$\left\{\begin{array}{l}x^3 - y^2 - y = \dfrac{1}{3}\\y^3 - z^2 - z = \dfrac{1}{3}\\z^3 - x^2 - x = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$
Giải
Hệ phương trình tương đương:$\left\{\begin{array}{l}x^3 = y^2 + y + \dfrac{1}{3}\\y^3 = z^2 + z + \dfrac{1}{3}\\z^3 = x^2 + x + \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$
Ta luôn có:
$y^2 + y + \dfrac{1}{3} = (y + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{12} > 0$
$\Rightarrow x^3 > 0 \Leftrightarrow x > 0$
Tương tự, ta cũng có: $y, z > 0$
Không mất tính tổng quát, giả sử:
$$x = Max(x; y; z) $$
$\Rightarrow x \geq z \Leftrightarrow x^3 \geq z^3$
$\Rightarrow y^2 + y + \dfrac{1}{3} \geq x^2 + x + \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow (y - x)(y + x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow y \geq x $ (*)
(Do $x; y \geq 0 \Rightarrow x + y + 1 > 0$)
Do $x = max(x; y; z)$ nên $x \geq y$ nhưng từ (*), ta lại có: $y \geq x$
Suy ra: $x = y$. Chứng minh tương tự, ta nhận được:
$$y = z; z = x$$.
Vì vậy, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x = y = z\\x^3 = x^2 + x + \dfrac{1}{3}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\3x^3 = 3x^2 + 3x + 1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\4x^3 = (x + 1)^3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\\sqrt[3]{4}x = x + 1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\x(\sqrt[3]{4} - 1) = 1\end{array}\right. \Rightarrow x = y = z = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4} - 1}$