Câu 28* $\left\{\begin{matrix} (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1)\\(y-1)(x^2+6)=x(y^2+1) \end{matrix}\right.$

Câu 29 $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{(x-1)(y+1)}+x=\sqrt{x^3-2}\\\frac{2(x^3+y^3)}{xy}-\frac{3(x^2+y^2)}{\sqrt{xy}}+5(x+y)=8\sqrt{xy} \end{matrix}\right.$

 

Tìm Min $\frac{a^{3}}{b(2c+a)}+\frac{b^{3}}{c(2a+b)}+\frac{c^{3}}{a(2b+c)}$ vói a+b+c=3

 

 

$\frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{b}{3}+\frac{2c+a}{9}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3b(2c+a)}{27b(2c+a)}}=a\Rightarrow \frac{a^3}{b(2c+a)}\geq a-\frac{b}{3}-\frac{2c+a}{9}$

Tương tự, ta được $\sum \frac{a^3}{b(2c+a)}\geq \sum a-\sum \frac{a}{3}-\sum \frac{2c+a}{9}=1$

Cho $x,y,z$ thỏa $xyz=2\sqrt{2}$.Chứng minh:

$\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4+x^2y^2}+\frac{y^8+z^8}{y^4+z^4+y^2z^2}+\frac{z^8+x^8}{z^4+x^4+z^2x^2}\geqslant 8$

Đặt $x^2=a,y^2=b,c^2=z$, ta có $abc=8$

$VT= \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}$. Ta cm $\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2+ab}\geq \frac{1}{3}(a+b)$ cái này có thể cm bằng biến đổi tương đương.Sau đó dùng AM-GM là ra

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và nội tiếp đường tròn $(T)$ có tâm$I(2;1)$, $B$ thuộc đường $(d): x+2y+1=0$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB$, $K$ là trung điểm của $CH$, các tiếp tuyến của $(T)$ tại 2 điểm $A$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Tìm tọa độ $A,B,C$ biết pt MK là $27x+14y-93=0.$

 

 

Câu bất quen quá.

Không mất tính tổng quát giả sử $c=min(a,b,c)$

Đặt $a=c+x,b=c+y \left(x,y\geq0\right)$

Theo giả thiết ta có: $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$ nên suy ra $0\leq x,y \leq 1$

Ta có: $1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$

$\Leftrightarrow 1+ \left(c+x\right)^3+\left(c+y\right)^3+c^3+6c\left(c+x\right)\left(c+y\right) \geq 3\left(c+x\right)^2\left(c+y\right)+3c\left(c+y\right)^2+3c^2\left(c+x\right)$

$\Leftrightarrow \left(2x^3+y^3-3x^2y\right)+\left(1-x^3\right) \geq 0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta lại có: $2x^3+y^3=x^3+x^3+y^3\geq 3x^2y$

Lại có: $x\leq 1 \Rightarrow 1-x^3\geq 0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

 

Cái này là phương pháp bw à?

Tốn cái vé máy bay với 1000 USD qua ăn chơi ở tháng đầu tiên. Thực ra không đến mức đó, nhưng mà em thì nhà quê lên thành phố nên cứ gọi là tiêu xài tẹt ga chứ đúng bản chất thì 1 đồng cũng chả tốn. Ví dụ như qua đây, em vứt mẹ nó đôi giày mua từ bên VN rồi mua ngay 3 đôi giày hiệu cho nó chảnh, đi mẹ mất 5 chai rồi thấy quần áo đẹp đẹp, sách nào giảm giá là hốt, dù nhiều khi cũng chả cần đến. Ông bà già điện qua hỏi thăm thì nói con đóng tiền nhiều lắm, như là tiền học tiếng Hàn nè, tiền bảo hiểm nè .... mà có biết là học tiếng Hàn thì miễn phí, tiền bảo hiểm thì hét giá trên trời Em thì vậy đó, nhớn rồi mà vẫn cứ dối cha gạt mẹ, giờ mới bắt đầu tu tỉnh mà dành dụm

 

Gái thì biết nói sao giờ nhỉ. Chắc chắn là xinh rồi; đứa nào mà không xinh là đi trùm tu lại hết. Em thề là số lượng gái xấu em gặp, đếm không đủ 1 bàn tay ấy chứ. Nếu so giữa gái xấu VN với gái xấu HQ thì em xin thưa là em thà lấy gái xấu HQ chứ không dám lấy gái xấu VN. Nhưng mà nếu đem so giữa gái đẹp VN với gái đẹp HQ thì em vẫn thích gái đẹp VN hơn. Tiếc rằng gái Hàn nó make up hơi bị ghê đấy. Nên có yêu gái Hàn thì trừ khi cưới về chứ không cũng chả rõ nó đẹp hay xấu đâu. Con labmate của em lúc nào mặt cũng láng kít, nhìn cực xinh nhé; nhưng có hôm nó dậy muộn, phi vội tới trường mà chưa make up, ngày hôm đó em đã phải nhịn ăn trưa, nuốt cơm không nổi. Vậy là bác tự hiểu nhé.

 

 Bên Hàn thì con gái đi theo khoa học nghiên cứu cũng nhiều lắm, không như bên VN mình; mò vào trường Bách Khoa cũng chả gặp được mấy bạn nữ. Tính ra thì con gái cũng tầm 40% ~ 50% chứ chả ít . Tiếc thay, phòng em chỉ có 2 con (phòng bên cạnh thì 1 thằng, 3 con) mà cũng gần gũi, thân thiện. Có cái hay nữa là 1 số hành động "sàm sỡ" bên VN thì ở bên Hàn này là bình thường. Lấy 1 cái ví dụ, nếu em ở VN mà vuốt tóc 1 đứa con gái (dù là bạn bè đi nữa), khéo cũng mềm xương với nó; còn ở đây là bt, tất cả đều free. Người yêu ở HQ chỉ có 3 cái "nắm tay", "ôm" và "hôn"; ngoài ra thì bạn bè là vô tư tuốt. Có hôm, em còn bện tóc tít cho con bé ngồi bên nữa chứ

Em nghe nói ở Hàn người ta hay ăn đồ cay lắm , đúng ko hả anh?  (câu hỏi của  một thanh niên có tâm hồn ăn uống)

Cho a, b, c dương thỏa mãn $a>\frac{4}{3}$, $a+b+c>4$ và $(a+b)(a+c)=4a^{2}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{2}{9a-12}+\frac{\sqrt{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{3(a+b+c-4)}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}$

$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow 3a^2=ab+bc+ac$

Ta có những đánh giá sau:

$7a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2\Rightarrow \sqrt{7a^2+b^2+c^2}=a+b+c$

Theo C-S $\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}\geq \frac{a+b+c+2}{2}$

$3a^2=ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\Leftrightarrow 9a^2\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3a\leq a+b+c\Rightarrow \frac{2}{9a-12}\geq \frac{2}{3(a+b+c)-12}$

Từ những đánh giá trên thay vào $P$, ta được

$P\geq \frac{2+a+b+c}{3(a+b+c)-12}+\frac{a+b+c+2}{2}$

Đặt $t=a+b+c (t>4)$ ta đc

$P\geq \frac{2+t}{3t-12}+\frac{t+2}{2}$

Đến đây chỉ cần khảo sát $P$ là ra

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
P/s: thầy mình bảo bài này có lời giải rất sơ cấp, mấy bạn đừng giải mà dùng đao to búa lớn quá mình đọc hổng có hiểu đâu     

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
P/s: thầy mình bảo bài này có lời giải rất sơ cấp, mấy bạn đừng giải mà dùng đao to búa lớn quá mình đọc hổng có hiểu đâu     

Cho $a,b,c \in [\frac{1}{3},3]$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}$

Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z\Rightarrow xyz=1$

Ta cần cm $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{7}{5}$

Giả sử z=min{x,y,z} nên $z\leq 1$

Dễ chứng minh được $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}= \frac{2\sqrt{z}}{1+\sqrt{z}}\Rightarrow VT\geq \frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{1+z}$

Ta lại có $z=\frac{a}{c}\geq \frac{\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9}$

Đến đây sử dụng đạo hàm là ra.

$a,b,c\geq0$ và $a+b+c=3$.Tìm $Max$.:

$P=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}$

Giả sử $a\leq b\leq c$, ta có 

$(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{c}-\sqrt{b})\sqrt{c}\geq 0\Leftrightarrow c\sqrt{b}-b\sqrt{c}-c\sqrt{a}+\sqrt{abc}\geq 0\Leftrightarrow c\sqrt{b}\geq b\sqrt{c} +c\sqrt{a}-\sqrt{abc}$

$\Rightarrow P\leq c\sqrt{b}+a\sqrt{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2b(a+c)(a+c)}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{8(a+b+c)^3}{27}}=2$

cho $\Delta$ABC có ba góc nhọn các đường cao AD,BE,CF, cắt nhau tại H 

a/ chứng mình EF.AB=AE.BC

b/ Chứng mình rằng :H là tâm của dường tròn nội tiếp $\Delta$DEF

c/ trong trường hợp $\Delta$ABC đều . gọi O là trung điểm của BC . một góc xOy=60 độ quay quanh O sao cho Ox,Oy lần lượt cắt cạnh AB và AC tại M và N.chứng mình rằng : MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .

bài 2

tìm x,y,z nguyên biết $x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

bài 3

chứng minh các bất dẳng đẳng thức sau :

a/ $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$

b/ $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

bài 4

1/cho x,y là 2 số thực dương . chừng minh rằng : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

2/ cho a,b là 2 số thực dương luôn thỏa mãn điều kiện $a+b\leq 1$. tìm gtnn của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{ab}+4ab$

bài 5 chứng mình A(n)=$n^{2}(n^{4}-1)$ chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n

Bài 4

1, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}\geq \frac{4}{x+y}$

2 $\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+\frac{1}{4ab}+(4ab+\frac{1}{4ab})\geq \frac{2}{\sqrt{(a^2+b^2)2ab}}+\frac{1}{(a+b)^2}+2\geq \frac{5}{(a+b)^2}+2\geq 7$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac=1$.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b^2+c^2+2}+\frac{b}{a^2+c^2+2}+\frac{c}{a^2+b^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Mình tìm được một cách chứng minh là dồn về $a+b+c$ rồi dùng đạo hàm . Ai có cách khác thì post lên cho mình tham khảo với 

Mọi người ơi có ai biết cuốn sách nào hay bồi dưỡng học sinh giỏi lý 12 không chia sẻ mình với.

Có cuốn tuyển tập các bài toán cơ bản và nâng cao vật lý 12 của Vũ Thanh Khiết . 

Hình như đề như vầy $x^{5}-x^{2}-2x-1=0$

http://diendantoanho...ệm-x5-x2-2x-10/

Đề đúng đấy bạn ạ

Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm $x^5-x^2-1=0$

Sai rồi. ko tồn tại dấu bằng   bài này dồn biến rồi đạo hàm 

Với $x=1;y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ dấu bằng xảy ra 

Cho x,y >0 và x # y. Tìm GTNN:
Q=$xy\left [ \frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right ]$

Làm thế này không biết đúng không

$Q=\frac{xy}{(x-y)^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{xy}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{xy}+2\geq 4$

Dấu "=" xảy ra khi $xy=(x-y)^2$

Cho $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

Theo mình đề phải là $x^2+y^2+z^2\leq x^2y+y^2z+z^2x+1$ chứ 

dùng phương pháp nhận xét, đánh giá

Bài 20

Đặt $y=\sqrt{x-\sqrt{x-2010}}\Rightarrow \sqrt{x-\sqrt{x-y}}=2010$

TH1 $y<2010\Rightarrow x-y>x-2010\Rightarrow \sqrt{x-y}>\sqrt{x-2010}\Rightarrow \sqrt{x-\sqrt{x-y}}<\sqrt{x-\sqrt{x-2010}}\Rightarrow 2010<y$

TH2 $y>2010$ làm tương tự

TH3 $y=2010\Rightarrow x$

cho a,b,c>0 và abc=1: CMR: $\sum (a-1+\frac{1}{b})\leq 1$       

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

Ta cần chứng minh $(x+y-z)(z+x-y)(y+z-x)\leq xyz$

Theo BĐT AM-GM $(x+y-z)(z+x-y)\leq x^2$

tương tự rồi nhân vào được đpcm

Cho dãy số $a_1=1, a_{n+1}=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$ với mọi $n \geq 1$.CMR ${a_n}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó

Cho dãy số $x_1=0, x_2=2, x_{n+1}=2^{-x_{n}}+\frac{1}{2}$.Chứng minh dãy ${x_n}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 14

Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z > 0.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Đặt  $\frac{x}{x+y+z}=a,\frac{y}{x+y+z}=b,\frac{z}{x+y+z}=c$, ta có

$a+b+c=1$

$a^3+b^3+16c^3= (a+b)^3-3ab(a+b)+16c^3\geq \frac{1}{4}(a+b)^3+16c^3=\frac{1}{4}(1-c)^3+16c^3$

Đến đây sử dụng đạo hàm  với $c\in [0;1)$ là xong