cvp nội dung
Có 411 mục bởi cvp (Tìm giới hạn từ 23-05-2020)
#299010 Tìm $max$ của: $M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c...
Đã gửi bởi cvp on 12-02-2012 - 08:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$
#301371 Tìm min của $A=ab+b(c-1)+c(a-2)$
Đã gửi bởi cvp on 27-02-2012 - 23:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm min của $A=ab+b(c-1)+c(a-2)$
#302209 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 04-03-2012 - 18:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 5$
Bài 2:
Cho $abc=1$ và $a^{3}>36$
CMR: $ \frac{a^{3}}{3}+b^{2}+c^{2}>ab+ac+bc$
Bài 3:
a) Cho $0\leq a, b, c \leq 1$
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+c^{2}a+b^{2}c$
b) Cho $0<a_{0}<a_{1}<...<a_{1997}$
CMR: $\frac{a_{0}+a_{1}+...+a_{1997}}{a_{2}+a_{3}+...+a_{1997}}<3$
#302221 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 04-03-2012 - 19:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
chém xong em lại post tiếp ( có hẳn 50 đề sợ gì !)
#302863 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 08-03-2012 - 11:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 4:
Cho $0\leq a,b,c \leq 1$.
CMR: $a+b^{2}+c^{3}-ab-ac-bc \leq 1$
Bài 5:
Cho $x,y >0$ và $x+y=1$
Tìm giá trị max của $P= (1-\frac {1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}}$.
___
2 bài này có trên box THCS rồi.
#302883 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 08-03-2012 - 13:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 6:
CMR: $\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{(2n+1)^{2}}< \frac{1}{4}$
Với $n \in \mathbb{N}$ và $n\geq 1$.
#303495 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 11-03-2012 - 09:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$.
CMR:
$a+b+c\geq 3abc$.
_______
Dân lớp 8 trên VMF hiếm quá!
#303581 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 11-03-2012 - 16:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chỗ này theo mình thì bạn nhầm vì sử dụng BĐT Cau-chy thì:Lại AD BĐT Bunhiacopski và Cauchy, ta có:
$\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )^{2}\leq 3\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$$\leq 3\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} \right )$(2)
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$
#304192 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 14-03-2012 - 17:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$
Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
#305343 Tìm $P max$ biết: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}} +...
Đã gửi bởi cvp on 19-03-2012 - 20:06 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{(a+b)^{2}}{ab}+\frac{(b+c)^{2}}{bc}+\frac{(c+a)^{2}}{ca}\geq 9+ 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
b)Cho $x,y,z$ là các số dương. Tìm $P max$ biết:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}} +\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}$
#305365 Giải phương trình sau: $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{-x^{2}+x+1}=x^{...
Đã gửi bởi cvp on 19-03-2012 - 20:43 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Cho hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} &(a-1)x-by=2a-b-2 & \\ &(c+4)x+cy=12b-4a+44 & \end{matrix}\right.$
Tìm $a;b;c$ để hệ phương trình có vô số nghiệm trong đó có nghiệm $x=1$ và $y=3$.
b)
Giải phương trình sau:
$\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{-x^{2}+x+1}=x^{2}-x+2$.
#305678 $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$
Đã gửi bởi cvp on 21-03-2012 - 16:48 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bạn nhầm rùi, phải là:mặt khác: $a=2x-b^2$ va` $b=2x-a^2$
$a^{2}=2x-b^{2}$ và $b^{2}=2x-a^{2}$
#305695 CMR: a) góc $CMA$= góc $AME$
Đã gửi bởi cvp on 21-03-2012 - 17:54 trong Hình học
CMR:
a) góc $CMA$= góc $AME$
b) $\frac{MB^2}{MC^2}=\frac{DE}{DC}$
#306427 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 26-03-2012 - 16:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
@@, không ai chém bài 8 này sao . Để mình vậy!
$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{4}+y^{2}$
Mà
$y^{4}+y^{2}\geq 2\sqrt{y^{4}y^{2}}=2y^{3}$ (BĐT $cosi$ cho 2 số $y^{4}; y^{2}$)
Do đó $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)
Áp dụng BĐT buniakovsky ta có $(x^{2}+y^{2})^{2}=(\sqrt{x}.\sqrt{x^{3}}+\sqrt{y}.\sqrt{y^{3}})^{2}\leq (x+y).(x^{3}+y^{3})\leq (x+y).(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)
Mặt khác: $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\leq 2(x+y) \Rightarrow x+y\leq 2$ (3)
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có
$x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
#306724 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 28-03-2012 - 17:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có $(y^{2}-y)^{2}\geq 0 \Rightarrow 2y^{3}\leq y^{4}+y^{2} \Rightarrow (x^{3}+y^{3})+(x^{2}+y^{3})\leq (x^{2}+y^{2})+(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$
Do đó ta có $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} (1)$
Mặt khác $x(x-1)^{2}\geq 0; y(y+1)(y-1)^{2}\geq 0$
Do đó $x(x-1)^{2}+y(y-1)(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}+x+y^{4}-y^{3}-y^{2}+y\geq 0 \Rightarrow (x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{3})\leq (x+y) +(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^3+y^{4}\leq x^2+y^3$
DO đó ta có $x^2+y^2\leq x+y (2)$
Tương tự $(x+y)+(x^2+y^3)\leq 2+(x^3+y^4)$
Mà $x^3+y^4\leq x^2+y^3$$x^3+y^4\leq x^2+y^3$. Do đó ta có $x+y\leq 2 (3)$
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có được $DPCM$.
#307021 Cho $x,y \geq 0$. $x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4...
Đã gửi bởi cvp on 30-03-2012 - 19:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cách 2 nè:
Ta có $(y^{2}-y)^{2}\geq 0 \Rightarrow 2y^{3}\leq y^{4}+y^{2} \Rightarrow (x^{3}+y^{3})+(x^{2}+y^{3})\leq (x^{2}+y^{2})+(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$
Do đó ta có $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} (1)$
Mặt khác $x(x-1)^{2}\geq 0; y(y+1)(y-1)^{2}\geq 0$
Do đó $x(x-1)^{2}+y(y-1)(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}+x+y^{4}-y^{3}-y^{2}+y\geq 0 \Rightarrow (x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{3})\leq (x+y) +(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^3+y^{4}\leq x^2+y^3$
DO đó ta có $x^2+y^2\leq x+y (2)$
Tương tự $(x+y)+(x^2+y^3)\leq 2+(x^3+y^4)$
Mà $x^3+y^4\leq x^2+y^3$$x^3+y^4\leq x^2+y^3$. Do đó ta có $x+y\leq 2 (3)$
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có được $DPCM$.
#307169 Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và $a+b+c=3$ CMR:...
Đã gửi bởi cvp on 31-03-2012 - 10:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 8
Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$
Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Cách 3 :
Trường hợp 1 (TH 1)
Xét $x>1; y>1$. Ta có $x^{3}>x^{2}; y^{4}>y^{3}$
Do đó $x^{3}+y^{4}>x^{2}+y^{3}$. Mâu thuẫn với đề bài.
TH 2:
Xét $0< x\leq 1; 0< x\leq 1$ ta có được:
$x^{3}\leq x^{2}\leq x \leq 1$; $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$.
Do đó $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} \leq x+y \leq 2$.
TH 3:
Xét $0 < x \leq 1; y>1$.
Với $n=0;1;2$ ta có $x^{2}\leq x^{n}, 1-n\geq 0$.
Do đó $(x^2-x^n)(1-x)\leq 0\Leftrightarrow x^2(1-x)\leq x^n(1-x) (1)$
Và $y^3\geq y^n; 1-y<0$ nên $(y^3-y^n)(1-y)\leq 0 \Leftrightarrow y^3(1-y)\leq y^n(1-y) (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$x^2(1-x)+y^3(1-y)\leq x^n(1-x)+y^n(1-y)\Leftrightarrow (x^2+y^3)-(x^3+y^4)\leq (x^n+y^n)-(x^{n+1}+y^{n+1})$$x^2(1-x)+y^3(1-y)\leq x^n(1-x)+y^n(1-y)\Leftrightarrow (x^2+y^3)-(x^3+y^4)\leq (x^n+y^n)-(x^{n+1}+y^{n+1})$
Mà $x^2+y^3\geq x^3+y^4$$x^2+y^3\geq x^3+y^4$
Do đó $(x^n+y^n)-(x^{n+1}+y^{n+1})\geq 0 \Leftrightarrow x^{n+1}+y^{n+1}\leq x^n+y^n$
Thay $n=0; 1; 2$ ta có:
$x^3+y^3\leq x^2+y^2 \leq x+y \leq 2$
TH 4:
Xét $x>1; 0< y \leq 1$. Lập Luận tương tự như c.
P/s:ai có cách 4 không post lên cho mọi người nào !
#307524 $H; I; E$ thẳng hàng và $HE\parallel QK$
Đã gửi bởi cvp on 01-04-2012 - 14:04 trong Hình học
$H; I; E$ thẳng hàng và $HE\parallel QK$
#307945 b) $p<MA+MB+MC+MD<3p$.
Đã gửi bởi cvp on 03-04-2012 - 16:46 trong Hình học
a) $p<AC+BD<2p$
b) $p<MA+MB+MC+MD<3p$.
_________________________________
P/S: chỉ có phần chứng minh <3p là em chưa làm được, vì vậy nếu anh em VMF không muốn tốn thời gian thì chỉ làm phần$<3p$ thôi nha !
- Diễn đàn Toán học
- → cvp nội dung