Cho x=y=1 có f(1)=1
Cho y=1 thì có 2x.f(x)>=x^2+f(x^2) (1)
Cho x=y=0 có f(0)=0 ta xét x khác 0 ,
Cho y=x ta có x.f(x^2)+x^2.f(x) >=f(x).f(x^2) +x^3 suy ra x^2.(f(x)-x)>=f(x^2)(f(x)-x) (2)
Nếu tồn tại x để f(x^2)<0 thì từ (2 )suy ra f(x)>=x với mọi x
Nếu tồn tại x để f(x)>x thì từ (2) ta cũng có ngay f(x^2)<x^2 vô lí suy ra f(x)=x nên f(x^2)=x^2 vô lý do ta gs tồn tại f(x^2)<0
Vậy f(x^2)>=0 với mọi x nên từ 1 ta có f(x) >=x/2 với mọi x >0 suy ra f(x^2)>=x^2/2 suy ra 2xf(x)>=(3/2 ).x^2 từ đây lại có f(x) >=3/4 x với mọi x cứ làm tương tự (thực ra xét dãy số ) thì có ngay f(x)>=x với mọi x >0
Bây giờ trong(2) gs tồn tại x để f(x) >x thì suy ra f(x^2)<x^2 vô lý vậy f(x)=x với mọi x >0
Tương tự với x<0 ta có ngay f(x)<=x từ (1)
Sau đó làm tương tự như trên cũng có ngay f(x)=x với mọi x<0
Kết luận f(x)=x với mọi x thuộc R

Lâu quá không ai giải . Đặt ci là số các số một ở cột thứ i suy ra sigma ciC2 <= (n^2+n+1)C2
Đánh giá bdt này có ngay sigma ci<=(n+1)(n^2+n+1)

 mình từng gặp 1 bài như sau , cho tập{ a1 ;a2 .....;an} mà a1=1 và a_i <=a_i+1 <= 2a_i  tổng các a_i là số chẵn cmr có thể chia thành 2 tập sao cho tổng các phần tử của mỗi tập bằng nhau

Chú ý BCQP nội tiếp suy ra AI và AJ là đẳng giác góc A của tam giác ABC . Bây giờ chứng minh AM AN cũng đẳng giác . Kéo dài BC cắt PQ tại T áp dụng menelaus cho 2 tam giác PCT và BQT suy ra BM/MC=QN/NP suy ra đpcm
Chú ý BCQP nội tiếp suy ra AI và AJ là đẳng giác góc A của tam giác ABC . Bây giờ chứng minh AM AN cũng đẳng giác . Kéo dài BC cắt PQ tại T áp dụng menelaus cho 2 tam giác PCT và BQT suy ra BM/MC=QN/NP suy ra đpcm

cần gì nhân tử lagrange , bài này dùng sơ cấp được 

a có một đống nhưng toàn trong vở thôi , e hỏi mấy bạn học thêm thầy đức thì có đấy

đề này chỉ khó hình
câu hệ xét 2 truờng hợp , nếu x âm thì suy ra y âm suy ra z âm , chia xuống xét hàm f(t)=(2.t^3+1)/3t nghịch biến suy ra x=y=z =-1/2 còn lại 
nếu x y z cùng dương thì ngon rồi giả sử x>=y thì z>=y thì đc ngay z>=x >=y thì lại suy ra y>=x vậy x=y=z =1

đa thức : tính đc f(1) đến f(2014)=0 sau đó đặt f(x)=(x-1)(x-2)...(x-2014).g(x) thì đc g(x-1)=g(x) =c đến đây áp dụng 1 bổ đề quen thuộc về đa thức bkq là ngon rồigiả sử f(x)^2+1 =g(x).h(x) thì g(1).h(1)=g(2)h(2)=...=g(2014).h(2014) =1 chu ý là f(x)^2+1 >0 nên g(x) vs h(x) ko có nghiệm thực vậy 2 cái này chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1 
giả sử h(t)=g(t) =1 với t chạy từ 1 đến 2014 thì dễ suy ra điều vô lý vì đa thức bậc <2014 thì ko thể có 2014 nghiệm được
câu

Câu tổ hợp ngày 2 quy nạp đơn giản , ngày 1 để ý chút quy luật là xong ,

Câu bđt 2 ngày

tóm lại chưa ai giải đúng bài 1 cả 

bài tổ hợp đếm bằng truy hồi cơ bản 
bài bất đẳng thức có vài cách khác nữa 

bài hàm là bài hay nhất đề

bài bất đẳng thức nếu cả 3 số âm thì thay bởi 3 số dương không làm thay đổi tính chất bài toán , nếu có 1 số âm và 2 số dương thì giả sử a âm ,thay a bởi -a ta được một biểu thức có giá trị lớn hơn , có 2 số âm cũng tương tự nên chỉ cần xét 3 số dương là đủ

Câu 2 đề hài nhỉ
giả sử sigma 1/(a_i)=1 ( i =1,n+1)
Mình tăng chỉ số lên viết cho gọn
Giả sử a_n+1=2p thì sigma (1/a_i) =(2p-1)/2p với i=1,n từ đây quy đồng lên suy ra trong các số từ a_1 đến a_n có 1 số là p giả sử a_n=p suy ra sigma (1/a_i) =(2p-3)/(2p) với i=1,n-1 quy đồng vế trái thì do từ a_1 đến a_n-1 không còn số nào chia hết cho p suy ra p/2p-3 suy ra p=3

Câu 1 từ công thức truy hồi ta có lim y_n= +vc và (y_n)^2=(y_(n-1)^2 +y_(n-1) từ đây suy ra lim y_n/(y_n+y_(n+1))=1/2 =lim y_(n+1)_y_n = lim y_n/n

Câu 4 đếm bằng truy hồi theo 5 dãy

à thực ra a nhầm chút, chỉ dùng tam giác đồng dạng thôi là có PJO thẳng hàng

Thầy ơi! Chi tiết hơn bài hình giúp em được không ạ!

anh mới lớp 12 thôi , ý b chỉ dùng EM;FN;PO đồng quy do tam giác PMN và PBC đồng dạng  và EM thì song song với BD

Một kết quả thú vị từ bài hình này

 

d) Chứng minh rằng đường tròn đi qua $K,L,U,V$ tiếp xúc $(O)$.

đề nay thầy ra ạ ?

câu hình ý a thì đường trung bình trong hình thang có ngay KL đi qua O

câu b nối EM và FN cắt nhau tại J thì có JEOF là hình chữ nhật nên ta có OJ đi qua trung điểm EF sau đó chứng minh P,J,O thẳng hàng bằng ceva sin
câu c cộng góc chú ý EFST là hình thang cân là ok

nghiệm (0;0) kìa chú bỏ sót rồi

câu cuối , dùng quy nạp 
chú ý ta có thể tịnh tiến thay bộ (a1;a2:....;an) bởi bộ (a1+1;a2+1;...;an+1) và cũng có thể qua 1 phép vị tự bởi bộ (ka1;ka2;...;kan) 
bây giờ ta xây dựng bộ n+1 số thỏa mãn ycbt , tách thành 2 bộ nhỏ một bên gồm toàn các số chẵn và một bên gồm toàn số lẻ  trong trường hợp n+1=2m thì ta có thể giả sử 2;4;....;2m là m số chẵn và 1 3 ....;2m-1 là m số lẻ bây giờ ta chỉ ra cách xếp thỏa mãn
lấy 2;4;....;2m chia cho 2 ta được m số tự nhiên liên tiếp nên theo giả thiết quy nạp thì m số này ta có thể xếp chúng thành 1 bộ (a1;a2;...am) thỏa mãn yêu cầu bài toán 

bây giờ xét bộ (2a1;2a2;.....2am;2a1-1;2a2-1;....2am-1) là bộ tm ycbt 
tương tự trong trường hợp n+1=2m+1

Co ban nào có ý tưởng cho cậu 2b ko?

dùng cái này là xong ; lim(b_(n+1)-b_n) =0 sau đó dùng thêm cái lim b_n= +vc nữa thì suy ra đpcm

Hình b dùng đường đối trung của tam giác ABC là được . Vẽ 2 tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt trung trực BC tại S thì có tam giác SBA và T"DF đồng dạng tưing tự thì SCA vad T'DE đồng dạng từ đây suy ra T trùng T' và T" nên có đpcm ở đây T' là giao của tiếp tuyến tại F và tt BC tương tự với T"

e mở đầu bài hình bằng câu : ta chứng minh bài toán trong trường hợp AB <AC , các trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự hi vọng ko mất điểm ạ