Lời giải : 

$\sum \frac{a^4}{b^2+c^2}-\sum \frac{a^3}{b+c}=\sum \frac{a^3(ab+ac-b^2-c^2)}{(b+c)(b^2+c^2)}=\sum \frac{a^3(b(a-b)-c(c-a))}{(b+c)(b^2+c^2)}$

$=\sum \left ( \frac{a^3b(a-b)}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{ca^3(c-a)}{(b+c)(b^2+c^2)} \right )=\sum \left ( \frac{a^3b(a-b)}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{ab^3(a-b)}{(c+a)(c^2+a^2)} \right )$

$= \sum ab(a-b)\left ( \frac{a^2}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{b^2}{(c+a)(c^2+a^2)} \right )=\sum S_{c}(a-b)^2$

Với $S_{c}=\frac{ab(a^4+b^4+\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2) }{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$

Câu 1 đề sai rồi . Nếu cho a = 1000 , b,c > 0 thì vô lý ngay. 

Cho a,b,c là các số thực dương . CMR : 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

Câu 4b

Goi (ABC) là (O) tâm O

Gọi giao điểm của TM,TN với (O) là L,G

Ta sẽ chứng minh phân giác MTN đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa A.  Tương đương với chứng minh LG // BC hay $\widehat{BTM}=\widehat{NTC}$  (5)

Dễ thấy PQ là trục đẳng phương của (I),(HBC),(K) .                 (*)

Gọi J là giao điểm của EF với BC .

Ta có EFBC nội tiếp nên JE.JF=JB.JC do đó J nằm trên trục đẳng phương của (HBC) hay (O) và (I)     

Do đó J,P,Q thẳng hàng .

Ta có : T nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) nên O,K,T thẳng hàng .                 (1)

  Từ (*) suy ra  : JE.JF = JP.JQ = JM.JN = JB.JC

Do đó J nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) .                                                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra JT tiếp xúc (O) , (K).

Dễ thấy : $\widehat{JTC}=\widehat{TBC}$                                        (3)

     $ JT^2=JB.JC=P_{J/(O)} $ 

Do đó : $\widehat{JTN}=\widehat{JMT}$                                           (4)

Từ (3) và (4) suy ra ĐPCM  (Theo (5))

Vậy còn dạng ngược lại :

Cho a,p là số tự nhiên thỏa mãn (a,p)=1 và $a^{p-1}-1\vdots p$ CMR p là số nguyên tố.

Tương đương với bài toán sau :

Cho a,p thỏa mãn (a,p)=1 và p là hợp số. 

CMR : 

$a^{p-1}-1$ không chia hết cho p. 

minh ko hieu cho nay. (a,b,c) =k lam sao co duoc x,y,z doi mot nguyen to cung nhau? ví dụ đơn giản là (4;8;10) =2 ; 4=2.2; 8=2.4 ; 10 =2.5. nhưng 2 và 4 ko thể nguyên tố cùng nhau. ..... mọi người cho ý kiến với nhé!

ờ đúng rồi đó . mình nhầm rồi .

gỡ bài vậy.

Giả sử $n^2+d=a^2$

Vì d là ước dương của $2n^2$ nên $2n^2=dk$ ( $k\in \mathbb{N}$ )

Suy ra $n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}$ $=a^2$

$\Leftrightarrow n^2k^2+2n^2k=a^2k^2$

Suy ra :

$k^2+2k=(\frac{ak}{n})^2$ là số chính phương.

Suy ra  Vô lý vì $k^2 < k^2+2k<(k+1)^2$

Câu 2 :

b) Phương trình 1 có dạng :

$3x-2y=y\sqrt{3x-2y}+6y^2\Leftrightarrow (2y+\sqrt{3x-2y})(3y-\sqrt{3x-2y})=0$

Giải xong rồi thế vào phương trình 2 

p/s : Bài HPT này dài .......

Câu 3:

Bỏ qua trường hợp 1 trong 3 số a,b,c có 1 số bằng 3,

Thế thì 

$(a,b)\neq 1,(b,c)\neq 1,(c,a)\neq 1$ 

Suy ra : $(a,b,c)\neq 1$ 

Đặt $(a,b,c)=k$

Suy ra 

$a=kx$

$b=ky$

$c=kz$

( Với x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau vì (a,b,c) = k )

Vì $a^4\vdots b$ nên $k^4x^4\vdots ky$

Hay $k^3x^4\vdots y$ mà (x,y) = 1 nên : $k^3\vdots y$

CMTT : $k^3\vdots x$ và $k^3\vdots z$

Suy ra $k^9\vdots xyz$

Ta có : $(a+b+c)^{21}=k^{21}.(x+y+z)^{21}\vdots k^{21}\vdots k^{9}.k^{3}\vdots xyz.k^3=abc$

Câu 4 : 

a) $\Delta CME$ đồng dạng $\Delta BNA$

b) $\widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}=\widehat{M_{1}}=\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}}=\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$

Suy ra $\widehat{MO_{2}D}=2\widehat{A_{2}}=\widehat{N_{1}}$

Suy ra tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp.

c) $O_{1},N,O_{2}$ nằm trên đường trung trực của AD nên chúng thẳng hàng.

dễ chứng minh $\widehat{MDN}=90^{o}$ nên tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp đường tròn tâm K 

Suy ra $\widehat{O_{2}KA}=2\widehat{M_{1}}=2\widehat{B_{1}}=\widehat{O_{2}O_{1}A}$

Suy ra tứ giác $AO_{2}KO_{1}$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$

Câu 5 : Sử dụng BĐT Cauchy và BĐT Schwarz :

$VT=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}= \sum_{cyc}\frac{2a^2}{2\sqrt{b+3}}\geq \sum_{cyc}\frac{4a^2}{b+7}\geq \frac{(2a+2b+2c)^2}{a+b+c+21}=\frac{3}{2}$

Câu 1 :

$P=(\frac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}-\frac{a+\sqrt{a}}{a-1}) : (\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{a}-1})$

a) Rút gọn P

b) Tìm a nguyên để $P+\frac{1}{4}$ là số nguyên

Câu 2 :

a ) Giải phương trình :

$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6$

b) Giải HPT :

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{y}-2=\sqrt{3x-2y}+6y\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-2y}}=6(x+y)-4 \end{matrix}\right.$

Câu 3:

Cho a,b,c nguyên dương và thỏa mãn :

$a^4\vdots b$ , $b^4\vdots c$ và $c^4\vdots a$ . CMR $(a+b+c)^{21}\vdots abc$

Câu 4: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ( AB < AC ) .

$(O_{1})$ đường kính AB.

$(O_{2})$ đường kính AC.

Hai đường tròn trên cắt nhau tại D. M là điểm chính giữa cung nhỏ CD của $(O_{2})$.

AM cắt $(O_{1})$ tại N và cắt BC tại E.

a) CMR : $ME.BN=MC.AN$

b) Tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp

c) K là trung điểm MN. CMR : $\widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$

Câu 5 :

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn  a + b + c = 3.

CMR :

$\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}\geq \frac{3}{2}^{}$

                                                                        ( Duy Thân - THCS Song Mai) 

P/s : Bài Số học khó nhất.

Khi vào trang bạn điền vào chỗ Search Site bằng tiếng Anh các thuật ngữ toán học như :

Theorem  ,  Formula , Lemma , Inequality, Equation, Geometry, Algebra, ......... 

Mình chỉ biết thế thôi.  

Chủ yếu vào 

http://mathworld.wolfram.com/ thôi .bạn ạ .

Đố các bác bài này nhé : 

$(x-2)\sqrt{x+1}+(x+2)\sqrt{x-1}=\frac{4\sqrt{5}}{25}x\sqrt{x}$

Xét dãy số : 

$a,2a,3a,4a,.., (p-1)a$ 

TH1 :

Nếu tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho p là m.a và n.a ( m < n , m và n là các hằng số )

thì m.a - n.a = ( m - n ) a $\vdots$ p .

dễ nhận thấy 0 < m - n < p nên a $\vdots$ p suy ra (a,p) = p $\neq$ 1 suy ra Vô lý ( Loại )

TH2 :

Khi lấy các số trong dãy trên chia cho p không có số nào có cùng số dư khi chia cho p .

Suy ra các số dư lần lượt là 1,2,3,4,... p-1 vì a không chia hết cho p .

Hay $a.2a.3a...(p-1)a\equiv 1.2.3.4...(p-1)(modp)$ 

Hay $a^{p-1}.(p-1)!\equiv (p-1)!(modp)$

Hay $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ ( ĐPCM )

(Định lý Fermat nhỏ là 1 định lý có nhiều ứng dụng trong số học)

Cho (a,p) = 1 và p là số nguyên tố. CMR : $a^{p-1}\equiv 1(mod p)$

Cho $xy+xz+yz=0$ 

$a=\sqrt{y^2+yz+z^2}$

$b=\sqrt{x^2+xz+z^2}$

$c=\sqrt{x^2+xy+y^2}$

CMR : (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) =0

1. Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình :

     $x^{2} + y^{2} + z^{2} < xy + 3y + 2z - 3$

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

     $3(x^{2} + xy + y^{2}) = x +8y$

1.

$xy+3y+2z-3>x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx \Rightarrow 3y+2z-3>yz \Leftrightarrow yz-3y-2z+3<0\Leftrightarrow (y-2)(z-3)<3$

2,$3x^2+3xy+3y^2=x+8y\Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y$ = 0 (1)

để PT (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta (x)$ phải là số chính phương ...  

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

   a) $4x^{2} + 25y^{2} + 144z^{2} = 2007$ 

   b) $x^{6} + 3x^{3} + 1 = y^{4}$

a, chặn z là được thôi mà.

b, 

$\Leftrightarrow 4x^6+12x^3+4=(2y)^2\Leftrightarrow (2x^3+3)^2-5=(2y)^2$

rồi chuyển về phương trình ước số.         

đây nè bạn : 

 De thi Toan chuyen TSL10 Bac Ninh 20122013.rar   108.53K   65 Số lần tải

Bài cuối cùng.

tạm thời nhé :

$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^2+6}}=\frac{1}{\sqrt{(a^3+1+1)+2b^2+4}}\leq \frac{1}{\sqrt{3a^2+2b^2+4}}$

$VT=(\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}+a)-(a+b+c)=\sum\frac{a^2+ab+ac+b}{b+c}-1=\sum \frac{a(a+b+c)+b}{b+c}-1=\sum \frac{a+b}{b+c}-1\geq 3-1=2$

$(x-2)\sqrt{x+1}+(x+2)\sqrt{x-1}=\frac{4\sqrt{5}}{25}x\sqrt{x}$

- Duy Thân -