sao mình không tải được nhỉ (network error)

Cho tứ giác  $ABCD$ nội tiếp có các đường chéo cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng $Euler$ của các tam giác $PAB,PBC,PCD,PAD$ đồng quy.

Tác giả : Rostas Vittasko

Có ai có tài liệu về định lí pithot và ứng dụng của nó không? Mình xin cảm ơn

ta có $\sum \sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}=\sum \frac{ab+ac}{\sqrt{(a^{2}+bc)(ab+ac)}}\geq \sum \frac{2(ab+ac)}{(a+b)(a+c)}= \sum \frac{2(ab+ac)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

cộng lại ta được luôn vế phải

bài 1 đầu tiên bạn biến đổi tương đương sau đó bạn sẽ phải chứng minh $b^{3}a+a^{3}b+1\geq 2ab+(ab)^{2}$

đến đây sử dụng am-gm$\frac{b^{3}a+a^{3}b}{2}\geq (ab)^{2}$ và$\frac{a^{3}b}{2}+\frac{b^{3}a}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 2ab$

dấu bằng xảy ra khi a=b=1

cho a,b,c là các số thực dương tm ab+bc+ac=3 cm$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \sum \frac{c+(ab)^{2}}{a+b}$

bài này có đúng không vậy 

thật vậy nếu ta đặt p+q+r=a.a và p+q+r+3=b.b thì 3=(b-a)(b+a) do a,b là các số tự nhiên nên (b-a) và (b+a) đều là ước của 3 

đến đây dễ thấy không có nghiệm nào cả

Cho a,b,c là 3 số thực không âm thỏa mãn: ab+bc+ac=3. Tìm min:

$\sum \frac{1}{a^{2}+1}$

thinhrost1 cứ làm mất hứng của mọi người 

lần sau đang giải muộn muộn thôi nhé

Bài 2. Dễ dàng chứng minh được $(a+3)^{2}\geq 8a+8$ 

Ta có $\frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}+c(a+b)^{2}}=\frac{64}{(a+b)^{2}(c+1)8}\geq \frac{64}{(a+b)^{2}(a+3)^{2}}$

Lai có $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (a+b)^{2}\frac{1}{4}$

Đến đây sử dụng $AM-GM$

ta có $a(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow a^{2}b+a\geq a^{2}+ab$tương tự ta suy ra

$\sum a^{2}b+ab+bc+ac\geq (a+b+c)^{2}-(a+b+c)= (a+b+c)(a+b+c-1)\geq 2(2-1)=2.1=2$

bài nghệ an đây mà

sau một số phép biến đổi bạn được đk và bt như thế này$(ab+bc+ac)(a+b+c)=abc ; \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(abc)^{2}}=\frac{abc}{ab^{3}+bc^{3}+ac^{3}}$

hay ta cần cm đẳng thức $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})=1$(tự biến đổi)

ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3})=(a+b+c)^{3};bc^{3}+ac^{3}+ab^{3}=(ab+bc+ac)^{3}$(tự cm  nhé nhớ sử dụng đk)

bây giờ bạn lắp vào là ra

xóa cái dấu căn nhỏ ở dưới cái đánh nhầm

mi đang đùa tau phải không

$\sum \frac{ab}{3+c^{2}}=\sum\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}}\leq \sum \sqrt{\frac{a^{2}.b^{2}}{2\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2})}}}$

đến đây bạn hoàng dùng am gm là xong 

bài quyền lợi

đặt đk

bình phương pt1 ta được   $x+1=y^{2}+2y+1$ ta suy ra $x=y^{2}+2y$

thay vào phương trình 2 biến đổi dài dòng ta đưa về thành pt$y^{6}+6y^{5}+12y^{4}+7y^{3}+y^{2}-2y-3=0$

dễ thấy pt này có 1 nghiệm là -1

từ đó giải tiếp ta suy ra được các nghiệm khác của pt

bạn cứ xem giải đề phan mà hồi sáng mới làm nhé

giải hệ phương trình {x3+4y=y3+16x1+y2=5(1+x2){x3+4y=y3+16x1+y2=5(1+x2)

từ pt2 suy ra $y^{2}=4+5x^{2}\rightarrow y^{3}=4y+5yx^{2}$ thế vào pt1 

ta được $x^{3}=5yx^{2}+16x\rightarrow x(x^{2}-5xy+16)=0$

đến đây chắc mi giải ra rồi

Khi tôi đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi"-Roronoa Zoro(mi có câu hay đấy)

sao lại phải dùng schur nhỉ

giả sửa+b+c< 3\Rightarrow (a+b+c)^{3}< 27\Rightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}< 1

dễ dàng cm x và y là 2 số nguyên dương $1+x+x^{2}+x^{3}=\left ( x+1 \right )\left (x ^{2} +1\right )=19^{y}$

x=0 thì y=0(tm)

x=1 thì y không tm

x>1 ta có y>1$x^{2}+1\geq x+1$ và$x^{2}+1$chia hết cho x+1

mặt khác x chẵn nên x+1 lẻ vì vậy$\left (x ^{2}+1,x+1 \right )=1$

do đó x+1=1 ktm

vậy x=y=0

$a+b\geq ab\left ( 4-a-b \right )=4ab-\left ( a+b \right )ab \Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )\geq 4ab$

lai có

$\left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )\geq 4ab$(am-gm)

vậy bđt được cm xong

bài này ở đề thi vào chuyên toán phan bội châu 20142015

Bài 2 nhé
Đặt 2^m + 3ⁿ = x²
* Nếu m lẻ hay m = 2k+1
$\Rightarrow 2^{m}\equiv 2^{2k+1}\equiv 2.4^{k}\equiv 2(mod 3)$
$\Rightarrow x^{2}\equiv 2^{m}+3^{n}\equiv 2+0\equiv 2(mod 3)$
( vô lí )
=> loại
----
* Nếu m chẵn hay m = 2k
ta có
$x^{2}= 2^{2k}+3^{n}$
$\Leftrightarrow x^{2}- 2^{2k}=3^{n}$
$\Leftrightarrow (x-2^{k})(x+2^{k})=3^{n}$
$\Rightarrow x+2^{k}=3^{u} và x-2^{k}=3^{v}(u$\geq$v\geq 0)$
$\Rightarrow 2^{2k+1}=3^{u-v}(3^{v}+1)$
hay $\Rightarrow 3^{u-v}=3^{0}\Rightarrow u=v\Rightarrow k=0$
hay x²=5 (vô lí )
vậy suy ra đpcm

bạn chỉ cần dùng bđt này

$x^{5}+y^{5\geq }(xy)^{2}(x+y)$

sau đó thay 1 bằng xyz

cuối cùng áp dụng 

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

thì ta tìm được max là 1