Gọi các tâm hình tròn theo thứ tự di chuyển là $O_1;O_2;...;O_k;...$. Gọi:
-Số điểm nằm trong $(O_k;r)$, tổng bình phương khoảng cách từ $O_k, O_{k+1}$ đến các điểm đó lần lượt là $s_k, S_k, S'_k$.
-Số điểm nằm trong $(O_k;r)$ và nằm ngoài $(O_{k+1};r)$, tổng bình phương khoảng cách từ $O_{k+1}$ đến các điểm đó lần lượt là $a_k, A_k$.
-Số điểm nằm ngoài $(O_k;r)$ và nằm trong $(O_{k+1};r)$, tổng bình phương khoảng cách từ $O_{k+1}$ đến các điểm đó lần lượt là $b_k; B_k$.
Ta có:
-$s_k+b_k=s_{k+1}+a_k$.
-$S'_k+B_k=S_{k+1}+A_k$.
-Dựa vào vị trí tương đối của các điểm đối với $(O_{k+1};r)$, ta có $A_k\geq a_kr^2, B_k\leq b_kr^2$.
-Áp dụng Lagrange, ta dễ có $S'_k\leq S_k$.
Từ đây ta có $S_k-s_kr^2\geq S_{k+1}-s_{k+1}r^2$, dùng đơn biến ta dễ có với $k$ đủ lớn, $O_k\equiv O_{k+1}\equiv O_{k+2}\equiv ...$ hay vị trí của $O$ không đổi.
(Q.E.D)