Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$

CMR nếu chia tập S = {1;2;...;9} thành 2 tập khác rỗng và rời nhau một cách tùy ý, thì luôn tồn tại 3 phần tử a,b,c thuộc cùng một tập sao cho a + c = 2b

Cho a,b nguyên dương sao cho $a+b^3\vdots a^2+3ab+3b^2-1$

CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.

Cho a,b,c là ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c};\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a};\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}\in \mathbb{Z}$

Chứng minh $\left | (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \right |$ là số chính phương

Cho a,b nguyên dương sao cho $a+b^3\vdots a^2+3ab+3b^2-1$

CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp, tiếp xúc BC tại D. Đường cao AH. M là trung điểm AH. Đường tròn tâm K bàng tiếp trong góc A. Chứng minh M, D, K thẳng hàng.

Cho x,y,z không âm, có tổng bằng 3.

Tìm GTNN của $P=\sqrt{x(y+3)}+\sqrt{y(z+3)}+\sqrt{z(x+3)}$

Rõ ràng ta phải có $a,b\geq 0$. Giả sử $a,b>0$.

Cho $m=n=1$ ta có $a+b$ là số chính phương. Cho $m=b,n=a$ ta có $ab$ là một số chính phương.

Giờ, ta chứng minh $d=(a,b)$ cũng là một số chính phương.

Thật vậy, giả sử phản chứng. Khi đó $a,b$ có một ước nguyên tố chung $p$ (nếu không có thì $d=1$, là số chính phương). 

Trong hai số $a,b$ phải có một số chia đúng cho một lũy thừa bậc lẻ của $p$. Giả sử là $a$. Khi đó chọn $m=1$ và $n$ là một lũy thừa bậc đủ lớn của $p$ ta có ngay mâu thuẫn.

Như thế, $d$ là một số chính phương. Suy ra cả $a$ và $b$ là số chính phương. Giờ cho $m=b,n=1$ ta có $ab+1$ là số chính phương, mâu thuẫn với sự kiện $ab$ là một số chính phương.

Vậy trong $a,b$ phải có số bằng $0$. Bài toán kết thúc. $\square$

Cảm ơn bạn.
Bạn giúp mình bài BĐT này với
CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$ với mọi a,b,c dương 

Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0

Cho a,b,c không âm, CMR $(a+b+c)^2+2abc+4 \geq 3(ab+bc+ca)+2(a+b+c)$

Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0

Cho a,b,c dương. CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$