À, học cùng đội tuyển ai dạy đấy ? Bài này chị thấy quen quen

Xét 2 Th

_ TH1 : $c^2 + d^2 \geq 1$

Khi đó ta có $\Delta ' = (ac +bd -1)^2 -(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)\geq 0$

=> phương trình luôn có nghiệm.

_ TH2: $c^2+d^2 < 1$

Ta cần chứng minh $(ac+bd-1)^2\geq (a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)$

mà : $(a^2+b^2+c^2+d^2-2)^2 \geq 4(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)$

$a^2 +b^2 + c^2 + d^2 -2<0$ (1)

$a^2 + b^2 + c^2 +d^2 -2 \geq 2ac+2bd-2$ (2)

từ (1) và (2 )

$\Rightarrow (2ac+2bd-2)^2 \geq (a^2+b^2+c^2+d^2-2)^2$

Không liên quan nhưng cho mình hỏi bạn có phải Vương ĐÌnh Ân không ? 

Chứng minh hả bạn ?

cho $a,b,c> 0$CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

nhìn lại đề hộ mình xem có sai k bạn ơi

$\left\{ \begin{array}{ll} xy-3zt=1 \\ xz+yt=2 \end{array} \right.$

Trong 1 giải bóng có 8 đội thi đấu vòng tròn, giải được chia làm 2 đợt. Tìm số trận đấu nhiều nhất ở đợt đầu sao cho với 3 đội bất kì luôn có ít nhất 2 đội chưa thi đấu với nhau trong các đợt đấu

bài thi toán QG ngày 2 :

Tìm max biểu thức với x,y,z là các số thực dương

$\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$

 

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

 

 

Cái này mình mới vừa nghĩ ra, mình dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Ta có $\frac{a}{4b^2+1}=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}$

Vì $4b^2+1\geq 4b\Rightarrow -\frac{4ab^2}{4b}\geq -ab$

CMTT ta suy ra $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq a+b-2ab$

Mà $a+b=4ab$

$\Rightarrow \frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq 2ab(1)$

_ Vì $a+b\geq2\sqrt{ab} \Rightarrow 4ab\geq 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2ab\geq \frac{1}{2}(2)$ 

_Từ (1) và (2) => ĐPCM

câu 5:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{9+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}$

min khi và chỉ khi a=b=c=1

p/s không biết có đúng không

Mình cũng làm ra như vậy đó

Bài 1: Cho $a,b,c >\frac{25}{4}$ Tìm GTNN của $Q= \frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}$

Bài 2: Cho a,b, c>0 và a+b+c =1 . Tìm GTNN  của $A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}+$

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=1006. 

   CMR $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Bài 5: Cho a,b,c >0 ; $a+b+c \leq 3$. Tìm Min  $A=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}$

Bài 6: x,y,z >0 ; xy+yz+xz =5 Tìm Min $P= \frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

Bài 7: Cho a,b >0 ; a+b=2 Tìm MIN $Q= 2{a^2+b^2}-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Bài 8 : Cho x,y, z>0 Tìm MIN $S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

Bài 9: Cho x,y >0 t/m $x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}$. Tìm MIN $M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

1.$\frac{x}{y}=t.P=\frac{3t}{y^2+1}$

TH1: $0\le y \e 1$

$t\ge \frac{1}{y(1-y)}\ge 4.P\le \frac{12}{17}$

TH2:y>1,x<0,t<0,P<0

TH3:y<0,x>0,t<0,P<0

$x=2,y=\frac{1}{2}.P=\frac{12}{17}$

$\max P=\frac{12}{17}$

5.$\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge \sqrt{5}\frac{x+y}{2}$

6.$\frac{1}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})}=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2(\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1})^2}<\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{8\sqrt{2k+1}\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}})$

7.$2M-1=2\sqrt{3}xy+2y^2-1=2\sqrt{3}xy+y^2-x^2$

$(2M-1)^2\le 4[4x^2y^2+(y^2-x^2)^2]=4(x^2+y^2)^2=4$

$2M-1\ge -2.M\ge -\frac{1}{2}$

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, y=\frac{1}{2}.M=-frac{1}{2}$

$\min M=-\frac{1}{2}$

Làm ơn mình thấy có vẻ bạn gõ LAXTEX sai rùi, phiền bạn sửa lại nhé, mình ko hiểu 1 số chỗ cảm ơn bạn nhiều

Bài tập 

Cho $a,b,x,y \epsilon \mathbb{R};x^{2}+y^{2}=1; a+b=2.$

Tìm GTLN : $M= ax+by+ab$ 

$M= ax+by+ab \leq \left | ax+by \right |+ab\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}+ab$

$\Rightarrow M\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{(a^{2}+b^{2}).2}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{a^{2}+b^{2}+2}{2}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{a^{2}+b^2+2+2\sqrt{2}ab}{2\sqrt{2}}$

$\Rightarrow M\leq \frac{(a+b)^2+2+(2\sqrt{2}-2)ab}{2\sqrt{2}}$

CMTT dùng Cô-si sẽ ra $M\leq \sqrt{2}+1$

Dấu = xaye ra khi và chỉ khi a=b=1 ; $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho mình hỏi tiếp nhé ( quả thực mình có rất nhiều BĐT nhưng lại chẳng biết làm,  ngại quá )

Bài 8: Cho a,b,c >0 CMR $\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Bài 9: Cho a,b,c >0 CMR : $\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 10: Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ ; $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ . Tìm GTNN  $S=x^{2}+3xy-2y^2-8y+5$

Bài 3: Ta có:

$4=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2+a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab-ab+2 \\ =\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-ab+2\ge -ab+2 \\ \implies ab\ge 2\implies S\ge 2016$

Bài 5 mình nghĩ đề là:

CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

úng bài 5 là như vậy bạn làm giúp mình nhé mình nhầm

Giúp mình nhé:

Bài 1: Cho x> xy+1 Tìm max : $P=\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}$

Bài 2: Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=4 .Tìm min $P=x^{2}+y^{2}+\frac{33}{xy}$

Bài 3: Co a,b khác 0 thỏa mãn $2a^{2}+\frac{b^{2}}{4}+\frac{1}{a^{2}}=4$. Tìm min $S= ab+2014$

Bài 4: Với x>0 tìm min $M=4x^{2}-3x+\frac{1}{4x}+2013$

Bài 5: Cho x;y;z>0 ; x+y+z=1 . CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

Bài 6: CM $\frac{1}{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^{3}}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{3}}+...+\frac{1}{(\sqrt{2009}+\sqrt{2011})^{3}}< \frac{1}{8}(1-\frac{1}{\sqrt{2011}})$

Bài 7: Cho $x^{2}+y^{2}=1$ Tìm min $M=\sqrt{3}xy +y^{2}$

Ta có:

$p^2-1=8q$

<=> $(p-1)(p+1)=8q$

Vì p.q $\in$ P nên p+1>p-1, q,p$\geq$2

các TH: p-1=......
 

ê, nó đâu phải tập hợp chia hết trong số nguyên mà làm đc thế này

Giải hộ mình bài này nhé :

CHO  $A=(a+b)(b+c)(c+a)$  ,$a,b,c \geq 0$$ ,abc=1$ 

CMR $A+1 \geq 3(a+b+c)$

_ Ta có : $A=(a+b)(b+c)(c+a)$ mà abc=1 

$\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{a+b}{a}.\frac{b+c}{b}.\frac{a+c}{c}=(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})$

$\Rightarrow A+1=3abc+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}$

Mà ta có :

$\left\{\begin{matrix} abc+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq 3a\\ abc+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq 3b\\ abc+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\geq 3c \end{matrix}\right.$

Cộng các vế vào ta đc $A+1\geq 3(a+b+c)(dpcm)$

Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT :

 

$$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$$

anh ơi cái này cứ như AM=GM ý nhỉ

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{t^2+8}{t+1}$

Đặt $\frac{t^{2}+8}{t+1}=a$

$\Rightarrow$$t^{2}+8=at+a$ $\Rightarrow t^{2}+8-at-a=0\Rightarrow t^{2}-at+(8-a)=0$

$\Rightarrow \Delta =a^{2}-4(8-a)=a^{2}-32+4a$

Để pt có nghiệm thì $\Delta \geqslant 0$

$\Leftrightarrow a^{2}+4a-32\geq 0 \Leftrightarrow (a+2)^{2}\geq 36 \Leftrightarrow a+2\geq 6$ hoặc $a+2\leq -6$

Từ đó suy ra $a\leq -8$ hoặc $a\geq 4$ 

$\Rightarrow \frac{t^{2}+8}{t+1}\geq 4.$

_ Dấu ''='' xẩy ra $\Leftrightarrow a=4 \Leftrightarrow \frac{t^{2}+8}{t+1}=4$

_Phần sau tự tìm kq nhé
P/s : đó chỉ là cách mình sử dụng $\Delta$ để giải bài thui, nếu bạn không biết thì sau khi tìm đc GTNN rùi lật ngược lại bằng cách phân tích nhé 

Đề bài hình như sai thì phải. Mik ko thề tìm thấy dấu bằng  bạn ạ

Hình như phải là $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{3}{4}$

mình cũng ko rõ, tờ đề của thầy giáo là như thế, để đến thứ 6 tuần sau xem thế nào đã nhé

, Do $(a-1)+(b-1)+(c-1)=a+b+c-3=0$ nên $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=-3(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2)$

BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2) \leq 4$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 

$(a+b-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+b)^2}{4}$

 

Tương tự 

  

$(a+b-2)(c+a-2) \leq \frac{(1+a)^2}{4}$

 

$(c+a-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+c)^2}{4}$

 

BĐT cần chứng minh 

$\sqrt{\frac{(1+a)^2.(1+b)^2.(1+c)^2}{4}}\leq 4\Leftrightarrow \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{2}\leq 4$

 

Tới đây tiếp tục áp dụng AM-GM thì BĐT cuối đúng

Ta có đpcm 

Bạn ơi chỗ đó phải là $\sqrt{\frac{(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{4^{3}}}$ mới đúng chứ, nhưng của bạn chỉ là 4 thôi như thế cái CM lại ko đúng

@: uk chắc mình giải vội quá mà mình thấy đề này sao á@

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ cmr $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$

Cho a,b,c>0 ; a+b+c =6. CMR $(1+\frac{1}{a^{3}})(1+\frac{1}{b^{3}})(1+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{729}{512}$