tinh tich phan \[\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cot xdx} \]

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cotx =\lim_{x\rightarrow 0} (-ln|sinx|)=+\infty$

Đặt y=x+1

nhân liên hợp như bạn trên ấy

2. ta có $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}\Rightarrow \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}$

Tương tự, cộng vế theo vế của các BĐT ta được $\sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \sum \frac{a+b}{2}=3$

1. Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}\sum \sqrt{a}b$

Cần cm $\sum \sqrt{a}b\leq 3$

Ta có $(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a)^{2}\leq (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 9\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}b\leq 3$

=> đpcm

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+2\sqrt{abcd}\leq ab+ad+bc+cd\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{cd})^{2}\geq 0$ (đúng)

1. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}$+$\frac{c^2a}{b^3(a+c)}$+$\frac{a^2b}{c^3(a+b)}$ $\geq$$\frac{a+b+c}{2}$

2 Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì CMR:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Câu 1. thay a = b = c = 2 thì BĐT sai

Cho 2017 điểm thỏa mãn trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm sao cho đoạn thẳng tạo bởi chúng có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 các điểm cho trên.

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x-1)}+\sqrt{2(y+1)}=(x-3y)\sqrt{x+y} & & \\ (y+1)\sqrt{3x-y-4}=(2y+1)\sqrt{x+y} & & \end{matrix}\right.$

ĐK x $\geq -1$ 

PT $\Leftrightarrow \sqrt{22(2x+1)^{2}+14(x+1)}=2[2(2x+1)+\sqrt{x+1}]$

Đặt a = 2x+1, b = $\sqrt{x+1}$ ( b$\geq$0)

Ta có : $\sqrt{22a^{2}+14b^{2}}=2(2a+b)$ $\Leftrightarrow 3a^{2}-8ab+5b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(3a-5b)=0$

Đến đây rõ rồi     

Nhờ anh chị hướng dẫn giúp e 2 bài pt căn lớp 10:

1/ $\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  + x\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  = 0$

 

PT <=> $x\sqrt{x^{2}-2x+10}=(1-x)\sqrt{x^{2}+4} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ x^{2}[(x-1)^{2}+9]=(1-x)^{2}(x^{2}+4) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ 9x^{2}=4(1-x)^{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Ai giải giùm câu 3 với 

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$                                

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự. Cộng vế theo vế các BĐT ta được :

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Bạn này gõ tiêu đề là 3/4 mà đề lại ghi 3/2 

Cho a,b khác 0, chứng minh : $a^{2}+b^{2}+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 2$

Cho dãy số {x_k} xác định bởi : x_k = $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k}{(k+1)!}$ $(k\geq 1)$

Tìm $Lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+..+x_{2012}^{n}}$

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3

Cho a,b,c > 0, chứng minh : $\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

cách này hơi khó hiểu

1. Cho dãy (U_n) được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}(u_{n}+1)(u_{n}+2)(u_{n}+3)} & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{u_{i}+2}$

2. Tìm $lim [\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2^{1}}{1}+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )]$

3. Cho dãy (u_n) được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{3} & \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+\sqrt{2}-1}{1+(1-\sqrt{2})u_{n}} & \end{matrix}\right.$

Tính u₂₀₁₆

cho x, y thỏa mãn $x^{2} + 4y^{2} = 25$. tìm GTLN và GTNN của x + 2y

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có :

$(x+2y)^{2}\leq 2.(x^{2}+4y^{2})=50 \rightarrow -5\sqrt{2}\leq x+2y\leq 5\sqrt{2}$

KL : ...

Bài 1: Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ac > 0

Chứng minh: $\sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{1+b^{2}}{a+c}}+\sqrt{\frac{1+c^{2}}{a+b}}\geq 3$

$\sum \sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{1+a^{2}}{b+c}}$

cần chứng minh $\prod (1+a^{2})\geq \prod (a+b)$

Ta có : $(1+a^{2})(1+b^{2})\geq (a+b)^{2}$

thiết lập tương tự rồi nhân vế theo vế các bđt, ta có đpcm

Ở đây a,b,c >0 thì ab+bc+ca >0 rồi     

Bài 2: cho a+b+c = 3

chứng minh  $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{a+b}{c+ab}}$

Cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (c+ab)(b+ac)(a+bc)$

Ta có :

$(c+ab)(a+bc)(b+ca)\leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)(1+a)(1+b)(1+c) \leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\frac{1}{27}(1+1+1+a+b+c)^{3}=(a+b)(b+c)(c+a)$

-> đpcm