Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $7x^2+9y^2=16z^2$ 

 

Tổng quát: Giải phương trình nghiệm tự nhiên $ax^2+by^2=(a+b)z^2$ $(a,b$ là hệ số$)$

Cho dãy giảm $n$ số dương $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ thỏa mãn điều kiện $x_1+x_2+....+x_k\geqslant \sqrt{k}$ $(n\geqslant k)$.Chứng minh rằng: $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2>\frac{1}{4}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$

(AoPS) Cho $p$ là số nguyên tố $(p>7)$ và $s$ là số nguyên.Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho: $\prod_{i=1}^n (x_i^2-1)\equiv s$ $(mod$ $p)$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge ab+bc+ca+\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}+4\sqrt{2}}\right)(a-1)(b-1)(c-1)$$

Tìm $f(x)$ sao cho: $\int_{0}^a \sqrt{f'(x)^2+1} dx=\frac{a}{2}$ $(a$ là hằng số)

Cho $n$ số thực $x_1,x_2,...,x_n$.Chứng minh rằng:

   $\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\leqslant \sqrt{n}$

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$. Gọi $O$ là điểm bất kì trong tam giác.Vẽ $AO,BO,CO$ cắt $BC,CA,AB$ tại $P,Q,R$. Chứng minh rằng: $OP+OQ+OR<BC$

Cho ba số $a,b,c$ thỏa: $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh:

$[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

Tìm $f(x)$ xác định trên $D=R$ \ $(\pm\frac{1}{2})$ thoả $f(x-1)-3f(\frac{x-1}{1-2x})=1-2x$ với mọi $x\in D$

Cho $n\in \mathbb{Z^+}$ và kí hiệu $U(n)=\left \{ d_1,d_2,d_3,...,d_m \right \}$ là ước nguyên dương của $n$.Chứng minh:

$d_1^2+d_2^2+d_3^2+...+d_m^2\leq n^2\sqrt{n}$

1/Cho đa thức $P_0(x)=x^3+22x^2-6x+15$.Với $n\in \mathbb{Z^+}$, ta đặt

            $P_n(x)=P_{n-1}(x-n)$

Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

 

2/Cho $a,b,c,m,n,p$ là các số nguyên dương.Đặt $A=a+b+c+m+n+p,B=ab+bc+ca-mn-np-pm$ và $C=abc+mnp$.Biết $B,C$ đều chia hết cho $A$.Chứng minh $A$ là hợp số

Cho $a_1,a_2,..,a_n;b_1,b_2,..b_n;c_1,c_2,...c_n>0$ và $A=\sum a_1;B=\sum b_1;C=\sum c_1$.Chứng minh rằng:
$min\{a_1b_1c_1;a_2b_2c_2;a_3b_3c_3;...;a_nb_nc_n\} \leqslant \frac{ABC}{n^3}$

Chứng minh $\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+...+\frac{x^2}{2!}+x+1=0$ không có nghiệm hữu tỉ với $n\geq 2$