28) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=3$. Cmr: $\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$

làm thế này không biết có sai không

ta có $ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum \frac{a+1}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a+1}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}$

đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b+c=y & \\ c+a=z & \end{matrix}\right.$

$\sum \frac{2x+2z-y}{3xy}\geq 3$ với $x+y+z=6$

đến đoạn này việc đánh giá là hoàn toàn đơn giản chỉ có đièu mình sai hệ số chỗ nào không phát hiện ra,mong các bạn sửa hộ

cho $x,y$ dương thoả mãn $x+y=\sqrt{10}$

tìm MIN $\left ( x^{4}+1 \right )\left ( y^{4}+1 \right )$

Hai toán thủ nguyentrungphuc26041999  và  Frankie nole có cùng địa chỉ IP và có lời giải giống hệt nhau. Điều này là gian lận.

 

BTC đã chấm điểm cho nguyentrungphuc26041999 và cảnh cáo toán thủ này. 

 

Toán thủ Frankie nole bị loại vì hành vi gian lận

xin lỗi BTC nhưng hôm đó,mạng nhà em bị rớt,mất mạng vài tuần nên đến nhà toán thủ frankynole để làm,do bài này khá dễ nên làm giống nhau là chuyện bình thường vì đây là cách mà phần lớn các toán thủ đều làm.

$a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b$

$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq \sum 2a^{2}b$

$\sum a^{3}+\sum ab^{2}+ \sum a^{2}b$

$\sum a^{3}+\sum a^{2}c+ \sum a^{2}b= 3\sum a^{2}\geq 9$

$\Rightarrow 3\frac{\sum a^{3}+\sum ab^{2}}{2}\geq 9$

$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq 6$

$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq \sum a^{2}b+3$

nói rõ hơn cái,chú làm tắt quá

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Giải phương trình nghiệm nguyên dương

$x^{2}-2y^{2}=5$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

$x$ lẻ,$y$ chẵn

ta có $x^{2}-1-2y^{2}=4$

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )+2y^{2}=4$

$\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )\vdots 8$

$\Rightarrow VT\vdots 8$

suy ra vô lý

ta có 

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}=3$

$\Rightarrow \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{2a+b+c}{\left ( b+c \right )\left ( b+a \right )}$

đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ a+c=y & \\ b+c=z & \end{matrix}\right.$

cần chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\sum \frac{x}{yz}\geq 3$ với $x+y+z= 6$

dễ rồi

hệ tương đương với $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( 2x-3y \right )=0 & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & \end{matrix}\right.$

trường hợp 1 nếu $x=y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} x=y & \\ 3x^{2}-3x +1=0& \end{matrix}\right.$

$\Delta =-3< 0$ nên hệ vô nghiệm

trường hợp 2 

nếu $2x=3y$

hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ 8y^{2}-6y+1=0 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x=3y & \\ \left ( 4y-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=0 & \end{matrix}\right.$

nếu $y=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 nếu $y=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

Vậy $\left ( x,y \right )=\left \{ \left ( \frac{3}{8},\frac{1}{4} \right ),\left ( \frac{3}{4},\frac{1}{2} \right ) \right \}$

d = 10

S = 36

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$

Tìm Max  $\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}$

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$

ta có $ab+bc+ca=1$

trên đề 

$\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}}=\frac{2a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}$

$\frac{2a}{\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}}+\frac{2b}{\sqrt{4\left ( b+c \right )\left ( b+a \right )}}+\frac{2c}{\sqrt{4\left ( c+a \right )\left ( c+b \right )}}\leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{4\left ( b+c \right )}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{4\left ( b+c \right )}=\frac{9}{4}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

=> VT $\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt{ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt[4]{a^{2}b^{2}}+1}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^{3}}}$

( ta có $ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ nên BĐT đúng)

chỗ này không ổn lắm 

mình nghĩ là thế này

sử dụng bất đẳng thức $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

ta có 

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2}{1+a}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{a^{2}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{a^{3}b}}$

thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng lại ta được điều phải chứng minh

nếu bạn suy ra abc$\leq \frac{1}{27}$ thì dấu bằng xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$ . tức là min ra -8/9

sao lại thế nếu $a=b=c=\frac{1}{3}$ thì $P=8$

đúng chứ

cho a,b,c là các số dương. và a+b+c=1. Tìm Min của biểu thức P=$\sqrt[3]{\left ( \frac{1}{ab} -1\right )\left ( \frac{1}{bc}-1 \right )\left ( \frac{1}{ca}-1 \right )}$

Từ giả thiết suy ra  $abc\leq \frac{1}{27}$

xét biểu thức trong căn sau khi quy đồng và làm gọn ta được 

$\frac{1-ab-bc-ca+abc\left ( a+b+c \right )-a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{1-ab-bc-ca}{a^{2}b^{2}c^{2}}+\frac{1}{abc}+1\geq \frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{1}{27^{2}}}+\frac{1}{\frac{1}{27}}-1$

$=512$

$\Rightarrow P\geq \sqrt[3]{512}=8$

không biết tính có sai không mà thấy số lẻ quá

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\leq8$. CMR:$$ab+bc+ca+abc\leq4$$

đây nè 

dễ chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

ta có $8=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sum a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}\geq \sum a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+4$

$8\geq \sum a^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+4=\sum \left ( a^{2}b^{2}+1 \right )+a^{2}b^{2}c^{2}+1\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

$\Rightarrow ab+bc+ca+abc\leq 4$

Cho $x,y$ là các số thực dương và  $x+y=k$ $\left ( k>0 \right )$

tìm MIN $\left ( x^{4}+1 \right )\left ( y^{4}+1 \right )$

                                         THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÂP THÀNH PHỐ
                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014
                                                    Ngày 18 tháng 01 năm 2014  

Câu 3 :

Cho 3 số $a;b;c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^2+c^2=1 & \\ a^3+b^3+c^3=1 & \end{matrix}\right.$
Tính : $S=a+b^2+c^2$

Ta có $1\leq a,b,c\leq -1$

trừ vế với vế của phương trình ta được $a^{2}\left ( 1-a \right )+b^{2}\left ( 1-b \right )+c^{2}\left ( 1-c \right )=0$

mà $1-a\geq 0,1-b\geq 0,1-c\geq 0$

dấu bằng xảy ra 1 trong 3 số bằng 1 

mấy bác giải giùm em với !!!!

 

1/Cho a,b,c >0 và a+b+c=6abc. chứng minh rằng:

$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ac}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}$$\geq 2$

 

 

2/Cho $\alpha ,\beta ,\gamma \geq 0$. tìm min:

M= $\frac{\alpha x}{y+z}+\frac{\beta y}{x+z}+\frac{\gamma z}{y+x}$

 

(x,y,z>0)

 

thank các bác. em làm lính mới chưa bít cách đăng bài 

1 đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & \\ \frac{1}{b}=y & \\ \frac{1}{c}=z & \end{matrix}\right.$

khi đó ta có 

$xy+yz+zx=6$

bất đẳng thức tương đương$\sum \frac{x^{3}}{y+z}\geq 2$

theo bất đẳng thức BCS 

$\sum \frac{x^{3}}{y+z}=\sum \frac{x^{4}}{2xy+xz}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{3\left ( xy+yz+zx \right )}\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{3\left ( xy+yz+zx \right )}=2$

dấu bằng tự tìm

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \frac{2}{3}(ab+bc+ca)$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

có đúng đề không,2 bên không đồng bậc

cho 2 số dương x,y thỏa mãn $x+y=2$

c/m $x^2y^2(x^2+y^2)$

ta có 

$\frac{1}{2}xy.2xy.\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq \frac{1}{2}\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}.\frac{\left ( x^{2}+y^{2}+2xy \right )^{2}}{4}= 2$

dấu bằng xảy ra khi x=y=1

chết thật,sót mất $m=0$ loại

ghi nhầm $n$ chẵn lẻ nữa

Giả sử $m\neq 1$

$\Rightarrow m> 1$

Khi $n$ lẻ $\Rightarrow n^{2}+1\vdots 2$

$\Rightarrow \left ( n^{2}+1 \right )^{2^{k}}\equiv 1\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow \left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )\equiv 2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow VT\equiv 2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow N\vdots 2$

$\Rightarrow N^{m}\vdots 4$

Suy ra vô lý 

khi n chẵn,$44n^{3}+11n^{2}+10n+2\vdots 2$

$N\vdots 2$

đặt $N=2^{a}b$ với $b\equiv 1\left ( mod2 \right )$ 

đặt $n^{2}+1=2c$ với $c\equiv 1\left ( mod2 \right )$

Phương trình trở thành 

$\left ( 2c \right )^{2^{k}}.\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )=\left ( 2^{a}b \right )^{m}$

$2^{2^{k}}c^{2^{k}}.\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )= 2^{am}b^{m}$

do $b$ lẻ  nên $2^{k}=am$

$\Rightarrow m$ chẵn

$\left ( 44n^{3}+11n^{2}+10n+2 \right )$  là số chính phương 

$44n^{3}+11n^{2}+10n+2=44n^{3}+12n^{2}+8n-\left ( n^{2}-2n-2 \right )\equiv -n^{2}+2n+2\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow -n^{2}+2n+2=3-\left ( n-1 \right )^{2}$

nếu $\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 1\left ( mod 4 \right )$

$\Rightarrow 3-\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 2\left ( mod 4 \right )$

suy ra $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không phải số chính phương 

nếu $\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 0\left ( mod4 \right )$

$\Rightarrow 3-\left ( n-1 \right )^{2}\equiv 3\left ( mod4 \right )$

suy ra $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không là số chính phương 

Suy ra $m=1$

Điểm bài :6đ ( chổ màu đỏ xem lại cách lập luận)

Nhầm lẫn nghiêm trọng giữa hai trường hợp $n$ lẻ và $n$ chẵn.

S = 16,3 + 6*3 = 34.3

Sai nhiều lắm bạn à.

$\left ( x+\frac{1}{2}y \right )^{2}-(x-\frac{1}{2}y)+\frac{1}{4}$

không thể nhóm $(x+\frac{1}{2}y)^2$ và $(x-\frac{1}{2}y)$

phân tích các  $y^2$ thì thừa $\frac{1}{4}y^2$

Và một vài chỗ khác

fix rồi

Tìm min của $A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy-x+y+1$

không biết mình phân tích có sai không được kết quả khác 

$A=\left ( x-\frac{1}{2}y \right )^{2}-(x-\frac{1}{2}y)+\frac{1}{4}+y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}+\frac{11}{16}$

$A=\left ( x-\frac{1}{2y}-1\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{4} \right )^{2}+\frac{11}{16}\geq \frac{11}{16}$

chuyển vế,biến đổi tương đương ta được 

$\frac{\left ( x-y \right )^{2}\left ( xy-1 \right )}{\left ( 1+x^{2} \right )\left ( 1+y^{2} \right )\left ( 1+xy \right )}\geq 0$

hiển nhiên đúng

cho$a,b,c> o$. c/m:

$\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}$ 

$\sqrt{2}(a+b)= \sqrt{2(a+b)^{2}}$$\leq \sqrt{4(a^{2}+b^{2})}$$= 2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Tương tự ta có $\sqrt{2}(b+c)\leq 2\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

$\sqrt{2}(a+c)\leq 2\sqrt{a^{2}+c^{2}}$

cộng các vế ta có đpcm

thế này nhìn thuận mắt hơn tí

$\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}+\sqrt{2\left ( b^{2}+c^{2} \right )}+\sqrt{2\left ( c^{2}+a^{2} \right )}\geq 2\left ( a+b+c \right )$

theo scharwt $\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}\geq a+b$

thiết lập mấy cái tương tự cộng lại là xong

Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$

theo cachy schawrt

$a\left ( \frac{4}{2a}+\frac{9}{a+b+c} \right )\geq \frac{25a}{3a+b+c}$

thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng lại ta có đpcm

Cho $(O;R)$ , A chuyển động trên $(O)$, B cố định nằm trong đường tròn và khác O. $AB$ cắt đtròn tại C. Vẽ $(I)$ đkính $OC$ cắt $AB$ tại D.Vẽ tiếp tuyến của $(O)$ tại A cắt $OD$ tại M.Tìm quỹ tích M(ko cần phần đảo)

gợi ý: $K$ laf điểm nằm trên $OB$ sao cho $OK=R^{2}/OB$ $M$ chạy trên đường thẳng vuông góc với $OK$ tại $K$