bạn làm từ $GT=>\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

rồi từ $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=> GT$

Hài         

$\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ tính tổng các lập phương có công thức đó mà bạn

Cho $n\epsilon \mathbb{N}$ chứng minh rằng, với mọi n ta luôn có đẳng thức: $\sqrt{0^{3}+1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=0+1+2+3+...+n$

Ta có $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} =>\sqrt{\sum_{n=1}^{k}n^{3}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{n=1}^{k}n (đpcm)$

Gọi $S_{k}=a_{k}+a_{k+1}+...+a_{k+8}$ là tổng 8 số $Fibonacci$ liên tiếp bất kì

CMR:$2S_{k}=S_{k+8}$

$VT=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+c-b}+\frac{2}{a+b-c}$

Ta có $\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b} \geq \frac{1}{2c}$

Tương tự ...

$=>\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+c-b}+\frac{2}{a+b-c}\geq\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}=\frac{1}{2}(\sum\frac{1}{a})=>đpcm$

Anh nghĩ vế phải là $\frac{1}{2}$ em = ))

 

Thực hiện phép chia:

a)$(12x^4+4x^3+9x+3) : (3x-2)$

b)$(3x^3-4x^2+13x-4) : (3x-1)$

c)$(6x^6+2x^5-2x^4-15x^3+x^2+7x-2) : (3x^2+x-1)$

d)$(-6x^4+5x^3+17x^2-23x+7) : (-3x^2-2x+7)$

 

$SGK$ chỉ rõ rồi mà em = ))
có cách khác là em phân tích đa thức bị chia thành nhân tử sao cho xuất hiện đa thức chia = )) (cơ bản cũng dựa vào cách chia 2 đa thức thôi em = )) )

câu 2 và 3 tương tự là căn bậc 2 của 1 bình phương của tổng gồm 3 hạng tử em nhé = )

$1/<=>\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Em xin phép làm câu 1
Ta có PT $<=> xy(x+y+2)=1+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=a$ và $xy=b$

$=>ab+2b=1+a^{2}$

Xét $a=-2=>0=5 (vô lý)$

Xét a khác -2, ta có $b=\frac{a^{2}+1}{a+2}=a+2-4+\frac{5}{a+2}=>a+2$ thuộc ước của 5

Với $a+2=5=>a=x+y=3;xy=b=2=>(x;y)=(1;2);(2;1)$

Với $a+2=1=>a=-1=x+y;b=xy=2=>vô nghiệm$

Với $a+2=-5=>a=-7=x+y;b=-10=xy=>vô nghiệm$

Với $a+2=-1=>a=-3=x+y;b=-10=xy=>(x;y)=(-5;2);(2;-5)$

$5\sqrt{x^{3}+8}=2(x^{2}-x+6)$

Nhận thấy $x^{3}+8=(x+2)(x^{2}-2x+4)(1)$

$2(x^{2}-x+6)=2(x+2)+2(x^{2}-2x+4)(2)$

Từ (1) và (2), ta đặt $\sqrt{x+2}=a;\sqrt{x^{2}-2x+4}=b=>5ab=2(a^{2}+b^{2})$

Đến đây giải tìm đc a,b

Hãy nêu lên í kiến của bn về vấn đề này.

Đã yêu ai thì ở bên người đó cả thế kỉ cũng không chán bạn à = ))

Sử dụng pp đổi biến

1/ ta đặt $a-1=y$

Ta có $A=x^{3}+2(y+1)x^{2}+x(1+y^{2}+2y)+y=x^{3}+yx^{2}+2x^{2}+x+yx^{2}+y^{2}x+2xy+y=(x+y)(x^{2}+yx+2x+1)=(x+y)[x^{2}+(y+2)x+1]=(x+a-1)[x^{2}+(a+1)x+1]$$

Có cách nào không cần nhân tay không vậy bạn

Không bạn à = ))
Hồi mình lớp 9 chém mấy cái bài dạng này bằng tay sau khi bấm máy tính ra thôi = ))
Nguyên do là máy nó làm tròn á bạn = ))

Bài 3:b/ Ta có $17^{5}\equiv1733 (mod2003)$

$17^{10} \equiv 1733.1733 \equiv 792 (mod 2003)$

$17^{7} \equiv 87 (mod 2003)$

$=>17^{17} \equiv 792.87 \equiv 802 (mod 2003)$

Bài 1)Tính chính xác 

$16594^{4}$

Bài 2)Tìm 2 chữ số tận cùng

$2^{70}$

Bài 3)Tìm số dư

a)$3^{2^{1992}}$ chia cho 11

b)$17^{17}$ khi chia cho $2003$

ta có $2^{20} \equiv 76 (mod 100)$

$=>2^{40} \equiv 76^{2} \equiv 76 (mod 100)$

$=>2^{60} \equiv 76.76 \equiv 76 (mod 100)$

ta có $2^{10} \equiv 24 (mod 100)$

$=>2^{70} \equiv 76.24 \equiv 24 (mod 100)$

Vậy 2 chữ số cần tìm là $24$

bài 1 kết quả:7575050702961

Em bấm bằng máy tính nó quy tròn đấy, nhận thấy số 4 tận cùng nên ắt kết quả có tận cùng phải là số chẵn = )
Bài này nửa sử dụng casio, nửa sử dụng giấy, dùng máy bấm sao cho không phải quy tròn, sau đó nhân tay = )

 

bài 3:cho bốn số a,b,c,d đồng thời không có ba số nào bằng 0 chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{e}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

 

Dễ dàng chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq\frac{2a}{a+b+cd}$ tương tự cộng vế theo vế =>$đpcm$

Chuẩn hóa $abc=1 $

 

$VT= \sum \frac{a}{b} + \frac{6}{\sum \frac{b}{c}}$ 

Đặt $\sum \frac{a}{b} = t ( dk t \geq3)$ 

BDT $ \Leftrightarrow t+\frac{6}{t} \geq 5$ ( điểm rơi là ok )

Bạn có cách nào sử dụng nguyên lý Dirichlé không, mình hiện cần cách giải kiểu đó hơn = ))

Bài em làm là $31(a+b+c)$ chứ đâu phải $99(a+b+c)$ đâu.

vì a,b,c là số tự nhiên mà em, cho nên nếu làm theo cách của em sẽ bị bắt bẻ ở đoạn màu đỏ

Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M=5x^2+2y^2-2xy-4x+2y+3$
Lời giải:
$M=5x^2+2y^2-2xy-4x+2y+3$
$=(x-y)^2+(2x-1)^2+(y+1)^2+1$
$\Rightarrow M_{min} = 1 \Leftrightarrow x=y; x=0,5;y=1 $
______________________________________________________
Bạn xem lời giải đã đúng chưa

điều kiện xảy ra dấu bằng bị sai

$4p+1=x^{3}=>4p=(x-1)(x^{2}+x+1)$

Vì p là số nguyên tố nên ta có các trường hợp
TH1:$4=x-1$ và $p=x^{2}+x+1$ và đảo lại

TH2:$2=x-1$ và $2p=x^{2}+x+1$ và đảo lại

TH3:$4p=x-1$ và $x^{2}+x+1=1$ và đảo lại

Ứng với mỗi trường hợp, ta tìm được x, sau đó thay vào tìm p tương ứng = ))

Một cách làm khác nữa  : Ta có $28(a+b+c)< 365< 31(a+b+c)\Rightarrow 11< a+b+c< 13\Rightarrow a+b+c=12$(đpcm)

28(a+b+c)<365<99(a+b+c)=>3<a+b+c<13 thì hơi khổ em ạ :v
Anh nghĩ chúng ta phải cần thêm điều kiện gì nữa để kèm chặt cái bước đỏ đỏ = ))

Cho a,b,c là các số thực dương
CMR:$\sum \frac{a}{b}+\frac{6abc}{\sum ab^{2}}\geq5$

Uây các bạn chém gió xuyên màn đêm luôn à :v

Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên thoả $28a+30b+31c= 365$. Chứng minh $a+b+c=12$

Bài toán này không khó nhưng lại thú vị. Nếu để ý một chút ta sẽ thấy $a+b+c$ chính là số tháng trong năm, 365 là số ngày trong năm, và 28,31 là số ngày trong tháng.

chuyển vế, ta có PT $<=>28(a-1)+30(b-4)+31(c-7)=0=>$Tìm được 1 nghiệm nguyên thỏa mãn PT $(a;b;c)=(1;4;7)$ Nghiệm này có tổng a+b+c=12 thỏa mãn

Một cách làm khác là biến đổi, ta được $14a+15b=\frac{365-31c}{2}$ với c là số lẻ chạy từ 1 đến 7 (do 31c phải lẻ)

Xét trường hợp của c, mỗi trường hợp ta tìm nghiệm nguyên (a;b) tương ứng = )

Giải phương trình: 
 

c. $\sqrt[3]{12x^2+46x} - \sqrt[3]{x^2-5x+1} = 2x+2$

nhân 12 trong ruột của cái căn thứ 2, sau đó làm tương tự như 2 câu trên = )