Cho $x+y\leq z$. CMR:
$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$
Cách khác:
Dựa vào giả thiết $x+y\le z$ và áp dụng BĐT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$ suy ra
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\ge \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})^2\ge \frac{8}{z^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{z^2}$
Từ đây ta có
$A=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\frac{1}{z}^2)=3+(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+(\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{16x^2})+(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{16y^2})+\dfrac{15z^2}{16}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $
$\Rightarrow A \ge 3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{2}=\dfrac{27}{2}$ (Áp dụng BĐT AM-GM)
Ta có đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{z}{2}$