(y-2)^2$$=(1-y)(3y-7)$

để PT có nghiệm thì$\Delta \geq 0\Leftrightarrow \frac{7}{3}\geq y\geq 1$(1)

làm tương tự với y là ẩn$\Rightarrow \frac{4}{3}\geq x\geq 0$(2)

từ (1) và (2) suy ra $x^4+y^2\leq \frac{697}{81}$

vậy $x=\frac{4}{3}$,$y=\frac{7}{3}$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} xy=1\\ 4x^3+2x^2y+y=16x \sqrt{4x+y} \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}<\sqrt{6}$

theo bất đẳng thức bunhiacopki

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{(1+1+1)(2a+2b+2c)}=\sqrt{6}$

Giải hệ pt

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy=3 & & \\ x^2+2xy=7x+5y-9 & & \end{matrix}\right.$

cộng vế theo vế

$2x^2+y^2+3xy+6-7x-5y=0$$\Leftrightarrow (y+x-2)(y+2x-3)=0$

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $xy=1$

Tìm $GTLN$ của biểu thức $A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}$

theo AM-GM

$A\leq \frac{x}{2x^{2}y}+\frac{y}{2xy^{2}}=1$

dấu '=' xảy ra x=y=1

 

Giải hệ sau :

1)

 

$\left\{\begin{matrix} x^3 + 8y^3 = 4xy^2 + 1 \\  2x^4 + 8y^4 = 2(x + y) \end{matrix}\right.$

 

 

 

2)

$\left\{\begin{matrix} x^2(y+1)(x+y+1)= 3x^2 - 4x + 1\\ xy + x + 1 = 5x^2 \end{matrix}\right.$

 

bài1

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+8y^3-4xy^2=1\\2x^4+8y^4=2(x+y) \end{matrix}\right.$

nhân chéo 2 vế

$\Leftrightarrow 2(x^3+8y^3-4xy^2)(x+y)=2x^4+8y^4$

phương trình đẵng cấp bậc 4 dể dàng giải bằng cách khai triển-> chia 2 vế cho x⁴

--------------------------------------

bài2

$PT(1)\Leftrightarrow (xy+x)(x^2+xy+x)=3x^2-4x+1$

$\Leftrightarrow (5x^2-1)(6x^2-1)=3x^2-4x+1$

$\Leftrightarrow 30x^4-11x^2+1=3x^2-4x+1$

$\Leftrightarrow 30x^4-14x^2+4x=0$

$\Leftrightarrow x=0\vee 30x^3-14x+4=0$$\Leftrightarrow x=0\vee x=\frac{1}{3}( -\frac{\sqrt[3]{45-\sqrt{310}}}{5^{2/3}}-\frac{7}{\sqrt[3]{5(45-\sqrt{310})}})$

Cho a,b,c, là các số thực bất kì Chứng minh rằng$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

\begin{cases}x+y -\sqrt{xy} =3 \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}  =4 \end{cases}

1 cách nữa cho hệ này

có dễ thấy x,y đều dương , theo BĐT AM-GM

từ $PT(1)\Rightarrow x+y-3=\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$

theo BĐT Bunhiacovksi

từ $PT(2)\Leftrightarrow4= \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2(x+y+2)}\Rightarrow 6\leq x+y$

dấu bằng xảy ra khi x=y=3

 

 

Bài 5: ( 1,0 điểm )

 Tìm x và y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

    $x<y+2$ và $x^4+y^4-(x^2+y^2)(xy+3x-3y)=2(x^3-y^3-3x^2-3y^2)$ 

 

    

$x^4+y^4-(x^2+y^2)(xy+3x-3y)=2(x^3-y^3-3x^2-3y^2)$

$(x-y-2)(x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2})=0$

mà $x-y-2< 0$$\Rightarrow x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2}=0$

đến đây dễ thấy $\Rightarrow x=0,y=0$ là 1 nghiệm 

nếu có nghiệm khác bó tay luôn

Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !

$4\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}})(\frac{1}{a^{2}+b^{2}})}=\frac{4}{ab}$ 

Trong mp(Oxy) lập phương trình đường tròn $(C)$ có tâm thuộc đường thẳng d:3x-y-5=0 và cắt Ox theo dây cung có độ dài bằng 6, cắt Oy theo dây cung có độ dài  bằng 8.

gợi ý 

$d(I,Oy)=\left | a \right |,d(I,Ox)=\left | 3a-5 \right |$

hạ vuông góc xuống Ox,Oy, ta có

$d(I,Oy)^{2}+4^{2}=d(I,Ox)^{2}+3^{2}$(do cùng bằng R²)

$a^{2}+4^{2}=(3a-5)^{2}+3^{2}$

đến đây dễ dàng làm tiếp nhỉ

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} xy\left ( x+y \right ) =2& & \\ 9xy\left ( 3x-y \right )+6= 26x^{3}-2y^{3}& & \end{matrix}\right.$

HPT tương đương

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\ 6=26x^{3}-2y^{3}-9xy(3x-y) \end{matrix}\right.$

nhân vế theo vế

$3xy(x+y)=26x^{3}-2y^{3}-9xy(3x-y)$

$26x^{3}-2y^{3}-30x^{2}y+6y^{2}x=0$(1)

dễ thấy y=0 không phải nghiệm của hệ, chia 2 vế cho y³

$\frac{26x^{3}}{y^{3}}-2-\frac{30x^{2}}{y^{2}}+\frac{6x}{y}=0$

đặt t=x/y

$26t^{3}-2-30t^{2}+6t=0$

đến đây dễ rồi