Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Thay x=y=0 vào (1): f(0)=0

Thay y bởi x vào (1): f(2x)=2f(x)

Thay x bởi 3x, y bởi x vào (1):

$f(4x)+f(2x)=2f(3x)+2f(x)\Leftrightarrow 2f(2x)+f(2x)=2f(3x)+f(2x)\Leftrightarrow f(3x)=f(2x)$

Suy ra: $f(x)=f(\frac{2}{3}x)=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^2x)=...=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)$

Vì f liên tục nên: $limf(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)=f(lim(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx))=f(0)=0$

Vậy f(x)=0 với mọi x thuộc R

Tìm tất cả các hàm f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(xf(y))=yf(x)$ , với mọi x, y thuộc R

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ (a$\neq$0)

CMR nếu $f(x)\neq x$  $(\forall x\epsilon R)$ thì:

$f(f(x))\neq x$  $(\forall x\epsilon R)$

Topic này dùng để các bạn thảo luận về các bài toán VMO 2012.
 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012
Thời gian làm bài: 180 phút
-------- Ngày thi thứ nhất--------

Bài 1: (5 điểm)
Cho dãy số thực$(x_n)$ xác định bởi : $\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}$ với mọi $n\geq 2$.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n \to + \infty $ và tính giới hạn đó.

 

Em còn gà mờ, cho em hỏi bài 1 chứng minh ntn có được không.

Ta sẽ chứng minh $(x_n)$ là dãy giảm kể từ số hạng thứ 2. Tức là: $x_n<x_{n-1}$  với mọi $n\geq 3$  (1)

Dễ tính: $x_2=\frac{10}{3}$; $x_3=\frac{80}{27}<x_2$

(1) đúng với n=3, giả sử (1) đúng với n=k ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với n=k+1.

Ta có: $x_k<x_{k-1}$

Dễ có: $\frac{k+3}{3k+3}<\frac{k+2}{3k}$

Suy ra: $\frac{k+3}{3k+3}(x_k+2)<\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2)\Leftrightarrow x_{k+1}<x_k$

Suy ra (1) đúng theo nguyên lý quy nạp.

Dãy $(x_n)$ giảm và bị chặn dưới ($x_n>0$ với mọi n). Suy ra $(x_n)$ có GHHH. 

Chuyển CT truy hồi về giới hạn ta tính được $limx_n=1$

Tìm tất cả các hàm số f $R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)f(1+y)=2xy(3y-x^{2})$ (với mọi x, y thực)

Đoạn kia tác giả bảo bạn đọc tự chứng minh tính duy nhất của hàm mà mình làm mãi ko ra.

mới thi hồi sáng mà giờ đăng lên rồi . cho hỏi anh lớp nào trường gì 

Anh trường huyện đi thi cho vui thôi em =)))

Bài 7:

Chia tập S thành 3 tập con S1, S2, S3, với:

S1={1;4;7;...;2014}

- S1 gồm 672 số tự nhiên cùng đồng dư 1 trong phép chia cho 3

S2={2;5;8;...;2015}

- S2 gồm 672 số tự nhiên cùng đồng dư -1 trong phép chia cho 3

S3={3;6;9;...;2016}

- S3 gồm 672 số tự nhiên chia hết cho 3

Ta có: S1, S2, S3 không giao nhau và $S=S1\cup S2\cup S3$

Tập con A thỏa mãn đề bài được thành lập bằng cách chọn x phần tử của tập S1, y phần tử của tập S2 và z phần tử của tập S3

Theo đề ta có:

$\left\{\begin{matrix} x,y,z\epsilon [0;6] & \\ x+y+z=6 & \\ (x-z)\vdots 3 & \end{matrix}\right.$

$(x-z)\vdots 3\Rightarrow (x-z)=-6;-3;0;3;6$

Giải ra ta được: $(x;y;z)=(6;0;0), (0;0;6) (4;1;1), (1;1;4), (3;3;0) (0;3;3), (0;6;0), (1;4;1), (2;2;2), (3;0;3)$

Xét trường hợp: $(x;y;z)=(6;0;0)$. Khi đó số cách chọn tập A thỏa mãn là: 672C6.672C0.672C0=672C6

Các trường hợp còn lại tương tự, từ đó suy ra số tập A thỏa mãn...

Đề ngày 2:

Bài hình câu a: Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AC, BD. G là điểm đối xứng của B qua N.

 

P là trung điểm của EF nên P Q, N thẳng hàng. Do đó M, D, G thẳng hàng.

 

Vậy MD đi qua điểm G cố định. 

Làm sao chứng minh P, Q, N thẳng hàng z 

p/s: vẽ hình và tìm được điểm cố định ko biết có điểm nào không :v

Bài 1 ban đầu nhìn hơi lạ nhưng biến đổi tý thì về dạng quen thuộc, năm ngoái cũng ra dạng ntn.

Dùng quy nạp dễ dàng chứng minh $(x_n)$ là dãy tăng.

Giả sử $(x_n)$ có GHHH, gọi $L=lim(x_n)$, ta có: $L=\frac{L-4+\sqrt{L^2+12L}}{2}\Leftrightarrow L=4$

Điều này vô lý vì $(x_n)$ là dãy tăng và có $x_1>4$

Ta lại có:

$x_{n+1}=\frac{x_n-4+\sqrt{x_{n}^2+12x_n}}{2}$

$\Leftrightarrow (2x_{n+1}-x_n+4)^2=x_{n}^2+12x_n$

$\Leftrightarrow x_{n+1}^2+4x_{n+1}=x_nx_{n+1}+5x_n-4$

$\Leftrightarrow (x_{n+1}+4)(x_{n+1}-x_n)=x_n-4$

$\Leftrightarrow (x_{n+1}^2-16)(x_{n+1}-x_n)=(x_n-4)(x_{n+1}-4)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x_{n+1}^2-16}=\frac{1}{x_n-4}-\frac{1}{x_{n+1}-4}$

Tới đây dễ dàng tìm được $limy_n=\frac{1}{x_1-4}=1000$

Đề ngày 1:

thế y=x $ \Rightarrow f(2x)=2f(x)+x^2+1$

thế y=2x $ \Rightarrow f(3x)=f(x)+f(2x)+2x^2+1=3f(x)+ (2+1)x^2+1+1$

....

từ đó dễ thấy được $f(nx) =nf(x)+ [(n-1)+(n-2)+...+1]x^2+n-1$

đặt $f(1)=a$ ta suy ra $f(n)=na+\frac{(n+2)(n-1)}{2} , n \in \mathbb{N}$

phải tìm được chính xác giá trị f(1) luôn chứ nhỉ :/

Câu PTH.
Đặt $g(x)=xf(x)$
PT trở thành
$g(g(x))+g(x)=2x+9$
Đến đây thì dễ rồi.
Dế thấy $g$ không thể là hàm hằng.
Gọi bậc của $g(x)$ là $n(n \geq 1)$
Bậc của VP là 1 còn VT là $max(n^2,n)$. Mà $deg VT= deg VP$ nên $n=1$
$g(x)=ax+b$ thì $a=1,b=3$
Thay ngược lên + thử lại thì thỏa mãn
Kết luận $f(x)=1+ \frac {3}{x}$

đây cũng phải PTH đa thức

Cũng đặt $g(x)$ như bạn

Tức là ta có $g(g(x)) + g(x)=2x+9 $ 

Xét dãy số $x_0=x , x_1=g(x)$

$x_n= g(g(...(x)...)) $ ($n$ lần $g$ )  

Khi đó, ta dễ có $x_{n+2} + x_{n+1} = 2x_n +9 $ 

Đặt $u_n=x_n-3n $

Khi đó thay vào lại, ta được 

$u_{n+2} + u_{n+1} = 2u_n $

Sai phân, ta tính được

$u_n = c_1.1 + c_2(-2)^n $ 

Cho $n$ lẻ và đủ lớn thì $u_n <0 $ vô lí 

Do đó $c_2=0 $

Tới đây dễ rồi 

Hàm nay chưa chắc là hàm đa thức và cũng không phải hàm trên N (đề cho trên R+) 

2 bạn giải như thế hình như sai rồi :/

 

Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Ninh Thuận năm 2011-2012

 

Bài 3. Cho góc vuông $xOy$, điểm $A$ khác $O$ cố định trên tia phân giác $Om$ của góc ấy. Đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A$ và $O$ cắt hai tia $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $M$ và $N$:

a) Chứng minh khi đường tròn $(C)$ thay đổi thì $OM+ON$ không đổi.

b) Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.

 

 

Đề mấy năm trước có vẻ dễ chịu

a. OA là phân giác xOy nên AN=AM

Hạ AH vuông góc Ox, AK vuông góc Oy. Có góc KNA= góc HMA 

$\Rightarrow \Delta AHM=\Delta AKN(ch-gn)$

Suy ra: KN=HM. Từ đó có: OM+ON=2OH=const

b. Dễ có IA=IO=1/2.MN

I thuộc trung trực OA

dễ thấy$f(0)=0$ thay y=0 ta có $f(x^2)=xf(x)=-xf(-x)\rightarrow f(x)=-f(-x)$

ta có $f(x^2-y)=f(x^2)-f(y)\Leftrightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)\rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ đưa về dạng quen thuộc

bạn có thể giúp mình trình bày hoàn thiện câu PTH này như bài thi không ạ... mình cần gấp :'(

Đặc biệt là phần từ sau khúc hàm cộng tính rồi làm sao để kết luận là f(x)=ax đấy ạ!

Cũng hơi thắc mắc là đề thi này từ 2012 mà sao vừa đúng lúc mình cần lời giải câu PTH lại có người vào viết luôn =))

Tách thành thừa số nguyên tố:

$3500=2.2.5.5.5.7$

Có $6$ chữ số tạo thành, vậy các số thoả mãn yêu cầu đề là hoán vị của $6$ chữ số $2;2;5;5;5;7$

Em nghĩ là còn trường hợp 4, 1, 5, 5, 7 nữa ạ

bạn có thể post đề lên hk ? 

sr lúc nãy post bằng điện thoại bị lỗi kĩ thuật, đã update 

Đề căng :'(
Hóng lời giải câu BĐT

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB. Lấy điểm C trên AB sao cho AC=2AB. Một đường thẳng qua C cắt đường tròn tại M và N. Dựng điểm D sao cho DB=AB và DB vuông góc với mặt phẳng (P). Chứng minh rằng $sin(BDM)^2+ sin(BDN)^2=\frac{1}{2}$

Thủ thuật khai triển đa thức 2 biến hệ số nguyên bằng casio và ứng dụng giải nhanh một số dạng bài trắc nghiệm hàm số.

Xem file đính kèm

Nội dung thủ thuật được tham khảo từ bài viết: http://diendantoanho...yên-bằng-casio/

(mình có trình bày lại chi tiết và tương đối tổng quát hơn)

Theo mình thì những câu như thế không đủ độ khó để tốt nghiệp vì bấm máy tính cũng ra thì không cần phải học

cậu đã xem đề TN các năm trước chưa??? xem nó "khó" cỡ nào!

Nói thật cả đống đứa có máy cũng chả biết bấm ấy

Đề thi hơn có vấn đề, như mình mới học lớp 10 mà cũng biết câu 12 là B $x=65$, chỉ cần bấm máy tính thay cả 4 đáp án vào cái nào đúng thì chọn không cần tư duy (mà mình còn chẳng biết $log_{4}$ nó là cái gì).

P/s: Nhìn đáp án mình đoán là $\sqrt[3]{64}=4$

dĩ nhiên phải có những câu chỉ dùng MTCT thôi cũng giải đc bạn ạ (tầm 30%)... nhưng những câu đó thì chỉ phục vụ mục đích tốt nghiệp thôi. Mình nghĩ đề này cũng khá ổn đó.

Bạn chỉ rõ hơn được không. Mình nghĩ là chuẩn rồi đó

$5(a^2+c^2)\leq 5\frac{(a+c)^2}{2}$

???