Cho $x,y,z>0$ thoả mãn đẳng thức sau: $2xy+6yz+3zx=2.$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A=\frac{x}{\sqrt[3]{x+4y+9z}}+\frac{2y}{\sqrt[3]{2y+6z+3x}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{3z+2x+6y}}.$$ 

Đặt: $(a,b,c)=(x,2y,3z)$ ta có: $ab+bc+ca=2$

Và tìm min của: $A=\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}$

Ta xét: $\sqrt[3]{a+2b+3c}=\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}.\sqrt[3]{(a+2b+3c).2\sqrt{6}.2\sqrt{6}}\leq \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}.\frac{a+2b+3c+4\sqrt{6}}{3}=\frac{a+2b+3c+4\sqrt{6}}{6\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}\geq \frac{6\sqrt[3]{3}a}{a+2b+3c+4\sqrt{6}}$

CMTT cộng các vế lại ta có: 

$\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}\geq \sum \frac{6\sqrt[3]{3}a}{a+2b+3c+4\sqrt{6}}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}a^{2}}{a^{2}+5\sum ab+4\sqrt{6}\sum a}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}a^{2}}{(a+b+c)^{2}+3\sum ab+4\sqrt{6}\sum a}\geq \sum \frac{6\sqrt[3]{3}(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}+4\sqrt{6}(a+b+c)}$$=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}(a+b+c)}{2(a+b+c)+4\sqrt{6}}$

Ta đặt: $t=a+b+c$ thì $t\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{6}$

Xét: $f_{t}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}t}{2t+4\sqrt{6}}$

$\Rightarrow f_{t}^{'}=6\sqrt[3]{3}.\frac{2\sqrt{6}}{(t+2\sqrt{6})^{2}}> 0$ với mọi $t$

Nên $f_{t}$ luôn đồng biến trên khoảng $t\geq \sqrt{6}$

Nên ta có: $f_{t}\geq f_{\sqrt{6}}=\sqrt[3]{3}$

Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn: $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=x^3+y^3+10(x+y)$

Ta có: $P=x^{3}+y^{3}+10(x+y)=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy+10)=(x+y)(12-xy)=(x+y)(13-\frac{1}{2}(x+y)^{2})=13(x+y)-\frac{1}{2}(x+y)^{3}$

Đặt $t=x+y$ thì ta có $t^{2}=(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=4\Leftrightarrow -2\leq t\leq 2$

Xét $f_{t}=13t-\frac{1}{2}t^{3}$ với $-2\leq t\leq 2$

$f_{t}^{'}=13-\frac{3}{2}t^{2}=0$ $\Rightarrow t=\sqrt{\frac{26}{3}}$ hoặc $t=-\sqrt{\frac{26}{3}}$

Xét trong khoảng thì không có $t$ thỏa mãn nên: 

$Minf_{t}=f_{(-2)}=-22$

$Maxf_{t}=f_{(2)}=22$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm min của M=$\frac{1}{3}((a+b)^{3}+c^{3})+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}-3a^{2}b-3ab^{2}}{3}$

cư 

Em đi xa quá rồi đó em :v 

Anh chỉ mong BĐN vô BK còn CR7 dành vua phá lưới

 

 

 

Hy vọng thế 

Hì trích dẫn lời nói của troll bóng đá và em là 1 troller chính tông     

Cho nên cứ hy vọng đê         

CR7 là số 1 ha!!!!!!!!!!!!
Fan đâu điểm danh coi

Không liên quan nhưng năm nay Ronaldo sẽ đưa Bồ Đào Nha đến chức vô địch

Và 2 năm sau tại world cup cũng vậy ))))))))))))))))))))                

Cho $a,b,c$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

Nhờ anh chị em giải giúp mình bpt này với:

$2\sqrt {1 - \frac{2}{x}}  + \sqrt {2x - \frac{8}{x}}  > x$

Từ đầu bài ta có điều kiện như sau: $x\geq 2$ hoặc $-2\leq x< 0$

Với điều kiện $-2\leq x< 0$ thì bất phương trình luôn đúng (do $VT>0;VP<0$)

Xét điều kiện: $x\geq 2$

Bất phương trình tương đương $2\sqrt{x-2}+\sqrt{2x^{2}-8}> x\sqrt{x}$

2 vế không âm nên bình phương: $4(x-2)+2x^{2}-8+4\sqrt{(x-2)(2x^{2}-8)}> x^{3}\Leftrightarrow 4\sqrt{2(x^{3}-2x^{2}-4x+8)}> x^{3}-2x^{2}-4x+8+8$

Đặt: $a=\sqrt{2(x^{3}-2x^{2}-4x+8)}>\geq 0$

Bất phương trình thành: $4a> \frac{a^{2}}{2}+8\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a-4)^{2}< 0$ (vô lí)

Vậy nghiệm là $-2\leq x< 0$

Cho a,b,c thực thõa mãn có tổng bằng 0,a²+b²+c²=6.Tìm GTLN của $A=a^2b^2c^2$

Thực ra là a cũng ngạo muội chữa thôi     chứ cũng không biết bất đẳng thức, có gì ae nhẹ tay, nhẹ nhàng chỉ bảo hộ :

Ta có: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$ nên: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=6\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=6\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+ab=3$

A=$(abc)^{2}=(ab)^{2}(a+b)^{2}=(ab)^{2}(a^{2}+b^{2}+2ab)=(ab)^{2}(3+ab)=(ab)^{3}+3(ab)^{2}$

Lại có hằng đẳng thức: $(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+ab\geq 3ab\Leftrightarrow ab\leq 1$

Xét hàm $f_{t}=t^{3}+3t^{2}$ với $t\leq 1$

Đạo hàm $(f_{t})'=3t^{2}+6t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=-2$

Xét hàm số thì tại $t=-2$ và $t=1$ đều có GTLN bằng 4

Vậy $A_{max}=4$

1. Giải pt $2(1-x)\sqrt{x^{2}+2x-1}=x^{2}-2x+1$

2. Giải hệ pt $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}+y=3 & & \\ 2(x^{2}+y^{2}+xy)+x=5 & & \end{matrix}\right.$

Từ bé đến giờ mới làm được bài           May quá :v 

1.

$2(1-x)\sqrt{x^{2}+2x-1}=x^{2}-2x+1$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-1+2\sqrt{x^{2}+2x-1})=0$

Suy ra 1 trường hợp là $x=1$ và 1 trường hợp là

$2\sqrt{x^{2}+2x-1}=1-x$ $(x\leqslant 1)$

Bình phương:  $4(x^{2}+2x-1)=x^{2}-2x+1\Leftrightarrow 3x^{2}+10x-5=0$

$x_{1}=\frac{-5+2\sqrt{10}}{3}; x_{2}=\frac{-5-2\sqrt{10}}{3}$

Do minh không đặt điều kiện nên phải thử lại vào phương trình ban đầu xem cái nào thỏa mãn     

2.

$(2)\Leftrightarrow 2(x+y)^{2}-2xy+x=5$

Thế $(1)$ vào $(2)$

$2(3-y)-2xy+x=5\Leftrightarrow x-2xy-2y+1=0\Leftrightarrow (1-2y)(x+1)=0$

Suy ra $y=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-1$

Rồi thay vào là ra ))))))))))

2 bài này hay quá :v :v :v           

Thực ra trở lại là định giải bài cơ   cơ mà khó quá nên đành đi đăng bài     

Giải phương trình sau : $15x^{2}=x+2\sqrt{x^{2}+x+1}+5$

Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ của khai triển: $f\left( x \right)=x{{\left( 1-2x \right)}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{10}}$ 

Ta có: $x(1-2x)^{5}+x^{2}(1+3x)^{10}=x.\sum_{0}^{5}.C_{5}^{k}.(-2x)^{k} + x^{2}.\sum_{0}^{10}.C_{10}^{l}.(3x)^{l}=\sum_{0}^{5}.C_{5}^{k}.(-2)^{k}.x^{k+1}+\sum_{0}^{10}.C_{10}^{l}.3^{l}.x^{l+2}$

Từ đây để có $x^{5}$ thì ta chọn $k=1$ và $l=3$

Rồi sau đó tính các hệ số trước là xong     

Cho $a, b, c > 0$. CMR:

$\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}\geq 16$

Bài này a không nghĩ ra cách nào ngắn hơn được         

Ta biến đổi từ từ:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\sum \frac{1}{2}(a-b)^{2}$

$27(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)^{3}=27(\sum ab(a+b)+2abc)-8(a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc+3 \sum ab(a+b))=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3})+6abc+3\sum ab(a+b)=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(\sum ab(a+b)+2abc)=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(a+b)(b+c)(c+a)=(-8)(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+3((a+b)(b+c)(c+a)-8abc)=(-8)(\frac{1}{2}(a+b+c)\sum (a-b)^{2})+3\sum a(b-c)^{2}$$=(-4)(a+b+c)\sum (a-b)^{2}+3\sum a(b-c)^{2}=(-4a-4b-4c+3a)\sum (b-c)^{2}=(-a-4b-4c)\sum (b-c)^{2}$

Ta sẽ có:

$P=\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}-16=\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{3}}=\frac{4\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{(-a-4b-4c)\sum (b-c)^{2}}{(a+b+c)^{3}}$$=\sum (\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{-a-4b-4c}{(a+b+c)^{3}}).(b-c)^{2}$

Ta cần chứng minh $P\geq 0\Leftrightarrow \sum (\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{-a-4b-4c}{(a+b+c)^{3}}). (b-c)^{2}\geq 0$

Áp dụng điều kiện S.O.S làm tiếp nhé..............        

Nhờ anh chỉ cho em chỗ sai

Đây nhé em!

Ta có: $\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.abc}=1$

Mà em ấy chứng minh $\sum \frac{1}{3a}\leq 1$ đúng là sao?????????         

 Bạn í chứng minh đung rồi mà

Ta có: $\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.abc}=1$

Mà em ấy chứng minh $\sum \frac{1}{3a}\leq 1$ đúng là sao?????????         

Từ giả thiết suy ra: $(a+b+c)^2\geq 9$

Ta có: $VT=\sum \frac{a}{a^3+a^3+1}\leq \sum \frac{a}{3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}}=\sum \frac{1}{3a}$

BĐT$\Leftrightarrow \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\leq 1\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3=\frac{(a+b+c)^2}{3}$ (luôn đúng do $3(ab+bc+ca)\leq a^2+b^2+c^2$)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Thay thử $a,b,c$ bất kỳ thỏa mãn $abc=1$ ta đều thu được  $\sum \frac{1}{3a}\geq 1$

Hình như em chứng minh sai rồi

Cho 3 số dương a,b,c 

Chứng minh rằng:

$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}} \geq 3$ 

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Luôn đúng nên có đpcm

Em vẫn chưa hiểu lắm a à

nghĩa là cuộc thi diễn ra từ tháng 10 đến tháng 1 năm sau

và 1 tháng chỉ có 1 bài và ngồi nghĩ càng hay càng tốt ạ

sau đó gửi bài trong hạn của bài đó trong 1 tháng...........

và chấm điểm ạ???????? 

Còn nữa là cứ vào phần đề thi rồi giải thôi chứ ko cần phải ghi là THPT hay gì ạ?

Hay là có topic trả lời riêng của từng cấp ạ?????       

Họ tên: Phạm Quang Lâm
Nick trong diễn đàn: phamquanglam
Năm sinh: 1998
Hòm thư: [email protected]
Dự thi cấp: THPT

Giải phương trình: $15(\sqrt{x+3} + \sqrt{2-x} ) =47 - x - x^2$

Điều kiện $-3\leq x\leq 2$

$15(\sqrt{x+3}+\sqrt{2-x})=47-x-x^{2}\Leftrightarrow 15(\sqrt{x+3}-1)+15(\sqrt{2-x}-2)=-(x-1)(x+2)\Leftrightarrow \frac{15(x+2)}{\sqrt{x+3}+1}-\frac{15(x+2)}{\sqrt{2-x}+2}+(x-1)(x+2)=0\Leftrightarrow (x+2)(\frac{15}{\sqrt{x+3}+1}-5-\frac{15}{\sqrt{2-x}+2}+5+(x+1))=0\Leftrightarrow (x+2)(\frac{5(1-x)}{(\sqrt{x+3}+1)(10+5\sqrt{x+3})}-\frac{5(x-1)}{(\sqrt{2-x}+2)(5+5\sqrt{2-x})}+x-1)=0$

$\Leftrightarrow (x+2)(x-1)(\frac{5}{(\sqrt{x+3}+1)(10+5\sqrt{x+3})}+\frac{5}{(\sqrt{2-x}+2)(5+5\sqrt{2-x})}-1)=0$

Với điều kiện thì $\frac{5}{(\sqrt{x+3}+1)(10+5\sqrt{x+3})}+\frac{5}{(\sqrt{2-x}+2)(5+5\sqrt{2-x})}-1=0$ vô nghiệm

Nên phương trình có 2 nghiệm $x=-2$ và $x=1$

Đăng bài mới cho mọi người cùng làm       

Cho: $0\leq a\leq b\leq c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm Max của $P=3abc-2014a-b-c$

Cho ba số dương a,b,c.CMR
$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq 3$

Cách này thì không hay được bằng như  cách của đệ 

Dinh Xuan Hung

Bài làm:

Ta có: $A=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3$

Xét: $\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-3=\sum \frac{a^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a^{2}-b^{2})(\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}})=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}$

Nên $A=\sum \frac{(a-b)^{2}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\sum \frac{(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(2b^{2}+c^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}})\geq 0$

Suy ra điều phải chứng minh     

 

Đặt $A(a,b)\implies H(-a,2-b)$ ( Vì $I$ trung điểm $AH$)

Đường tròn $\left(C\right)$ bán kính $IA$:

$$x^2+(y-1)^2=a^2+(b-1)^2$$

Đt $\left(C'\right)$ bán kính $HE$:

$$(x+a)^2+(y+b-2)^2=4$$

Toạ độ $E,F$ là giao của $\left(C'\right)$ và $\left(C\right)$, từ đó suy ra dthẳng $EF$ có phương trình:

$$(x+a)^2-x^2+(y+b-2)^2-(y-1)^2-4+a^2+(b-1)^2=0$$

Vì $M\in EF$ nên ta thế toạ độ $M$ vào được:

$$a^2-2 a+b^2 = 3$$

 

Uầy, đệ có thiếu đk không. Nếu không ta tìm được vô hạn điểm $A$ hay là vô hạn $\triangle ABC$

 

Huynh à! thằng cháu đệ hỏi nhầm bài nó cho thiếu đề.............làm hôm qua đệ nghĩ đến nửa sáng       

M chính là điểm E     

thế này thì dễ nhỉ?

Làm hộ mình!!!!!!!!!!!

Cho tam giác ABC cân tại A và chân đường vuông góc từ B,C hạ xuống lần lượt là E,F. E(-2;3). Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là I(0;1). H là trực tâm tam giác ABC.

Tìm tọa độ A,B,C

Đề thi học sinh giỏi

Năm học: 2015-2016

Môn: Toán lớp 12 THPT

Câu I: (4 điểm)

 Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x+1$

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Gọi $f_{(x)}=x^{3}-6x^{2}+9x-3$, tìm số nghiệm của phương trình:

$(f_{(x)})^{3}-6(f_{(x)})^{2}+9f_{(x)}-3=0$

Câu II: (4 điểm)

1) Giải phương trình: $(1+Sinx)(1-2sinx)+2(1+2sinx).cosx=0$

2) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu III: (4 điểm)

1) Từ các chữ số $0,1,2,3,4$ lập các số chẵn có 4 chữ số đôi 1 khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để được số lớn hơn 2012

2) Tính tích phân $I=\int_{\frac{-\amalg }{2}}^{\frac{\amalg }{4}}\frac{(sinx+cosx)dx}{3sin^{2}x+4cos^{2}x}$

Câu IV: (6 điểm)

1) Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho đường tròn $(C): x^{2}+y^{2}=9$, đường thẳng $\bigtriangleup : y=x-3+\sqrt{3}$ và điểm $A(3;0)$. Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên $(C)$ và $B$ là điểm sao cho tứ giác $ABMO$ là hình bình hành. Tính diện tích tam giác $AMB$, biết trọng tâm $G$ của tam giác $AMB$ thuộc $\bigtriangleup$ và $G$ có tung độ dương

2) Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình chữ nhật có $AB=a$ và $BC=2a$, mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy, các mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BD$ là $\frac{2a}{\sqrt{6}}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$

b) Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BD$

Câu V: (2 điểm)

 Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x> \frac{1}{3},y> \frac{1}{2},z> 1,\frac{3}{3x+2}+\frac{2}{2y+1}+\frac{1}{z}\geq 2$

Tìm GTLN của $A=(3x-1)(2y-1)(z-1)$ 

Bài này chắc ai cũng làm được     

Nói riêng với

nè...........mình thấy mấy bài như thế này đặc biệt hay và quan trọng nữa vì nó còn liên quan đến đề thi đại học.....có thể thì mong bạn cố đăng nhiều bài như thế này nữa......

Giờ mình mới chỉ nghĩ ra được bài 1 thôi.

Bài 1 :Cho $x,y$ thỏa $x,y \in \left [ 1;2 \right ].$ Tìm GTNN : $$P=\frac{x+2y}{x^2+3y+5}+\frac{y+2x}{y^2+3x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}$$ 

 

Ta có: $(x-1)(2-x)\geq 0\Leftrightarrow 3x-2\geq x^{2}$

Nên: $\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}\geq \frac{x+2y}{3x+3y+3}$

CMTT: $\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}\geq \frac{y+2x}{3x+3y+3}$

Nên: $\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}+\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}\geq \frac{3x+3y}{3x+3y+3}=\frac{x+y}{x+y+1}$

Ta phải tìm min của: $P\geq \frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4(x+y)-4}$

Đặt $t=x+y$ $\Rightarrow 2\leq t\leq 4$

Ta có $P=f_{t}=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4}$

$\Rightarrow f'_{t}=(\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4})'=(\frac{4t^{2}-3t+1}{4t^{2}-4})'=\frac{12t^{2}-40t+12}{(4t^{2}-4)^{2}}$

$f_{t}=0\Rightarrow t=3$

Vẽ bảng biến thiên ta nhận thấy $f_{t}\geq \frac{7}{8}$ với $t=3$

Vậy $P$ min bằng $\frac{7}{8}$ với $(x;y)=(1;2);(2;1)$