Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $K$ là điểm sao cho $OAO'K$ là hình bình hành. Điểm $C$ thuộc $(O)$. $CA$ cắt $(O')$ tại $D$. Chứng minh $KC=KD$

Câu 1:

a) ĐK: $2 \leq x \leq 4$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-3)(\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1))=0$

Mà $x\geq 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1) \leq \frac{1}{\sqrt{2-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-2}+1}-(2.2+1) <0$

$\Rightarrow x=3$

b) Nhân 2 vế của pt 1 với 2 rồi trừ 2 pt theo vế, ta được $y^2+8y+7-2xy=-x^2+8x \Leftrightarrow (y-x)^2+8(y-x)+7=0$

$ \Leftrightarrow y-x=-1$ hoặc $y-x=-7$

Thế vào pt 1 tìm được x,y 

Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời đưa du khách tham quan hết 18 danh lam thắng cảnh trong tính K, Công ty Du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến một chiều như sau: nếu có tuyến đi từ A đến B và từ B đến C thì sẽ không có tuyến đi từ A đến C. Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để đi hết 18 địa điểm trên?

P/s: Các bạn giúp mình ý 4 câu hình với ạ..

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Đường cao $AH$. $E$ là trung điểm $AH$. $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $DE$ cắt $(I)$ tại $F$. CMR $FB \perp FD$.

$a^2+b^2+c^2+abc=4 \Rightarrow$ Tồn tại $\alpha, \beta, \gamma$ sao cho $a=2.cos \alpha, b=2.cos \beta, c=2.cos \gamma$

Ta cần chứng minh $2cos\alpha + cos\beta + cos\gamma \leq \frac{9}{4}$

Bổ đề: $x^2+y^2+z^2 \geq 2xycos\alpha +2yzcos\beta +2zxcos\gamma$ (Chứng minh bằng cách xét $\Delta \leq 0$)

Từ bổ đề ta được $\frac{cos\alpha}{z} +\frac{cos\beta}{x} +\frac{cos\gamma}{y} \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}$

Chọn $x,y,z$ sao cho $\frac{1}{z}=2,\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=1$, ta có $2cos\alpha + cos\beta + cos\gamma \leq \frac{9}{4}$ (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{sin\beta}=\frac{1}{sin\gamma}=\frac{2}{sin\alpha} \Rightarrow \Delta (\alpha,\beta,\gamma)$ ~ $\Delta (1,1,2)$

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Điểm $P$ bất kì trên $BC$. $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB$,$AC$. $Q$ là giao của $BK$ và $CH$. Chứng minh $PQ \perp HK$

$AA \cap BB$ coi như là giao điểm tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$,

A quên pascal thank you ;v 

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $AD \cap BC = R$, $AC \cap BD = S$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $R,S,Q$ thẳng hàng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. CMR $(ab+bc+ca)^3 \geq 81(abc)^2(a^2+b^2+c^2)$

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-xy=1\\ \frac{x^7+1}{x+y}+x^3y^3=x^4+y^4 \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng 

$\frac{1}{\sqrt{12a+(b-c)^2}}+\frac{1}{\sqrt{12b+(c-a)^2}}+\frac{1}{\sqrt{12c+(a-b)^2}} \geq \frac{3}{2}$

Dùng lượng giác, ta sẽ tìm ra SHTQ của hai dãy. Từ đó, ta chứng minh được điều cần phải chứng minh.

Anh ghi rõ giúp em với ạ

Ta có: $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}=\sqrt[4]{\frac{a^2}{a(b+c)}}\geq \sqrt[4]{\frac{a^2}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}}\doteq \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a+b+c}} \Rightarrow P\geq \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{a+b+c}}\geq 2$

 

p/s: Không có dấu "=" xảy ra

Mình nghĩ đoạn cuối của bạn sai rồi.
Với cả dấu "=" xảy ra khi a=0, b=c và các hoán vị

Cho $a,b,c\geq0$. Chứng minh rằng $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geq2$

Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,b,c,d$ là các số thực) thoả mãn $f(-1)=100,f(-2)=200,f(-3)=300$. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{f(10)+f(-14)}{16}-582$

Cho 2 dãy số $(x_n),(y_n)$ thoả mãn:

$x_1=y_1=\sqrt{3}$

$x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_{n}^{2}}$

$y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}}$

Chứng minh rằng $2<x_{n}y_{n}<3$ với mọi $n\geq2$

 

$A= 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-[2cos^{2}(\frac{x+y}{2})-1]$

Đặt $t=cos(\frac{x+y}{2}),m=cos(\frac{x-y}{2})$ A trở thành $-2t^2+2mt+1=-2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}$

 

chị cho em hỏi đoạn biến đối cuối cùng ẩn $m$ sao k có thế ạ?

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max(a,b,c)$

Khi đó $1=a+b+c \leq 3c \Rightarrow c \geq \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{1}{3} \leq c \leq 1$

Ta có $\frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{a^2+b^2+4} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{(a+b)^2+4} + \frac{1}{c^2+2} = \frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4}$

Ta sẽ CM $\frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4} \geq \frac{4}{3}$  (1)

Thật vậy: (1) $\Leftrightarrow 3(4(c^2+2)+c^2-2c+5) \geq 4(c^2+2)(c^2-2c+5) \Leftrightarrow 4c^4-8c^3+13c^2-10c+1 \leq 0 \Leftrightarrow (c-1)(4c^3-4c^2+9c-1) \leq 0$ (*)

Mà $4c^3-4c^2+9c-1=c(2c-1)^2+8c-1 \geq 8c-1 >0$ (Vì $c \leq \frac{1}{3}$) và $c \leq 1$

Nên (*) đúng. Ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị

Cho các số không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$, không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{1}{ab+bc+ca} + \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=cosx+cosy-cos(x+y)$

Cho $0<a,b,c<1$. CMR $2(a^3+b^3+c^3)<3+a^2b+b^2c+c^2a$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin2^2x}+...+\frac{1}{sin2^nx}$

Theo BDT $Bunhiacopxki$ ta có: $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \frac{ab}{ab+c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+c}$

Vì BDT đồng bậc nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Đến đây đưa về bài toán quen thuộc rồi. (phần còn lại EZ)
 

Bạn full nốt mình xem với :v 

P/s: Mình có nghĩ ra cách khác:

Ta có $(a^2+bc)(b^2+ca)=a^2b^2+c(a^3+b^3+abc)\geq a^2b^2+c[ab(a+b)+abc]=ab(a+c)(b+c)$

Suy ra $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \sqrt{ \frac{ab}{(a+c)(b+c)} } \leq \sum \frac{1}{2} (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}) = \frac{1}{2} (\sum \frac{a+c}{a+c}) = \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$