Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3.$

Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$

Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)

Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]=10$

-

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTLN:

 

$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Ta có :

P=$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)}{(a^{3}+b^{2}+c)(\frac{1}{a}+1+c)}\leq \frac{\sum a+\sum ab+3}{(\sum a)^{2}}\leq \frac{\sum a+\frac{1}{3}(\sum a)^{2}+3}{(\sum a)^{2}}=1$

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=1

2.    $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$ vs a,b,c>0

cách khác nếu b cần

Cho $a,b,c>0$. CMR 

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

B kiểm tra hộ mình xem chỗ đó có đúng thế k ? Có lẽ phải là $\sqrt{abc(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$ chứ

Cho a,b,c > 0 ; abc=b+2c Tìm Min

$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}$

ta có: $abc=2c+b \Leftrightarrow  a= \frac{2}{b}+ \frac{1}{c}$

cho a,b,c thực dương : $\sum a=3$

cm: $\sum \frac{a}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$

1) Cho các số dương thỏa mãn: $abc\geq 1$

CMR: $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$

2) Cho các số dương thỏa mãn: $xyz=1$

CMR: $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

1.Ta có :

$\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{2a}\leq \sqrt{2(a^{2}+1+2a)}\doteq \sqrt{2}(a+1)$

Tương tự , cộng vế theo vế ta đc : $\sum \sqrt{a^{2}+1}+\sum \sqrt{2a}\leq \sqrt{2}(\sum a)+3\sqrt{2}$

=>$\sum \sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{2}(\sum a)+3\sqrt{2}-\sum \sqrt{2a}\leq \sqrt{2}(\sum a)$(đpcm)

1) Cho các số dương thỏa mãn: $abc\geq 1$

CMR: $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$

2) Cho các số dương thỏa mãn: $xyz=1$

CMR: $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CM $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

Ta có : $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{b^{2}c^{2}}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum ab)^{2}}{2(\sum ab)}=\frac{\sum ab}{2}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

chung minh voi x,y,z la cac so thuc duong sao cho x+y+z=1 tim gia tri nho nhat cua

$\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$          

:$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}-\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\sum x-\sum y=0$

=>$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{1}{2}(\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}+\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)})=\frac{1}{2} \sum \frac{x^4+y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac       {1}{4}\sum \frac{(x^2+y^2)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac{1}{8}\sum \frac{ (x+y)^2}{x+y}=\frac{1}{8}\sum (x+y)=\frac{1}{4}$

=>đpcm

Cho a, b, c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=6$

CMR: $\sum \frac{1}{3a+3b+2c}\leq \frac{3}{2}$

Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z ta có : $\sum \frac{1}{x}=6$

Mà : VT=$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\sum \frac{4}{x})=\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{x})=\frac{3}{2}$ ( đpcm )

cho a,b,c là các số thực dương chung minh rang

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Ta có :

VT=$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2c}} \geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2c}}=\sum \sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{2b}}+\frac{1}{\sqrt{2c}})\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{2\sqrt{b+c}}=2(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}})$=VP=> ĐPCM

Cái này hình như phải là $a$ chứ 

$\sum \frac{1}{a+b+c+\frac{b^{2}}{a}}\leq \sum  \frac{1}{2\sqrt{a+\frac{b^{2}}{a}}+b+c}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$. CM

$\frac{a}{a+b^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Ta có :

$\sum \frac{a}{a+b^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b^{2}}{a}}=\sum \frac{1}{a+b+c+\frac{b^{2}}{a}}\leq \sum \frac{1}{2b+b+c}\leq \frac{1}{16}(\sum \frac{4}{a})=\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{a})$=) đpcm

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CM

$\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$

Ta có :$\sum a^{2}=3=>\sum a\leq 3$

$VT=2(\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 2(\sum a-\frac{b\sqrt{a}}{2})\geq 2(\sum a-\frac{\sqrt{(\sum ab)(\sum a)}}{2})\geq 2(\sum a)-\frac{(\sum a)\sqrt{\sum a}}{\sqrt{3}}\geq \sum a$ (ĐPCM)

1.Cho a, b$\in$[1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P=$\frac{b+3}{a^{3}-2a^{2}+b+4}+\frac{a+3}{b^{3}-2b^{2}+a+4}+\frac{a+b}{25}$

2. Cho a, b, c, d$\in$[1;2]. Chứng minh rằng:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\leqslant 25$

3.Cho 3 số dương thỏa mãn abc=1.
CMR: (a+b)(b+c)(c+a)+7$\geq$5(a+b+c)

3.

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 

$\sqrt{a^2+ab+2b^2} +\sqrt{b^2+bc+2c^2} +\sqrt{c^2+ac+2a^2}$.

mong mọi người giải giùm.

Ở đây mình có cách giải tổng quát bài này chỉ bằng phép biến đổi tương đương . B xem tại đây : http://diendantoanho...ca2a2geq-sqrt5/

Sử dụng AM-GM : 

 

(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Cách khác nếu b cần

Ta có :

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^{2} <=> (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}$

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

Nhần vế theo vế ta được :

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (a+b+c)^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2} <=>(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq (a+b+c)^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

=> Đpcm 

????? hình như có gì sai sai nếu dùng cauchy thì nó phải là mu 2 chữ 

$\frac{5(a+b+c)^{2}}{3}+15\geq 2\sqrt{\frac{5(a+b+c)^{2}}{3}.15}=10(a+b+c)$

ok nha b

cái dòng cuối là sao bạn?

Cauchy đó b

Chứng minh mọi $a,b,c>0$ ta có$ 2(a^2+b^2+c^2)+abc+8\geq  5(a+b+c)$

Ta có bđt phụ : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ ( Bạn có thể xem cách cm tại đây : http://diendantoanho...geq-2abbcca/ ) 

Theo bài ta ta có : $P= 2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 <=> 2P= 3 (a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1)+15\geq 3 (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2 ( ab+bc+ca)+15= 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}+15\geq \frac{5(a+b+c)^{2}}{3} +15 \geq 10(a+b+c)=) Q.E.D$

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

B 2 ạ . Bài này trước bạn Nguyễn Thị Tăng có up lên VMF r b

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca   = 3. Chứng minh rằng

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$

Ta có : P= $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc$ => 2P =  $2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 12abc$

Mà : $a^{3} + a^{3} + 4 \geq 6a^{2}$

Tương tự với b,c cộng lại ta được : $2P \geq  6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12$ 

Ta có bđt : $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc \geq 2 ( ab + bc +ca )$ ( schur ) 

=> $2P \geq  6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12 \geq 12( ab +bc +ca )-12=18$

=> đpcm 

Cho a,b,c $ \geq 0$ ;a+b+c=1.CMR

$\frac{a}{bc+1}+ \frac{b}{ac+1}+ \frac{c}{ab+1} \geq 1$

Ta có ; $\sum \frac{a}{bc+1} = \sum \frac{a^{2}}{abc+a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3abc+\sum a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{(a+b+c)^{3}}{9}+\sum a}=\frac{9}{10}$

Uả ủa ủa ????  

 

Sai r T.T