- $MN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt{SH^2 + HC^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
- $NP = \sqrt{CN^2 + CP^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
- $MP = \sqrt{MK^2 + KP^2} = \sqrt{\left (\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right )^2 + \left (\dfrac{3a}{4} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Phạm Hữu Bảo Chung nội dung
Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 14-05-2020)
#443837 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là t...
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-08-2013 - 11:33 trong Hình học không gian
#434906 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-07-2013 - 22:28 trong Hình học không gian
- $\Delta SMN$ cân $\Rightarrow SI \perp MN$
- $\Delta AMN$ cân $\Rightarrow AI \perp MN$
#333856 Phương trình lượng giác: $sin2x-cos2x+3sinx-cosx-1=0$
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-07-2012 - 23:00 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
$$\sin{2x} - \cos{2x} + 3\sin{x} - \cos{x} - 1 = 0$$
Giải
Phương trình tương đương:$2\sin{x}.\cos{x} - 1 + 2\sin^2{x} + 3\sin{x} - \cos{x} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \cos{x}(2\sin{x} - 1) + \sin{x}(2\sin{x} - 1) + 2(2\sin{x} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(\cos{x} + \sin{x} + 2) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = \dfrac{1}{2}\\\sin{x} + \cos{x} = -2\end{array}\right. \,\, (1)$
Ta thấy: $\sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}.\sin{(x + \dfrac{\pi}{4})} \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] \Rightarrow \sin{x} + \cos{x} > -2$
Do đó:
$(1) \Leftrightarrow \sin{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$
#433770 Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-07-2013 - 15:29 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#299313 Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-02-2012 - 00:00 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$$\left\{\begin{array}{1}2x - y - xy^2 = 2xy(1 - x) \,\,\,\,\,\, (1) \\(x^2 + 2y^2)(1 + \dfrac{1}{xy})^2 = 9 \,\,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$$
Giải
ĐK: $x, y \neq 0$Ta có:
$(1) \Leftrightarrow 2x + 2x^2y = 2xy + y + xy^2 \Leftrightarrow 2x(1 + xy) = y(2x + 1 + xy)$
Do $xy \neq 0$, chia hai vế phương trình cho xy, ta có:
$2.\dfrac{xy + 1}{y} = \dfrac{2x + 1 + xy}{x}$
$\Leftrightarrow 2(x + \dfrac{1}{y}) = 2 + (\dfrac{1}{x} + y)$
Mặt khác:
$(2) \Leftrightarrow [x.(1 + \dfrac{1}{xy})]^2 + 2[y.(1 + \dfrac{1}{xy})]^2 = 9$
$\Leftrightarrow (x + \dfrac{1}{y})^2 + 2(y + \dfrac{1}{x})^2 = 9$
Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = A\\y + \dfrac{1}{x} = B\end{array}\right.$
Hệ phương trình ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}2A = 2 + B\\A^2 + 2B^2 = 9\end{array}\right.$
Hệ phương trình này dễ dàng giải được. Từ đó, ta suy ra nghiệm cần tìm.
#329197 Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-06-2012 - 23:18 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
2 - \sqrt {{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1} = 2(3 - \sqrt 2 - x){y^2}\\
\sqrt {x - {y^2}} + x = 3
\end{array} \right.$
Dự bị khối D - 2010
Giải
ĐK:$\left\{\begin{array}{l}{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2 - \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(3 - \sqrt{2}).y^2 - 2xy^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (1)$
Đặt: $\left\{\begin{array}{l}a = xy^2 + 1 \geq 1\\y^2 = b \geq 0\end{array}\right.$
Phương trình (1) trở thành:
$\sqrt{a^2 - b^2} = 2[a - (3 - \sqrt{2}).b]$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\a^2 - b^2 = 4[a^2 - 2ab(3 - \sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2})b^2] \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\3a^2 - 8ab(3 - \sqrt{2}) + (45 - 24\sqrt{2})b^2 = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\(a - 3b)[3a - (15 - 8\sqrt{2}b)] = 0\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} a = 3b\\a = \dfrac{15 - 8\sqrt{2}}{3}b\end{array}\right.\\a \geq (3 - \sqrt{2})b\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow a = 3b \Rightarrow x.y^2 + 1 = 3y^2$
$\Leftrightarrow y^2(3 - x) = 1 \, (2)\Rightarrow 3 - x = \dfrac{1}{y^2}$
(Vì với y = 0 thì (2) trở thành 0 = 1(vô lý))
Từ điều này suy ra, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\sqrt{3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2} = \dfrac{1}{y^2}$
$\Leftrightarrow 3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2 = \dfrac{1}{y^4}$
$\Leftrightarrow y^6 - 3y^4 + y^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow (y^2 - 1)(y^4 - 2y^2 - 1) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2 = 1\\y^2 = 1 + \sqrt{2}\\y^2 = 1 - \sqrt{2} (VN)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = \pm 1\\y = \pm\sqrt{\sqrt{2} + 1}\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = -1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = \sqrt{1 + \sqrt{2}} \\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}\\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\end{array}\right.$
Thử lại ĐK, ta chọn cả 4 nghiệm trên.
#329156 Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-06-2012 - 22:11 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$A \geq B$ và $C \geq D$ thì chưa thể kết luận được $A - C \geq B - D$
Phải không nhỉ? :3
#324397 Giải các phương trình: 1/ $(1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx$ ....
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-06-2012 - 14:48 trong Các bài toán Lượng giác khác
a, $(1 - \tan{x})(1 + \sin{(2x)}) = 1 + \tan{x}$
ĐK: $\cos{x} \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
Phương trình tương đương:
$(1 - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}})(\sin^2{x} + \cos^2{x} + 2\sin{x}.\cos{x}) = 1 + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}$
$\Leftrightarrow (\cos{x} - \sin{x})(\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin{x} + \cos{x}$
$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x}) (\cos^2{x} - \sin^2{x} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} + \cos{x} = 0\\cos{2x} = 1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\\x = \dfrac{- \pi}{4} + 2k\pi\\x = k\pi\end{array}\right.$
Đối chiếu với ĐK, ta chọn các nghiệm này. Vậy họ nghiệm của PT là:
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi; x = \dfrac{- \pi}{4} + 2k\pi; x = k\pi \,(k\in Z)$$
#432533 Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình qua các đề thi thử năm 2013
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 03-07-2013 - 15:25 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#283028 CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-11-2011 - 08:02 trong Đại số
$= (2x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = (2x^2 + y^2 - 2xy)(2x^2 + y^2 + 2xy)$
c, $4x^4 + 1 = (2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x +1)$
(Áp dụng câu a với y = 1)
Tổng quát
Với những biểu thức có dạng:
$A^{4m} + B^{4n}$
Ta phân tích như sau:
$A^{4m} + B^{4n} $
$= (A^{2m})^2 + 2.A^{2m}.B^{2n} + (B^{2n})^2 - 2.(A^{m}.B^{n})^2$
$= (A^{2m} + B^{2n} )^2 - (\sqrt{2}.A^{m}.B^{n})$
$= (A^{2m } - \sqrt{2}.A^{m}.B^{n} + B^{2n})(A^{2m} + \sqrt{2}.A^{m}.B^{n} + B^{2n})$
Câu a áp dụng với A = $\sqrt{2}x$; B = y; m = 1; n = 1.
Câu c áp dụng với A = $\sqrt{2}x$; B = 1; m = 1; n = 1
b, $x^5 + x^4 + 1 = (x^5 + x^4 + x^3) - (x^3 + x^2 + x) + x^2 + x + 1$
$= x^3(x^2 + x + 1) - x(x^2 + x + 1) + x^2 + x + 1$
$= (x^2 + x + 1)(x^3 - x + 1)$
d, $x^8 + x^7 + 1 $
$= (x^8 + x^7 + x^6) - (x^6 + x^5 + x^4) + x^5 + x^4 + x^3 - (x^3 - 1)$
$ = (x^6 - x^4 + x^3)( x^2 + x + 1) - (x - 1)(x^2 + x + 1)$
$ = (x^2 + x + 1)(x^6 - x^4 + x^3 - x + 1)$
e, $x^7 + x^5 + 1 $
$ = (x^7 + x^6 + x^5 ) - (x^6 - 1) = x^5(x^2 + x + 1) - (x^3 - 1)(x^3 + 1)$
$= x^5(x^2 + x + 1) - [(x - 1)(x^3 + 1)](x^2 + x + 1)$
$= (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)$
#328663 Phương trình và hệ phương trình qua các đề thi thử Đại học 2012
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-06-2012 - 14:32 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải
1. ĐK: $\left\{\begin{array}{l}x \geq \dfrac{1}{2}\\x^2 + 18x - 7 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq \dfrac{1}{2}\\\left[\begin{array}{l} x \geq -9 + \sqrt{88}\\x \leq -9 - \sqrt{- 88}\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{2}$
Bất phương trình tương đương:
$\dfrac{\sqrt{16(x - \dfrac{1}{2})} + x + 1}{\sqrt{2}} < \sqrt{(x^2 + 2x + 1) + 16x - 8}$
$\Leftrightarrow \sqrt{16x - 8} + x + 1 < \sqrt{2[(x + 1)^2 + 16x - 8]}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
$$a + b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)} \,\, \forall \,\, a, b \geq 0$$
Với $a = \sqrt{16x - 8} \geq 0; b = x + 1 > 0 \, \forall \, x \geq \dfrac{1}{2}$
Ta có:
$VT = \sqrt{16x - 8} + x + 1 \leq \sqrt{2[(x + 1)^2 + 16x - 8]} = VF$
Do đó, BPT ban đầu có nghiệm khi dấu "=" nói trên không xảy ra, đồng nghĩa với:
$x + 1 \neq \sqrt{16x - 8} \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 \neq 16x - 8$
$\Leftrightarrow x^2 - 14x + 9 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 7 \pm 2\sqrt{10}$
Vậy, tập nghiệm của BPT là:
$T = [\dfrac{1}{2}; 7 - 2\sqrt{10}) \cup (7 - 2\sqrt{10}; 7 + 2\sqrt{10}) \cup (7 + 2\sqrt{10}; + \propto)$
#431591 Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2013 - 15:37 trong Ôn thi Đại học
Bài 30
#594181 Bài tập về Công thức Bayes - XSTK
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 00:24 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Đang đợt ôn thi xác suất nên đào mộ :v
Giải
Câu 2.
Đặt H: " Sinh viên được chọn trả lời đúng 3 câu"
$A_1$: "Sinh viên được chọn là sinh viên giỏi."
$A_2$: "Sinh viên được chọn là sinh viên khá."
$A_3$: "Sinh viên được chọn là sinh viên trung bình."
$A_4$: "Sinh viên được chọn là sinh viên yếu."
{$A_1, A_2, A_3, A_4$} là nhóm đầy đủ biến cố.
Theo giả thiết:
$P(A_1) = 0,1; P(A_2) = 0,2; P(A_3) = 0,3; P(A_4) = 0,4$
$P(A_2 + A_3/H) = \dfrac{P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3) + P(A_4).P(H/A_4)} = \dfrac{39}{73}$
#337871 $ cos^23x.cos2x-cos^2x=0 $
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-07-2012 - 22:12 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Giải
ĐK: $2\cos{x} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos{x} \neq \dfrac{1}{2} \Rightarrow x \neq \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$Phương trình tương đương:
$(2 - \sqrt{3}).\cos{x} - (1 - \cos{2(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4})}) = 2\cos{x} - 1$
$\Leftrightarrow -\sqrt{3}\cos{x} + \cos{(x - \dfrac{\pi}{2})} = 0$
$\Leftrightarrow - \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} = 0 \Leftrightarrow \tan{x} = \sqrt{3} = \tan{\dfrac{\pi}{3}}$
$\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \,\, (k \in Z)$
#337865 $ cos^23x.cos2x-cos^2x=0 $
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-07-2012 - 21:52 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
a, $\cos^2{3x}.\cos{2x} - \cos^2{x} = 0$
b, $\cos^4{x} + \sin^4{x} + \cos{(x - \dfrac{\pi}{4})}.\sin{(3x - \dfrac{\pi}{4})} - \dfrac{3}{2} = 0$
Giải
a, Phương trình ban đầu tương đương:$\dfrac{1 + \cos{6x}}{2}.\cos{2x} - \dfrac{1 + \cos{2x}}{2} = 0$
$\Leftrightarrow \cos{2x} + \cos{6x}\cos{2x} - 1 - \cos{2x} = 0$
$\Leftrightarrow \cos{6x}\cos{2x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\cos{8x} + \cos{4x}) - 1 = 0$
$\Leftrightarrow 2\cos^2{4x} + \cos{4x} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{4x} = 1\\\cos{4x} = \dfrac{-3}{2} \, (VN)\end{array}\right.$
$\Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{2} \,\, (k \in Z)$
b, Phương trình tương đương:
$(\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - 2\sin^2{x}.\cos^2{x} + \cos{(x - \dfrac{\pi}{4})}.\sin{(3x - \dfrac{\pi}{4})} - \dfrac{3}{2} = 0$
$\Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{2}.(2\sin{x}.\cos{x})^2 + \dfrac{1}{2}[\sin{(3x - \dfrac{\pi}{4} + x - \dfrac{\pi}{4})} + \sin{(3x - \dfrac{\pi}{4} - x + \dfrac{\pi}{4})}] = \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{2}.\sin^2{2x} + \dfrac{1}{2}[\sin{(4x - \dfrac{\pi}{2})} + \sin{2x}] = \dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2 - \sin^2{2x} + [\sin{(4x - \dfrac{\pi}{2})} + \sin{2x}] = 3$
$\Leftrightarrow 2 - \sin^2{2x} - \cos{4x} + \sin{2x} = 3 \Leftrightarrow 2 - \sin^2{2x} - (1 - 2\sin^2{2x}) + \sin{2x} = 3$
$\Leftrightarrow \sin^2{2x} + \sin{2x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{2x} = 1\\\sin{2x} = -2\end{array}\right.$
$\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \,\, (k \in Z)$
#336644 Tuyển tập một số bài phương trình, hệ phương trình thi HSG tỉnh
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-07-2012 - 23:00 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$\sqrt{2x^{3}+3x^{2}+6x+16}=2\sqrt{3}+\sqrt{4-x}$
Giải
ĐK: $\left[\begin{array}{l} 2x^3 + 3x^2 + 6x + 16 \geq 0\\x \leq 4\end{array}\right.$Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{2x^{3}+3x^{2}+6x+16} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{4 - x} = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{2x^{3}+3x^{2}+6x - 11}{\sqrt{2x^{3}+3x^{2}+6x+16} + 3\sqrt{3}} + \dfrac{x - 1}{\sqrt{3} + \sqrt{4 - x}} = 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)[\dfrac{2x^2 + 5x + 11}{\sqrt{2x^{3}+3x^{2}+6x+16} + 3\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4 - x}}] = 0$
$\Leftrightarrow x = 1 \, ™$
#431302 Tuyển tập một số bài phương trình, hệ phương trình thi HSG tỉnh
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2013 - 16:00 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 14. Không biết đề có đúng không nhỉ? Nếu hệ số tự do của phương trình thứ hai là + 30 thì có thể xem qua ý tưởng sau.
#329077 Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-06-2012 - 19:40 trong Đại số
Tính: Q = $x^2+y^2$
Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:$x^3 = -2(y^2 - 2y) - 3 = -2(y - 1)^2 - 1$
$\Rightarrow x^3 \leq -1 \Leftrightarrow x \leq -1 \,\, (1')$
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ. Với $x \neq 0$:
Ta có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng phương trình bậc 2 ẩn y tham số x:
$$x^2y^2 - 2y + x^2 = 0$$
PT này có biệt thức $\Delta_{(2)} = (-1)^2 - x^2.x^2 = 1 - x^4$
Điều kiện để nó có nghiệm là: $\Delta_{(2)} \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 - x^4 \geq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1 \,\, (2')$
Từ (1') và (2'), suy ra: $x = -1 \Rightarrow y = 1$
Khi đó: $x^2 + y^2 = 2$
#328653 Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-06-2012 - 13:44 trong Đại số
$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
Giải
Đặt:$A = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
Ta có:
$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
$= \dfrac{\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}$
$= \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$
$= \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2.\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3}}$
Tương tự, ta có:
$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}$
$= \dfrac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2.\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}$
$= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}}$
Do đó:
$A = \dfrac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}} = 1$
#280272 Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-10-2011 - 19:49 trong Đại số
Tính giá trị biểu thức: $P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$
Giải
Ta có: $x + 1 = x + \sqrt{xy} + \sqrt{xz} + \sqrt{yz} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + \sqrt{z}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
$= (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})$
Tương tự:
$y + 1 = (\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})$
$z + 1 = (\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})$
Do đó:
$P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$
$P = \sqrt{[(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})(\sqrt{y} + \sqrt{z})]^2}.(\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{z}}{(\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})})$
$P = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})(\sqrt{y} + \sqrt{z})[\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{z}}{(\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})}]$
$P = \sqrt{x}(\sqrt{y} + \sqrt{z}) + \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{z}) + \sqrt{z}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
$P = 2(\sqrt{xy} + \sqrt{zx} + \sqrt{yz}) = 2$
#457289 cho A(1,2) và B(3,4) thuộc Oxy, tìm M thuộc Ox sao cho MA + MB đạt giá trị nh...
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-10-2013 - 23:10 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Giải
Ta có: $(ad - bc)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2d^2 + b^2c^2 \geq 2abcd$
$\Leftrightarrow (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} \geq |ac + bd| \geq ac + bd$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2})^2 \geq (a + c)^2 + (b + d)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{(a + c)^2 + (b + d)^2}$
Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}ad = bc\\ac + bd \geq 0\end{matrix}\right.$
Gọi $M(x; 0)$ là điểm bất kỳ thuộc Ox. Khi đó:
$MA + MB = \sqrt{(x - 1)^2 + 2^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + 4^2} $
$= \sqrt{(x - 1)^2 + 2^2} + \sqrt{(3 - x)^2 + (4)^2} \geq \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}$
Vậy: $Min_{MA + MB} = 2\sqrt{10}$. Dấu “=” xảy ra khi $x = \dfrac{5}{3}$
#294565 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-01-2012 - 22:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:
$VT = ab + 2bc + 3ac = a(- a - c) + 2(- a - c).c + 3ac = -a^2 - 2c^2 \leq 0 = VF$
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 0.
___
Sr nhé bài 115 tớ gõ nhầm đề
#329361 Topic phương trình, hệ phương trình vô tỉ
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 16:21 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
#422432 Topic phương trình, hệ phương trình vô tỉ
Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-05-2013 - 23:25 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài 132: $\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}$
Giải
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x \geq \dfrac{5}{6}& \\8x^2 - 10x + 3 \neq 0 & \end{matrix}\right.$
Nhận thấy:
$VT = \sqrt[6]{6x - 5} \leq \dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6x - 5}{6} = x$
Vì vậy, để phương trình ban đầu có nghiệm thì:
$\dfrac{x^7}{8x^2 - 10x + 3} \leq x $
$\Leftrightarrow x^6 - 8x^2 + 10x - 3 \leq 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - 7x + 3) \leq 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)^2(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3) \leq 0 \, (\bigstar)$
Nhận thấy:
$x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3 = (x^2 + x)^2 + 2(x + 1)^2 - 5 > 0 \, \forall \, x \geq \dfrac{5}{6}$
Vì vậy, $\bigstar$ xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Thử lại, ta nhận giá trị này.
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
- Diễn đàn Toán học
- → Phạm Hữu Bảo Chung nội dung