Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O;R)$ Chứng minh:

$a+b+c\leq 3\sqrt{3}R$

Cho $x,y,z,t>0$ Chứng minh:

$\frac{x+y+z+t}{\sqrt[4]{xyzt}}+\frac{16xyzt}{(x+y)(y+z)(z+t)(t+x)}\geq 5$

Cho $x,y,z >0$ Chứng minh rằng

$\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{x^{2}(y+z-x)}{y+z}+\frac{y^{2}(z+x-y)}{z+x}+\frac{z^{2}(x+y-z)}{x+y}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & \\ \frac{1}{b}=y & \\ \frac{1}{c}=z & \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{3}}{y(x+z)}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)$

Ta có

$\frac{x^{3}}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3}{2}x$

Tương tự cộng vế suy ra đpcm

Bạn có thể không đặt ẩn phụ mà làm theo ý tưởng trên đó được không? Giải thích giúp mình nhé?

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{c^{2}a}{b^{3}(c+a)}+\frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Giải phương trình:

$8x^{2}-8x+3=8x\sqrt{2x^{2}-3x+1}$

Bài 1:

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của 

$a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}+b\sqrt[3]{c^{2}+a^{2}}+c\sqrt[3]{a^{2}+b^{2}}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Cho $a,b,c>o ; a+b+c=3$ Tìm GTLN của 

$\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c}{(2b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a}{(2c+a)^{2}}$

Cho $a,b$ là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{8ab}{(a+b)^{2}}\geq 4$

Sử dụng phương pháp quy nạp, chứng minh: nếu n nguyên dương thì

(2n)!<2²ⁿ(n!)²

Bài 1: Cho $a,b,c >0$ thỏa$abc=1$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2: Cho $a,b,c \in (0;1]$ Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{3}{3+abc}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$f(x)=f(-x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Cho em hỏi về dấu |   | trong bài PTH sau, em không biết nó sử dụng kiến thức gì và tại sao $f(x)= \frac{-x^{3}+3x^{2}-x}{x^{2}-x+1}$ lại xuất hiện, tương tự với cái dưới

quên hỏi luôn cái

$f(x)=\frac{-x^{3}+3x^{2}-x}{x^{2}-x+1}$ ở đâu xuất hiện thế ạ??, cái ở dưới nữa.

Cho em hỏi cái dấu $\left | \right |$ của $D, D_{f(x)},D_{f(1-x)}$ sử dụng kiến thức gì vậy ạ??

Em mới học lớp 10 nên chưa biết:

Cho $a,b,c>0$ thỏa$abc=8$. Chứng mính rằng:

 $\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}}\geq 1$

Cho $x,y,z>0$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(y+z)}+\frac{1}{z(z+x)}\geq \frac{27}{2(x+y+z)^{2}}$

Có min thôi ,k có max ak pạn

ukm, đúng rồi

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn$x+y=2$. Tìm giá trị lớn nhất của 

P = $x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

Và tại sao không hạ bậc ba mà lại hạ từ bậc hai vậy nhỉ?

ta có

$\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+\frac{a+b+2}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b)$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}$

Cho mình hỏi, tại sao lại dùng các đại lượng như $\frac{b+1}{8}$ để cân bằng ạ??

Cho $a,b,c >0$, thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của :

P = $\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c}{(2b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a}{(2c+a)^{2}}$

Giả sử $a,b$ là các số thực dương thỏa điều kiện $a+b\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b^{3}}{(a+1)^{2}}$

Cho $a,b,c>0$, $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min của:

P= $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} +\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}} +\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Đặt $d=(a;b)$, suy ra $\left\{\begin{matrix} a=d.x\\ b=d.y \end{matrix}\right.,(x;y)=1$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} m.a=d.m.x\\ m.b=d.m.y \end{matrix}\right.$

Do $(x;y)=1$ nên $(m.a;m.b)=m.d=(a;b).m$, đpcm.

Tại sao $(x,y)=1$ vậy ạ?